第二章函數(shù)第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

第二章函數(shù)

第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

2.3.1函數(shù)的單調(diào)性(1)

教材分析

函數(shù)單調(diào)性的第一課時，主要學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化趨勢(單調(diào)性的定義)及簡單的應(yīng)用,

是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個、也是最基本的一個性質(zhì)，對于分析函數(shù)性質(zhì)、求函數(shù)最值、比較大小、

解不等式、函數(shù)零點的判定以及其他函數(shù)綜合問題等，都有重要的應(yīng)用，掌握函數(shù)單調(diào)性的定義和應(yīng)用，

為學(xué)習(xí)暴函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，包括導(dǎo)函數(shù)等做好準(zhǔn)備。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

(1)知識目標(biāo)：

利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單

調(diào)性，及作差結(jié)果符號的判斷方法；熟悉常見函數(shù)(絕對值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等)的單調(diào)性及簡

單應(yīng)用。

(2)核心素養(yǎng)目標(biāo)：

通過函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)和簡單的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高

學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直觀想象能力。

教學(xué)重難點

(1)利用函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性、尋找函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，及作差結(jié)果符號的判斷方法;

(3)常見函數(shù)(絕對值函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等)的單調(diào)性及簡單應(yīng)用。

課前準(zhǔn)備

多媒體課件

教學(xué)過程

一、知識引入

初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)">°時，直線是向右上，即函數(shù)值》隨

”的增大而增大，當(dāng)“<0時，直線向右下，即函數(shù)值隨*的增大而減小。同樣二次函數(shù)、

反比例函數(shù)等，也有類似的性質(zhì)。

思考討論:

(1)如圖，是某位同學(xué)從高一到高三上學(xué)期的考試成績的統(tǒng)計圖，從圖中，你可以得出該同學(xué)成績是怎

樣變化的呢？

提示：高一時成績在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考試成績逐步提高，到高三上

期時已經(jīng)進入前五名。

(2)如圖，是函數(shù)/⑶。6［-6,9］)的圖象，說出在各個區(qū)間函數(shù)值"W隨"的值的變化

情況.

［一6,-5卜［-2,4［3,4.51、［7月上，函數(shù)值八燈都是隨X

提不：在區(qū)間的值的增大而增

大；

［―5,—2］、［L3］、［4.5,7］、［8用上，函數(shù)值"乃都是隨"的值的增大而減

在區(qū)間

小.

二、新知識

一般地，在函數(shù)定義域內(nèi)的一個區(qū)間人上.

如果對于任意的孫”&當(dāng)“15時都有，（必）＜〃功，那么就稱函數(shù)）'=〃"）在

區(qū)間”上是增函數(shù)或遞增的；

如果對于任意的孫獨”,當(dāng)必＜”2時，都有/（%）＞/（功，那么就稱函數(shù)y="乃在

區(qū)間，上是減函數(shù)或遞減的。

P注意：

①函數(shù)"在區(qū)間4上是增函數(shù)（減函數(shù)），那么就稱函數(shù)在區(qū)間4上是單調(diào)函數(shù)，或

稱在區(qū)間”上具有單調(diào)性，區(qū)間A稱為函數(shù)）'=〃"）的單調(diào)區(qū)間.

如:一元二次函數(shù)八幻=，在區(qū)間［°，+◎上是單調(diào)增函數(shù)（單調(diào)遞增），區(qū)間［。，+8）

是函數(shù)"幻=必的單調(diào)增區(qū)間：

②增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的；

③”函數(shù)在區(qū)間“上單增”與“函數(shù)的單增區(qū)間是兩種敘述含義是不同的.

如：函數(shù)-2”-1的單調(diào)遞增區(qū)間為［乙+8）,則對稱軸a=2

函I數(shù)八幻=/一2"一1在區(qū)間"，+8）上單調(diào)遞增，則對稱軸0'2

_1

④函數(shù)‘-’的定義域為（-8,0）U（0,+8）,由函數(shù)圖象可知，在兩個區(qū)間上函數(shù)都是單調(diào)遞

減的，但不能說成“函數(shù)在定義域內(nèi)遞減”或“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,0）U（0,+8）,,,

而只能說''函數(shù)在區(qū)間（-S'"和區(qū)間（°,+S（上都是遞減的”.

例1.設(shè)"X）畫出函數(shù)""+3）03）的圖象，并通過圖象直觀判斷它的單調(diào)性.

八"3）=士（"-3）;（%）=；

解：函數(shù)，+3,其圖象是函數(shù)”的圖象向左平移3個單位得到，如圖，該函數(shù)在

區(qū)間（-8,-3）上單調(diào)遞減。

例2.根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷)'=比一”的單調(diào)性.

y=|x—1|={(一811

解：函數(shù)lx-1x>1,畫出該函數(shù)的圖象，如圖，函數(shù)在區(qū)間('J上是減函數(shù)，在區(qū)間

[1，+8)上是增函數(shù).

例3.判斷函數(shù)八為—3*+2的單調(diào)性，并給出證明

解：畫出函數(shù)“為二-3"+2的圖象，如圖，可以看出函數(shù)在“上是減函數(shù).

下面用定義證明這一單調(diào)性.

任取孫”R且則"L沏<0

/(^i)-f(^)=(-3xi+2)-(-3X2+2)=-3(Xi-x2)>0即/(Xi)>f(上)

所以函數(shù)八為=-3》+2在*上是減函數(shù).

思考討論(綜合練習(xí))

(1)二次函數(shù)"幻=必+20*+2在區(qū)間口21上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍;

/(%)=V^+l-a%證明：當(dāng)a-1時，函數(shù)f(x)“[0,+oo)

(2)設(shè)函數(shù)>''在區(qū)間’上是減

函數(shù);

了⑺-是區(qū)間E+8)上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)°的取值

(3)已知a函數(shù)

范圍;

E,函數(shù)f(x)="2-2x-l在區(qū)間［"+1］上的最小值是g(c,求

(4)設(shè)實數(shù)

g并畫出=g⑷的圖象.

提示：(1)二次函數(shù)八")=壯+2a+2,圖象拋物線開口向上，對稱軸"=-Q

口?上單調(diào)，則-a<1-a>2

函數(shù)在區(qū)間或，所以0的取值

a<-2.a>-l

范圍為或

/戊2C[0,+oo)Xi<x

⑵設(shè),.EL2

fM-/(x2)="X。+i-axj-(VX22+1-ax2)

=+1-J.+1-a(%1-%2)

X12—%22

1----,,———aCq—%)

22

Jx*2+1+Jx2+1

肛+分

=(必一42)(

GiZ+l+JxjZ+i

…，所以%1—X<0

因為2

Xi+x；<]

2

2+1+y/%2+1>+%24~+i+yGzZ+ia>1

與+與-a<0

、kiZ+l+JxzZ+1

f(%l)一/(%2)>。

即/(xi)>r(》2)

函數(shù)八")在區(qū)間◎+8)上是減函數(shù)

⑶任取/<叱且孫孫中+8)

3

f(Xi)-f(x2)=(Xi-OX1)-(X23-ax2)=(xj-x23)-a(x1-%2)

22

=(%-X2)(^I+^2+x/2-a)

22

XpX2c[L+8)得Xi+x2+XiX2>3

根據(jù)題意，/2+*22+%/2-°的符號恒正或恒負(fù)，故

所以實數(shù)"的取值范圍是(°'司

(4)畫出函數(shù)"幻="2-2X-1的圖如如圖，拋物線對稱軸為x=1

當(dāng)，+1<1時(t<0),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

f(X)mi"=g(t)=/(t+i)=t2-2

當(dāng)>l0j.(°wi),函數(shù)在區(qū)間上的最小值

為f(x)m?=g(t)=AD=-2

t>1

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

fMmin=P(0=/(0=t2-2t-l

t2-2,t<0

g(t)=?-20<t<1

2

綜上,tt>l；畫出函數(shù)圖象如圖:

三、課堂練習(xí)

教材P60,練習(xí)1、2、3.

四、課后作業(yè)

教材P62,習(xí)題2-3：A組第1、2、3、4題.

教學(xué)反思

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它反映了函數(shù)的變化趨勢，通過函數(shù)圖象，可以直觀、定性地

進行初步判斷，要精確地判斷函數(shù)的單調(diào)性，還是要根據(jù)定義證明，今后還要學(xué)習(xí)其他方法（導(dǎo)數(shù)等）判

斷函數(shù)的單調(diào)性。

在函數(shù)的很多問題中（求值域、求極值等）都要用到函數(shù)的單調(diào)性。

第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

2.3.1函數(shù)的單調(diào)性(2)

教材分析

上一節(jié)，同學(xué)們已經(jīng)可以利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義以及用定義證明

函數(shù)的單調(diào)性、找出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函

數(shù)等)單調(diào)性的分析和證明，達到熟練運用函數(shù)單調(diào)性，解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

(1)知識目標(biāo)：

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等)單調(diào)性的

分析和證明；熟練利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜合問題。

(2)核心素養(yǎng)目標(biāo)：

通過函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直

觀想象能力。

教學(xué)重難點

(1)利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)復(fù)雜函數(shù)(雙曲函數(shù)、分式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等)單調(diào)性的分析和證明;

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)、不等式等函數(shù)綜合問題。

課前準(zhǔn)備

多媒體課件

教學(xué)過程

思考討論:

（1）增函數(shù)和減函數(shù)的定義是什么？

提示：在函數(shù)y=/（“）定義域內(nèi)的一個區(qū)間”上，如果對于任意的當(dāng)/J

時，都有〃必）</3）,就稱函數(shù)〉'=八"在區(qū)間"上是增函數(shù)；如果都有‘（必）>〃翹）,

就稱函數(shù)y=，a）在區(qū)間”上是減函數(shù).

（2）如果有兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x）,在同一個區(qū)間’上都是單增（單減）函數(shù)，那

么函數(shù)'=,⑶+g⑶的具有怎樣的單調(diào)性？能不能判斷函數(shù)y=八幻-g⑶的單調(diào)性呢？

提示：函數(shù)y"（乃+g⑶也是單增（單減）函數(shù)，函數(shù)y="“）⑶的單調(diào)性不確定。

例今判斷函數(shù)"幻=0的單調(diào)性，并給出證明.

解：畫出函數(shù)的圖象，可以看出，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

下面給出證明:

設(shè)孫數(shù)c[0,+8),口貝IJ%1-孫<0

網(wǎng)）-外出=跖一內(nèi)=麟

網(wǎng)+歷>0./(Xi)-/(X2)<0

即所以函數(shù)八為=4在定義域電+8）上是增函數(shù).

例5.試用定義證明：函數(shù)""一"+’在區(qū)間（0'L上是減函數(shù)，在區(qū)間口'+8）上是增函數(shù).

解：設(shè)//2C（叫且M<*2,則%L%2<°

/⑺一了⑸=3+3-（力+3=（VM）-需=5-0（1-土”可產(chǎn)）

x,X26(0,1].0<XiX<1%1X-1<0Xi-X<0

tf??2，2，2

7(^1)-7(^2)>0日物f。)=%+-曰廿N粉

7，即函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

同理可證，函數(shù)"在區(qū)間L’上是增函數(shù).

P注意：

①函數(shù)一‘在區(qū)間"'It是減函數(shù)，在區(qū)間口'+8)上是增函數(shù).

X十,一1"r戈=1

在區(qū)間(°,+8)上，由函數(shù)的單調(diào)性或由均值不等式

X,可得當(dāng)

y=x+-xc(-8,0)時函數(shù)的單調(diào)

時，函數(shù)”取得最小值2，同理也可以得到

性。畫出該函數(shù)的圖象，如圖，該函數(shù)又叫雙曲函數(shù).

￥

7-101?

/,(x)=ax+-(a>0,b>0)ro+c

形如X的函數(shù)，在區(qū)間上也具有類似的性質(zhì)，根據(jù)均

X=■/時，函數(shù)取得最小值2啊函數(shù)在區(qū)間(°’7rl上是減

值不等式，可得當(dāng)

[E+c

，上是增函數(shù)；

函數(shù)，在區(qū)間

②設(shè))'是"的函數(shù)y=f(ul"是％的函數(shù)”=g⑸，其中函數(shù)”=g)

的值域是函數(shù)y=/(u)的定義域或子集，則函數(shù))'="以")稱為函數(shù)>=〃")與函數(shù)

u=以為的復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性常采用分層分析的方法:

如：函數(shù)y=療三令"=/+i,則y=?

當(dāng)*e(-8,o)時，”業(yè)=*2+［、)=向、，所以函數(shù)y=V^+T

在(一8，°)時單減，

當(dāng)xe(0,+8)時，x/,u=x2+l/,y=向/所以函數(shù)y=V^+l

在X6(-8,0)時單增，

其中“7”代表增大，“'”代表減小.

③有些函數(shù)問題中(如求值域、求最值等)，如果要用到函數(shù)的單調(diào)性，而又不需證明，可以通過分析

的方法，得到函數(shù)的單調(diào)性.

“、1—2x

/(X)=---ro31

如：求函數(shù)XT在區(qū)間L」上的最值.

作)=號=空三二=一2一告

當(dāng)*c［2,3］時，隨著”，才，所以函數(shù)/⑸/，即函數(shù)

單增.

所以用)而"=八2)=-3,加.="3)=一：

思考討論(綜合練習(xí))

(1)如果函數(shù)/(x)=x2+br+c對任意實數(shù)“都有/(2+%)=/(2-x)試比較

個？?、f(3)的大??；

f(幻=12x+1%<0

(2)函數(shù)"一1"+。-1*>°在江上單調(diào)遞增，求實數(shù)°的取值范圍

(3)求函數(shù)y=13_2%_%2的單調(diào)區(qū)間;

(4)已知定義在區(qū)間(°'+8)上的函數(shù),(X),滿足：。對任意x,ye(0,+oo)都有

f(xy)=/a)+f(y)；⑴當(dāng)0。<1時，ra)>°.

①判斷并證明/(X)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

②解關(guān)于“的不等式/(l-2a)-/(4-a2)>0

提示：(1)根據(jù)題意，對任意實數(shù)“都有"2+x)=,(2一”),則二次函數(shù)圖象的對稱軸為”=2,拋物線開

口向上，所以離對稱軸距離越遠(yuǎn)的自變量，對應(yīng)的函數(shù)值越大

所以A-3)>/(3)>f(2)

(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在時單增，且在分界點處，右側(cè)函數(shù)值不小于左

側(cè)函數(shù)值，即且"1氾得a",所以實數(shù)0的取值范圍為a>2

⑶函數(shù)有意義，則3-2%