專題08 平面向量-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國）含解析

專題08平面向量-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國通用）含解析專題08平面向量考向一平面向量數(shù)量積【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】11【試題解析】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．【命題意圖】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量數(shù)量積；（4）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算.【得分要點(diǎn)】；；（3）利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義及數(shù)形結(jié)合，巧妙解題.考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）【母題題文】已知向量，則（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】D【試題解析】因?yàn)?，所?故選：D【命題意圖】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求值.【命題方向】這類試題在通常以選擇題、填空題的形式考查，屬于低檔題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算；（2）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式；（3）平面向量平行垂直的坐標(biāo)表示.【得分要點(diǎn)】熟練平面向量坐標(biāo)表示； 利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求值；一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·河南南陽·高一期末）已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·太湖高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且4．（湖北省襄陽市普通高中2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，，A，B，C三點(diǎn)共線，則m＝（

）A．－ B． C．－6 D．65．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．－1 B． C．－2 D．16．（2022·廣西賀州·高一期末）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且，則等于（

）A． B．C． D．7．（2022·河南開封·模擬預(yù)測(cè)（理））已知兩個(gè)單位向量與的夾角為，若，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．8．（山西省大同市2023屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題）在中，E為上一點(diǎn)，，P為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．129．（山東省青島市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點(diǎn)，與交于，則（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值為___________.12．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則向量的范圍是____________．13．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．14．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)為平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是________.15．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），，則的最小值為______．16．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動(dòng)的線段，，，，則的取值范圍為________________.

專題08平面向量考向一平面向量數(shù)量積【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】11【試題解析】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．【命題意圖】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，多為低檔題，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量數(shù)量積；（4）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算.【得分要點(diǎn)】；；（3）利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義及數(shù)形結(jié)合，巧妙解題.考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）【母題題文】已知向量，則（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】D【試題解析】因?yàn)?，所?故選：D【命題意圖】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求值.【命題方向】這類試題在通常以選擇題、填空題的形式考查，屬于低檔題目，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算；（2）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式；（3）平面向量平行垂直的坐標(biāo)表示.【得分要點(diǎn)】熟練平面向量坐標(biāo)表示； 利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求值；一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用向量數(shù)量積和向量相等去判斷二者之間的邏輯關(guān)系即可.【詳解】若，則，則或時(shí)，故充分性不成立；若，則，，故必要性成立，故“”是“”必要不充分條件.故選：B.2．（2022·河南南陽·高一期末）已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，又因?yàn)槭桥c同向的單位向量，所以.故選：D.3．（2022·浙江·太湖高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且【答案】B【解析】【分析】由題意，利用、上的單位向量相等的條件，得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)楸硎九c同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以要使成立，即、方向上的單位向量相等，則必需保證、的方向相同，故成立的充分條件可以是；故選：B．4．（湖北省襄陽市普通高中2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，，A，B，C三點(diǎn)共線，則m＝（

）A．－ B． C．－6 D．6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理，列方程求即可.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，又是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，所以可設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故選：C.5．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．－1 B． C．－2 D．1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求解即可【詳解】故選：A6．（2022·廣西賀州·高一期末）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：在中，為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以；故選：C7．（2022·河南開封·模擬預(yù)測(cè)（理））已知兩個(gè)單位向量與的夾角為，若，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合已知即可求m的值.【詳解】由題意，又與的夾角為且為單位向量，所以，可得.故選：A8．（山西省大同市2023屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題）在中，E為上一點(diǎn)，，P為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．12【答案】D【解析】【分析】利用向量共線定理可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得出答案．【詳解】解：，，三點(diǎn)共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是12.故選：D．9．（山東省青島市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，由題意得：且，解得：且，故選：D10．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點(diǎn)，與交于，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，再分析求解即可.【詳解】如下圖所示，連接與交于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為三角形的重心，所以.故選：B.二、填空題11．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值為___________.【答案】##0.25【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，所以，所以.故答案為：12．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則向量的范圍是____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出，利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，利用求出取值范圍.【詳解】設(shè)，所以①,一方面，，當(dāng)且僅當(dāng)與同向，與同向時(shí)取得最大值，另一方面，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取得最小值．故．故答案為：13．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得．故答案為?4．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)為平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值是________.【答案】##【解析】【分析】先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下：，設(shè)，如圖直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，所以當(dāng)時(shí)取最小值，最小值為，所以最小值為，15．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖象，因?yàn)?，為邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故