門愛東的數(shù)字信號處理教案4省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第四章IIR數(shù)字濾波器設計4.1引言4.2模擬濾波特征迫近4.3模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真4.4脈沖響應不變法4.5雙線性變換法4.6數(shù)字濾波器變換4.7IIR濾波器優(yōu)化設計第1頁4.1引言1.數(shù)字濾波器設計過程 一個數(shù)字濾波器設計過程，大致可歸納為3個步驟。 (1)按照實際需要確定濾波器性能要求。(2)用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)函數(shù)去迫近這個性能要求，這種系統(tǒng)函數(shù)能夠分為兩類，即IIR系統(tǒng)函數(shù)與FIR系統(tǒng)函數(shù)。第2頁(3)用一個有限精度運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包含選擇運算結構，如級聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型、正準型和頻率采樣型等，還包含適當字長和有效數(shù)字處理方法等。第3頁2.IIR數(shù)字濾波器設計方法 IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是z有理函數(shù)，可表示為第4頁這種設計普通有3種方法。(1)簡單濾波器零極點位置累試法。(2)用模擬濾波器理論來設計數(shù)字濾波器。(3)用優(yōu)化技術設計參數(shù)。第5頁3.設計標準 利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，即從已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。其慣用方法有脈沖響應不變法和雙線性變換法兩種，但不論哪種方法都遵照數(shù)字仿真標準。第6頁4.2模擬濾波特征迫近1.問題提出 其頻帶按作用不一樣分為以下3部分，如圖4-1所表示： 通帶——濾波器中能使信號經(jīng)過頻帶； 阻帶——抑制噪聲經(jīng)過頻帶； 過渡帶——從通帶到阻帶過渡頻率范圍。第7頁圖4-1模擬濾波器幅頻特征第8頁按劃分標準不一樣，濾波器分為很各種類。按處理信號種類分為模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)和數(shù)字濾波器(其輸入輸出皆為數(shù)字量)；按其應用不一樣分為有源濾波器和無源濾波器；按其通頻帶劃分為低通濾波器(只允許低頻信號經(jīng)過而抑制高頻信號)、高通濾波器(只允許高頻信號經(jīng)過而抑制低頻信號)、帶通濾波器(只允許某一頻帶信號經(jīng)過)和帶阻濾波器(只抑制某一頻帶信號)。第9頁2.巴特沃思(Butterworth)濾波特征迫近(1)Butterworth濾波器特征 Butterworth濾波器特點是含有通帶內(nèi)最大平坦振幅特征，而且在正頻率范圍內(nèi)是隨頻率升高而單調下降，它振幅平方函數(shù)為第10頁(2)Butterworth圖表設計法 其設計步驟概括起來有以下幾個方面：第11頁(3)巴特沃斯低通濾波器Matlab實現(xiàn)

在Matlab中能夠用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs條件下，所需要最小Butterworth模擬濾波器階數(shù)和3dB頻率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp和Ws說明了濾波器兩個邊緣頻率，其中第一個元素是低端頻率。第12頁3.切比雪夫(Chebyshev) 濾波特征迫近(1)Chebyshev濾波器特征 Chebyshev濾波器頻率特征在通帶內(nèi)是等波紋，在阻帶內(nèi)是單調下降，它比同階Butterworth濾波器下降快，如圖4-5所表示，而在通帶內(nèi)則是等波紋，通帶內(nèi)波動峰值個數(shù)與階數(shù)N相關，N越大，波動越快第13頁圖4-5Chebyshev濾波器頻率特征圖第14頁 Chebyshev濾波器幅度平方函數(shù)為 式中N是濾波器階數(shù)，Ωc是通帶寬度，當ε=1時，它等于通帶3dB截止頻率，如圖4.5所表示。第15頁(2)Chebyshev濾波器特征極點 對于N階Chebyshev濾波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函數(shù)在s平面上有2N個極點，這2N個極點都是成復共軛對出現(xiàn)，且關于虛軸對稱，沒有點落在虛軸上。第16頁極點可由作圖法確定，即(1)以aΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(2)以bΩc為半徑畫圓，將其圓周等分為2N個點；(3)每個極點縱坐標由大圓對應點縱坐標確定，每個極點橫坐標由小圓對應點橫坐標確定。第17頁(3)Chebyshev濾波器設計方法 如同Butterworth濾波器，Chebyshev濾波器也能夠采取查表法進行設計，其步驟以下。 (1)頻率歸一化，求λp，λs。 (2)依據(jù)αp，αs查歸一化頻率——幅度特征曲線，確定濾波器階數(shù)N。第18頁第19頁(4)Chebyshev濾波器Matlab

實現(xiàn) 在Matlab

中能夠用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小Chebyshev

I

模擬濾波器階數(shù)。在數(shù)字濾波器中，wp和ws

在0~1之間，而在模擬濾波器中，wp和ws能夠大于1。第20頁Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設計。對于帶通和帶阻濾波器，Wp

和Ws

是一個兩元素是量，說明了濾波器兩個邊緣頻率，第一個元素是低端頻率。

第21頁而用Matlab

函數(shù)[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

階低通Chebyshev

I

原型模擬濾波器零點、極點和增益，通帶內(nèi)波動為Rp

dB。極點p

和增益k

是長度為n

行矢量，而零點z

是空矩陣。其傳輸函數(shù)為：第22頁4.Cauer濾波器特征 Cauer濾波器又稱橢圓濾波器，它特點是在通帶和阻帶內(nèi)都有等波紋振幅特征。它之所以被稱為橢圓濾波器，是因為其振幅特征是由雅可比橢圓函數(shù)來決定，其振幅平方函數(shù)為 式中，JN(Ω)是雅可比橢圓函數(shù)，N為濾波器階數(shù)。第23頁在Matlab

中能夠用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小橢圓模擬濾波器階數(shù)。第24頁4.3模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真1.時域數(shù)字仿真 如圖4-1所表示，h(t)表示模擬系統(tǒng)La沖激響應，而h(n)表示數(shù)字系統(tǒng)Ld沖激響應。若h(n)等于Tha(t)取樣，即h(n)=Tha(nT)

當T足夠小時，Ld將是La數(shù)字仿真，即y(n)=yT(nT)

第25頁2.頻域中數(shù)字仿真(1)輸入為單頻指數(shù)信號 設x(t)=ejΩt，若模擬系統(tǒng)La系統(tǒng)函數(shù)為Ha(S)，未知Ld系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，則模擬系統(tǒng)輸出為y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t

數(shù)字系統(tǒng)輸出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT第26頁(2)輸入為任意信號 為了建立含有普遍意義仿真條件，需要在頻域內(nèi)建立Ha(Ω)和H(ejΩT)關系，用沖激響應ha(t)和h(n)表示這些函數(shù)。第27頁第28頁4.4脈沖響應不變法1.脈沖響應不變法設計方法 在此所講設計方法，是在給定了模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)情況下，求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)方法。第29頁2.z平面與s平面映射關系 由式(4-28)能夠看到，s平面與z平面變換關系為第30頁 假如僅考慮極點話，則這種映射關系變?yōu)槭街袘昧藌和s表示式z=rejω和s=σ+jΩ。第31頁3.Matlab實現(xiàn)4.脈沖響應不變法特點 由以上討論，能夠將脈沖響應不變法特點歸結成3點，以下所述。 (1)保持了模擬濾波器時域瞬態(tài)特征，這是脈沖響應不變法一大優(yōu)點。 (2)當模擬濾波器頻率響應不是嚴格限帶時，則用脈沖響應不變法設計出來數(shù)字濾波器有頻域混迭失真，這是脈沖響應不變法缺點。第32頁(3)因為(2)而使得這種設計方法使用受到限制，即當Ha(Ω)不嚴格限帶或時域內(nèi)改變不太平穩(wěn)，而設計性能要求又較高時，不宜使用這種方法。第33頁4.5雙線性變換法1.雙線性變換關系導出 由式(4-25)能夠知道，普通模擬濾波器基本單元都是積分器1/s，如圖4-15所表示式(4-25)框圖。第34頁圖4-15由積分器基本單元組成模擬網(wǎng)絡框圖第35頁第36頁2.s平面與z平面映射關系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，則得到第37頁第38頁3.Matlab實現(xiàn)4.雙線性變換法特點 由以上討論總結雙線性變換法特點以下所述。 (1)模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在幅度頻率特征混迭失真。 (2)因為(1)而對模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(Ω)要求放寬，故適用范圍廣。第39頁(3)模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后出現(xiàn)相位頻率特征失真，所以對濾波器相位特征有較嚴格要求時，不宜采取這種方法。第40頁4.6數(shù)字濾波器變換1.濾波器數(shù)字頻率變換 假如用雙線性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，對于如圖4-20所表示低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來說，它能夠用一個和雙線性變換非常相同有理變換從低通數(shù)字濾波器變換出來。第41頁圖4-20理想濾波器特征第42頁 所以要求 (1)G(Z-1)必須是Z-1(或Z)有理函數(shù)； (2)z平面單位圓內(nèi)部必須映射成Z平面單位圓內(nèi)部。第43頁第44頁第45頁2.Matlab實現(xiàn)第46頁4.7IIR濾波器優(yōu)化設計1.最小均方誤差設計法假定IIR濾波器z變換式能夠寫成級聯(lián)式第47頁 令該濾波器所要求頻率響應為Hd(ejw)，在一離散頻率集{ωi，I=1,2,……,M)(無須是均勻間隔)上濾波器實際頻率響應H(ejw)與所要求頻率響應Hd(ejw)之間均方誤差E定義為第48頁 普通地說，求誤差函數(shù)E(θ)最小值．能夠將E(θ)對每個參數(shù)作一次微分，并令其導數(shù)為零，即第49頁 Fletcher－powell法是一個有效非線性優(yōu)化算法，使用了最優(yōu)化計算程序計算誤差函數(shù) 對參數(shù)φ梯度和斜率，用做處理誤差最小化準則。第50頁(1)利用優(yōu)化程序在不約束極點和零點位置情況下使 極小。(2)將單位圓外部全部極點或零點作鏡象替換，繼續(xù)優(yōu)化，直到抵達一個新極小值為止。第51頁2.最小p誤差設計法 最小p誤差設計是指p次冪誤差加權平均最小化，所以離散迫近幅頻響應最小化