數(shù)學(xué)（選修22）練習(xí)4.2.14.2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算活頁作業(yè)3

活頁作業(yè)(三)幾個(gè)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表1．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是()①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝－eq\f(1,2)x－eq\s\up7(\f(3,2))；④(eq\r(5,x2))′＝eq\f(2,5)x－eq\s\up4(\f(3,5))；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3 B．4C．5 D．6解析：②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos2)′＝0.答案：B2．已知過曲線y＝eq\f(1,x)上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).∴k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－4.∴x0＝±eq\f(1,2).當(dāng)x0＝eq\f(1,2)時(shí)，y0＝2，當(dāng)x0＝－eq\f(1,2)時(shí)，y0＝－2.答案：B3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5解析：∵f(x)＝xa，∴f′(x)＝axa－1.∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4.∴a＝4.答案：A4．已知曲線y＝f(x)＝x3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b等于()A．4 B．－4C．28 D．－28解析：∵點(diǎn)(2,8)在切線上，∴2k＋b＝8.①又f′(2)＝3×22＝12＝k，②由①②可得k＝12，b＝－16.∴k－b＝28.答案：C5．已知f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝mx，且g′(2)＝eq\f(1,f′2)，則m＝____________.解析：由題意，得f′(x)＝－eq\f(1,x2)，g′(x)＝m.∵g′(2)＝eq\f(1,f′2).∴m＝－4.答案：－46．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x＞0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________.解析：由題意，得y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1.設(shè)P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－eq\f(1,x2)(x＞0)，則曲線y＝eq\f(1,x)(x＞0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－eq\f(1,m2)(m＞0)．∵兩切線垂直，∴k1k2＝－1.∴m＝1，n＝1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)．答案：(1,1)7．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線的方程為____________________.解析：∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3≥3，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，斜率最小，切點(diǎn)為(－1，－14)．∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝08．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x16；(2)y＝eq\f(1,x8)；(3)y＝eq\r(5,x3).解：(1)y′＝(x16)′＝16x15.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x8)))′＝(x－8)′＝－8x－9＝－eq\f(8,x9).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\s\up4(\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)x－eq\s\up4(\f(2,5))＝eq\f(3,5\r(5,x2)).9．求曲線y＝cosx在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線方程．解：∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴曲線過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切線的斜率為－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).故所求切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即eq\r(3)x＋2y－1－eq\f(\r(3),3)π＝0.10．若曲線y＝f(x)＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則直線l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)．則直線l的斜率k＝f′(x0)＝4xeq\o\al(3,0)＝4，x0＝1.∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)．∴l(xiāng)的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案：A11．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為____________.解析：由題意，得y′＝ex.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，①,y0＝ex0，②,k＝ex0，③))∴ex0＝ex0·x0.∴x0＝1.∴k＝e.答案：e12．若曲線y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))在點(diǎn)(a，a－eq\s\up7(\f(1,2)))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝____________.解析：∵y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))，∴y′＝－eq\f(1,2)x－eq\s\up4(\f(3,2)).∴曲線在點(diǎn)(a，a－eq\s\up7(\f(1,2)))處的切線的斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up4(\f(3,2)).∴切線方程為y－a－eq\s\up7(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up4(\f(3,2))(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)a－eq\s\up7(\f(1,2))；令y＝0，得x＝3a∴該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(9,4)aeq\s\up7(\f(1,2))＝18.∴a＝64.答案：6413．已知A，B，C三點(diǎn)在曲線y＝eq\r(x)上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1＜m＜4)，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，m的值等于____________.解析：如圖，在△ABC中，邊AC是確定的，要使△ABC的面積最大，則點(diǎn)B到直線AC的距離應(yīng)最大．可以將直線AC平移，顯然當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，距離達(dá)到最大，即當(dāng)過點(diǎn)B的切線平行于直線AC時(shí)，△ABC的面積最大．∵f′(m)＝eq\f(1,2\r(m))，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,2)，∴kAC＝eq\f(2－1,4－1)＝eq\f(1,3).∴eq\f(1,2\r(m))＝eq\f(1,3).∴m＝eq\f(9,4).答案：eq\f(9,4)14．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，試求f2015(x).解：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx＝f0(x)，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，……fn＋4(x)＝fn(x)．可知周期為4.∴f2015(x)＝f3(x)＝－cosx.15．設(shè)直線l1與曲線y＝eq\r(x)相切于點(diǎn)P，直線l2過點(diǎn)P且垂直于l1，若l2交x軸于點(diǎn)Q，作PK垂直x軸于點(diǎn)K.求KQ的長．解：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則kl1＝y(tǒng)′|x＝x0＝eq