12 微專題：三角形四心的應(yīng)用與向量的交匯 講義-2021-2022學年高一下學期數(shù)學滬教版（2020）必修第二冊

【學生版】微專題：三角形四心的應(yīng)用與向量的交匯【三角形四心的概念介紹】(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2)垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等。【三角形四心的向量式】三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則（1）O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（2）O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（3）O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0?sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（4）O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理；設(shè)點O，H分別是的外心、垂心，且為中點，則（）A．B． C．D．【提示】；【答案】；【解析】【說明】結(jié)合選擇題的特點：利用特殊位置、特殊圖形往往也是奏效的方法；例2、已知是銳角三角形的外接圓的圓心，且，若，則m＝()A．B．C．D．不能確定【提示】；【答案】；【解析】【說明】利用向量的數(shù)量積運算進行轉(zhuǎn)化，是解答本題的關(guān)鍵；例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的內(nèi)心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A．eq\f(10\r(6),3)B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(2)例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是（）A．[－eq\r(2)，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，1)C．[－eq\r(2)，－1]D．(1，eq\r(2)]例5、在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點O為△ABC的外接圓的圓心，A＝eq\f(π,3)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λμ的最大值為________．【歸納】關(guān)于四心的概念及性質(zhì)：（1）重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點．性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)；即G為△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))．④重心到三角形3個頂點距離的平方和最?。?）垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點．性質(zhì)：銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點上，鈍角三角形的垂心在三角形外．（3）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)．性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．②，特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．（4）外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)．性質(zhì)：外心到三角形各頂點的距離相等．【即時練習】1、在中，，，分別為的重心和外心，且，則的形狀是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．上述三種情況都有可能2、設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)B．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(b,c)C．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(c2,b2)D．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(c,b)3、過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為____．4、設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，則B的大小為________．5、已知P是邊長為3的等邊三角形ABC外接圓上的動點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值為6、已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，求：有序?qū)崝?shù)對(x，y)；【教師版】微專題：三角形四心的應(yīng)用與向量的交匯【三角形四心的概念介紹】(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2)垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等?！救切嗡男牡南蛄渴健咳切巍八男摹毕蛄啃问降某湟獥l件設(shè)O為△ABC所在平面上一點，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則（1）O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（2）O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（3）O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0?sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（4）O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理；設(shè)點O，H分別是的外心、垂心，且為中點，則（）A．B． C．D．【提示】注意：三角形四心與其向量表示的聯(lián)系；【答案】D；【解析】如圖所示的，其中角為直角，則垂心與重合，因為，為的外心，所以，，即為斜邊的中點，又因為，為中點，所以，，又因為，為中點，所以，．故選D．【說明】結(jié)合選擇題的特點：利用特殊位置、特殊圖形往往也是奏效的方法；例2、已知是銳角三角形的外接圓的圓心，且，若，則m＝()A．B．C．D．不能確定【提示】注意：關(guān)鍵詞“銳角”、“外接圓的圓心”；【答案】A；【解析】設(shè)外接圓半徑為，則：，可化為：；易知與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為0，．則對式左右分別與作數(shù)量積，可得：；即；所以，，即，即．因為且，所以，，故選A；【說明】利用向量的數(shù)量積運算進行轉(zhuǎn)化，是解答本題的關(guān)鍵；例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的內(nèi)心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A．eq\f(10\r(6),3)B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(2)【提示】注意：利用向量的線性運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化“動點P的軌跡所覆蓋圖形”；【答案】B【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動點P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍；在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7；設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq\f(2\r(6),3)，所以S△BOC＝eq\f(1,2)×a×r＝eq\f(1,2)×7×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(7\r(6),3)．故動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC＝eq\f(14\r(6),3)；【說明】解答本題依據(jù)向量的線性關(guān)系；結(jié)合向量線性運算的幾何意義；等價轉(zhuǎn)化“動點P的軌跡所覆蓋圖形”，是解答本題的關(guān)鍵了；例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是（）A．[－eq\r(2)，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，1)C．[－eq\r(2)，－1]D．(1，eq\r(2)]【提示】注意：“外心”與“∠C＝45°”交匯的隱含條件；【答案】B；【解析】由題意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以O(shè)A，OB為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，不妨設(shè)A(1,0)，B(0,1)，則C在圓O的優(yōu)弧AB上，設(shè)C(cosα，sinα)，則α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，顯然eq\o(OC,\s\up6(→))＝cosαeq\o(OA,\s\up6(→))＋sinαeq\o(OB,\s\up6(→))，即m＝cosα，n＝sinα，m＋n＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(9π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，所以m＋n∈[－eq\r(2)，1)，故選B；【說明】本題結(jié)合題設(shè)的隱含條件，創(chuàng)設(shè)建立平面直角坐標系；利用向量的坐標表示，借助三角函數(shù)的有界性解答取值范圍問題；例5、在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點O為△ABC的外接圓的圓心，A＝eq\f(π,3)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λμ的最大值為________．【提示】注意：結(jié)合題設(shè)將“向量”轉(zhuǎn)化為“數(shù)量”，然后，再求最值；【答案】eq\f(1,9)；【解析】因為，△ABC是銳角三角形，所以，O在△ABC的內(nèi)部，所以，0<λ<1,0<μ<1；由eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，得(1－λ－μ)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，兩邊平方后得，(1－λ－μ)2eq\o(AO,\s\up6(→))2＝(λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→)))2＝λ2eq\o(OB,\s\up6(→))2＋μ2eq\o(OC,\s\up6(→))2＋2λμeq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，因為，A＝eq\f(π,3)，所以，∠BOC＝eq\f(2π,3)，又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|；所以，(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，所以，1＋3λμ＝2(λ＋μ)，因為，0<λ<1,0<μ<1，所以，1＋3λμ≥4eq\r(λμ)，設(shè)eq\r(λμ)＝t，所以，3t2－4t＋1≥0，解得t≥1(舍)或t≤eq\f(1,3)，即eq\r(λμ)≤eq\f(1,3)?λμ≤eq\f(1,9)，所以，λμ的最大值是eq\f(1,9)；【說明】本題主要利用向量的數(shù)量積運算實現(xiàn)“向量”與“數(shù)量”的轉(zhuǎn)化；然后，利用“換元”或基本不等式解答最值問題；【歸納】關(guān)于四心的概念及性質(zhì)：（1）重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點．性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)；即G為△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))．④重心到三角形3個頂點距離的平方和最?。?）垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點．性質(zhì)：銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心在直角頂點上，鈍角三角形的垂心在三角形外．（3）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)．性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．②，特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．（4）外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心)．性質(zhì)：外心到三角形各頂點的距離相等．【即時練習】1、在中，，，分別為的重心和外心，且，則的形狀是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．上述三種情況都有可能【答案】B；【解析】在中，，分別為的重心和外心，取的中點為，連接、、，則，，，，由，則，即，則，又，則有，由余弦定理可得，即有為鈍角．則三角形為鈍角三角形．故選B．2、設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)B．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(b,c)C．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(c2,b2)D．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(c,b)【答案】A；【解析】設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(AC,\s\up6(→))．因為O是△ABC的內(nèi)心，所以AO平分∠BAC，所以平行四邊形AMON為菱形，且λ1>0，λ2>0，由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AN,\s\up6(→))|，得|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|λ2eq\o(AC,\s\up6(→))|，即λ1c＝λ2b，亦即eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)，故選A．3、過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為____．【答案】eq\f(3,5)【解析】因為O是重心，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))?eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))?eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OC,\s\up6(→))，因為P，O，Q三點共線，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以－eq\f(3,4)(1－n)＝－eq\f(1,2)n，解得n＝eq\f(3,5)．4、設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，則B的大小為________．【答案】60°；【解析】∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0．又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．根據(jù)正弦定理知b＝a＝c，∴三角形ABC是等邊三角形，則角B＝60°；【秒殺】∵G為△ABC的重心，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又∵sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，∴sinA＝sinB＝sinC，∴三角形ABC是等邊三角形，則角B＝60°．5、已知P是邊長為3的等邊三角形ABC外接圓上的動點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值為【答案】5eq\r(3)；【解析】設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，則圓的半徑為eq\f(3,\f(\r(3),2))×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))2＝51＋8eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))≤51＋24＝75，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))≤5eq\r(3)，當eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))同向共線時取最大值；6、已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，求：有序?qū)崝?shù)對(x，y)；【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))；【解析】取AB的中點M和AC的中點N，連接OM，ON，則eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))