中考數(shù)學狙擊重難點系列專題22-反比例函數(shù)與正方形的綜合(含答案)

…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………中考數(shù)學狙擊重難點系列專題第頁反比例函數(shù)與正方形的綜合1.如圖，正方形ABCD的邊長為5，點A的坐標為（﹣4，0），點B在y軸上，若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象過點C，則該反比例函數(shù)的表達式為（

）

A.

y=3x

B.

y=4x

C.

y=5x

D.

y=62.如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A在y軸上，頂點D在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，已知點B的坐標是（65，115A.

4

B.

6

C.

8

D.

103.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的頂點在y軸上，頂點D，F(xiàn)在x軸上，點C在DE邊上，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過B，C和邊EF的中點M，若S四邊形ABCDA.

239

B.

1289

C.

16

D.

1544.如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，2），以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點D恰好落在雙曲線y=kxA.

4

B.

3

C.

2

D.

15.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣4x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在雙曲線在第一象限的分支上，則a的值是________．

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形，點D恰好在雙曲線上y=kx，則k值為________．7.如圖，正方形ABCD的頂點A，B在函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，點C，D分別在x軸，y軸的正半軸上，當k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．

①當k=2時，正方形A′B′C′D′的邊長等于________．

②當變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍是________．

8.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A的坐標為(?1,1)，點B在x軸正半軸上，點D在第三象限的雙曲線y=6x上，過點C作CE//x軸交雙曲線于點E，連接BE，則ΔBCE的面積為________．9.如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A1、B1分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，則P2點的坐標為________

，P10.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，點D在雙曲線y=kx（k≠0）上，將正方形沿x軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是________．

11.如圖，直線y=﹣3x+3與x軸交于點B，與y軸交于點A，以線段AB為邊，在第一象限內作正方形ABCD，點C落在雙曲線y=kx（k≠0）上，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=kx（k≠0）上的點D1處，則a=________．12.如圖1，正方形ABCD頂點A、B在函數(shù)y=kx（k﹥0）的圖像上，點C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．

（1）若點A的橫坐標為3，求點D的縱坐標；（2）如圖2，當k=8時，分別求出正方形A′B′C′D′的頂點A′、B′兩點的坐標；（3）當變化的正方形ABCD與（2）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，求k的取值范圍．13.已知點A，B分別是x軸、y軸上的動點，點C，D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A，B，C，D各點依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數(shù)圖象的“伴侶正方形”．

例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個“伴侶正方形”．

（1）如圖1，若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長；（2）如圖2，若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=k（3）如圖3，若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，C，D中的一個點坐標為（3，4），請你直接寫出該二次函數(shù)的解析式．14.如圖，點P（3+1，3﹣1）在雙曲線y=kx（x＞0）上．

（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的頂點C，D在雙曲線y=kx15.如圖，點B（3，3）在雙曲線y=kx（x＞0）上，點D在雙曲線y=﹣4（1）求k的值；（2）求點A的坐標．16.如圖，直線y=?2x+2與x軸、y軸分別相交于點A和B.（1）直接寫出坐標：點A________，點B________；（2）以線段AB為一邊在第一象限內作□ABCD，其頂點D(3，1)在雙曲線y=kx

(x＞0)上.①求證：四邊形ABCD是正方形；

②試探索：將正方形ABCD沿x軸向左平移多少個單位長度時，點C恰好落在雙曲線y=kx

(

答案解析部分一、單選題1.【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于E，在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠OAB=∠CBE，

∵點A的坐標為（﹣4，0），

∴OA=4，

∵AB=5，

∴OB=52?42=3，

在△ABO和△BCE中，

{∠OAB=∠CBE∠AOB=∠BECAB=BC，

∴△ABO≌△BCE（AAS），

∴OA=BE=4，CE=OB=3，

∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，

∴點C的坐標為（3，1），

∵反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象過點C，

∴k=xy=3×1=3，

2.【答案】C【解析】【解答】解：如圖，過點B作BE⊥y軸于E，過點D作DF⊥y軸于F，

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

∵∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF=BE，DF=AE，

∵正方形的邊長為2，B（65，115），

∴BE=65，AE=22-652=85，

∴OF=OE+AE+AF=115+85+65=5，

∴點D的坐標為（85，5），

∵頂點D在反比例函數(shù)y=3.【答案】B【解析】【解答】解：作BH⊥y軸于B，連結EG交x軸于P，如圖，∵正方形ABCD和正方形DEFG的頂點A在y軸上，頂點D、F在x軸上，點C在DE邊上，∴∠EDF=45°，∴∠ADO=45°，∴∠DAO=∠BAH=45°，∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，∵S正方形ABCD=8，∴AB=AD=22，∴OD=OA=AH=BH=22×22∴B點坐標為（2，4），把B（2，4）代入y=kx∴反比例函數(shù)解析式為y=8x設DN=a，則EN=NF=a，∴E（a+2，a），F(xiàn)（2a+2，0），∵M點為EF的中點，∴M點的坐標為（32a+2，a∵點M在反比例函數(shù)y=8x∴3a+42?a整理得3a2+4a﹣32=0，解得a1=83，a2∴正方形DEFG的面積=4?12DN?DF=4?12?83?8故選B．【分析】根據(jù)正方形面積公式得到正方形的邊長，判斷△AOD和△ABH是等腰直角三角形，得出B點坐標，根據(jù)B點坐標得到反比例函數(shù)解析式，設DN=a，則EN=NF=a，根據(jù)正方形的性質易得E，F(xiàn)的坐標，求得M點的坐標，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得出關于a的方程，解方程求出a的值，最后計算正方形DEFG的面積．4.【答案】B【解析】【解答】解：作DE⊥x軸于E，∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，∵∠BAD=90°，∠AOB=90°，∴∠ABO=∠DAE，在△AOB和△DEA中，{∠ABO=∠DAE∴△AOB≌△DEA，∴AE=OB=2，DE=OA=1，∴點D的坐標為（3；1），∵點D恰好落在雙曲線y=kx∴k=3，故選：B．【分析】作DE⊥x軸于E，證明△AOB≌△DEA，根據(jù)全等三角形的性質得到AE=OB=2，DE=OA=1，求出點D的坐標，代入解析式計算即可．二、填空題5.【答案】3【解析】【解答】解：如圖，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN與DM交于點F，CN交反比例函數(shù)于H.

∵直線y=?4x+4與x軸、y軸分別交于A.

B兩點，

∴點B(0,4),點A(1,0),

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=BC,∠BAD=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°,∠BAO+∠DAM=90°，

∴∠ABO=∠DAM，

在△ABO和△DAM中，

{∠BOA=∠AMD=90°∠ABO=∠DAMAB=AD，

∴△ABO≌△DAM，

∴AM=BO=4，DM=AO=1，

同理可得：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=4，

∴點F(5,5),C(4,1),D(5,1)，

設點D在雙曲線y=kx

(k≠0)上，則k=5，

∴反比例函數(shù)為y=5x，

∴直線CN與反比例函數(shù)圖象的交點H坐標為(1,5)，

∴正方形沿x軸負方向平移a個單位長度后,頂點C恰好落在雙曲線y=5x6.【答案】4【解析】【解答】解：作DH⊥x軸于H，如圖，

當y=0時，-3x+3=0，解得x=1，

∴A（1，0），

當x=0時，y=-3x+3=3，

∴B（0，3），

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAO+∠DAH=90°，

又∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAH，

在△ABO和△DAH中

{∠AOB＝∠DHA∠ABO＝∠DAHAB＝DA

∴△ABO≌△DAH，

∴AH=OB=3，DH=OA=1，

∴D點坐標為（4，1），

∵頂點D恰好落在雙曲線y=kx

上，

7.【答案】2；29【解析】【解答】解：（1）如圖，過點A′作AE⊥y軸于點E，過點B′⊥x軸于點F，則∠A′ED′=90°．

∵四邊形A′B′C′D′為正方形，

∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，

∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．

∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，

∴∠ED′A′=∠OC′D′．

在△A′ED′和△D′OC′中，

{∠ED'A'=∠OC'D'∠A'ED'=∠D'OC'=90°A'D'=D'C'，

∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．

∴OD′=EA′，OC′=ED′．

同理△B′FC′≌△C′OD′．

設OD′=a，OC′=b，則EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，

即點A′（a，a+b），點B′（a+b，b）．

∵點A′、B′在反比例函數(shù)y=2x的圖象上，

∴{a(a+b)=2b(a+b)=2，解得：{a=1b=1或{a=?1b=?1（舍去）．

在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，

∴C′D′=OC'2+OD'2=2．

故答案為：2．

2）設直線A′B′解析式為y=k1x+b1，直線C′D′解析式為y=k2+b2，

∵點A′（1，2），點B′（2，1），點C′（1，0），點D′（0，1），

∴有{8.【答案】7【解析】【解答】如圖，

設D（x，6x），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，

易得△AGD≌△DHC≌△CMB，

∴AG=DH=-x-1，

∴DG=BM，

∴1-6x=-1-x-6x，

x=-2，

∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-6?2=4，

∴點E的縱坐標為-4，

當y=-4時，x=-32，

∴E（-32，-4），

∴EH=2-32=12，

∴CE=CH-HE=4-12=72，

∴S△CEB=12CE?BM=9.【答案】（2，1）；

（3+1，3﹣1）【解析】【解答】作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2D于F，如圖，

設P1（a，2a），則CP1=a，OC=2a，

∵四邊形A1B1P1P2為正方形，

∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，

∴OB1=P1C=A1D=a，

∴OA1=B1C=P2D=2a﹣a，

∴OD=a+2a﹣a=2a，

∴P2的坐標為（2a，2a﹣a），

把P2的坐標代入y=2x

（x＞0），得到（2a﹣a）?2a=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，

∴P2（2，1），

設P3的坐標為（b，2b），

又∵四邊形P2P3A2B2為正方形，

∴P2P3=P3A2，∠P3EA2=∠P2FP2，

∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，

∴P3E=P3F=DE=2b，

∴OE=OD+DE=2+2b，

∴2+2b=b，解得b=1﹣3（舍），b=1+3，

∴2b=21+3=3﹣1，

∴點P3的坐標為（3+1，3﹣1）．

故答案為：（2，1），（3+1，3﹣1）．

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了正方形的性質和三角形全等的判定與性質以及解分式方程的方法．

作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2D于F，設P1（a，2a），則CP1=a，OC=2a，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，則OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=2a﹣a，則P2的坐標為（2a，2a﹣a），然后把P2的坐標代入反比例函數(shù)y=2x，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐標；設P3的坐標為（b，10.【答案】2【解析】【解答】如圖所示，過點C作CE⊥y軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F。

∵直線y=?3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，令x=0，得y=3，∴點B的坐標為(0,3)，令y=0，得x=1，∴點A的坐標為(1,0)。∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠OBA+∠EBC=180°?90°=90°，又因為∠OBA+∠OAB=90°，所以∠OBA=∠EBC。在△OAB和△EBC中，{∠OBA=∠EBC∠AOB=∠BECAB=BC，

∴∠OBA?∠EBC(AAS)，

∴BE=OA=1，CE=OB=3，OE=OB+BE=3+1=4，即點C的坐標為(3,4)。同理可得△OAB?△FDA，所以AF=OB=3，DF=AO=1，OF=OA+AF=1+3=4，即點D的坐標為(4,1)。因為點D在雙曲線y=kx上，將(4,1)代入y=kx得k=1×4=4，所以雙曲線的解析式為y=4x。因為將正方形沿x軸向左平移b個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，所以點(3?b,4)在雙曲線y=411.【答案】2【解析】【解答】解：對于直線y=﹣3x+3，

令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0），

過C作CE⊥x軸，交x軸于點E，過A作AF//x軸，過D作DF垂直于AF于F，如圖所示，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°，

∴∠OAB=∠EBC，

在△AOB和△BEC中，

{∠AOB=∠BEC=90°∠OAB=∠EBCAB=BC，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴BE=AO=3，CE=OB=1，

∴C（4，1），

把C坐標代入反比例解析式得：k=4，即y=4x，

同理得到△DFA≌△BOA，

∴DF=BO=1，AF=AO=3，

∴D（3，4），

把y=4代入反比例解析式得：x=1，即D1（1，4），

則將正方形ABCD沿x軸負方向平移2個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=kx（k≠0）上的點D1處，即a=2，

故答案為：2．三、綜合題12.【答案】（1）解:過點A作AE⊥y軸于點E，

則∠AED=90°．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC，∠ADC=90°

∴∠ODC+∠EDA=90°．

∵∠ODC+∠OCD=90°，

∴∠EDA=∠OCD．

證得△AED≌△DOC（AAS）．

∴OD=EA

∴點D的縱坐標為3

（2）解:過點BF⊥x軸于點F，同理可得△BFC≌△COD．

∴OD=EA=CF,DE=OC=BF．

∴OE=OF.

設OD′=a，OC′=b，同上可得EA′=FC′=OD′=a，

ED′=FB′=OC′=b,即點A′（a，a+b），點B′（a+b，b）．

∵點A′、B′在反比例函數(shù)y=8x的圖象上，有a（a+b）=8,b（a+b）=8，

解得a=b=2或a=b=-2（舍去）．

∴A′、B′兩點的坐標分別為（2，4），（4，2）

（3）解:∵點A′（2，4），點B′（4，2），點C′（2，0），點D′（0，2），

根據(jù)待定系數(shù)法求得直線A′B′解析式為y=﹣x+6，直線C′D′解析式為y=﹣x+2．

設點A的坐標為（m，2m），點D坐標為（0，n）．

當A點在直線C′D′上時，

有2m=﹣m+2，解得：m=23，

此時點A的坐標為（23，43），

∴k=23×43=89，

當點D在直線A′B′上時，有n=6，此時點A的坐標為（6，12），【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥y軸于點E，可得∠AED=90°,由正方形的性質得AD=DC，∠ADC=90°,可得∠EDA=∠OCD，根據(jù)角角邊證得△AED≌△DOC，從而OD=EA，從而得出點D的縱坐標；

（2）過點BF⊥x軸于點F，同理△BFC≌△COD，由正方形的性質可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通過證△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，設OD′=a，OC′=b，由此可表示出點A′的坐標，同理可表示出B′的坐標，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關于a、b的二元二次方程組，解方程組即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出結論；

（3）由（2）可知點A′、B′、C′、D′的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B′、C′D′的解析式，設點A的坐標為（m，2m），點D坐標為（0，n），找出兩正方形有重疊部分的臨界點，由點在直線上，即可求出m、n的值，從而得出點A的坐標，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出k的取值范圍．13.【答案】（1）解：（I）當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時：

正方形ABCD的邊長為2．

（II）當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時：

設正方形邊長為a，易得3a=2，

解得a=23，此時正方形的邊長為23．

∴所求“伴侶正方形”的邊長為2或23

（2）解：如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點E、F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵點D的坐標為（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴點C的坐標為（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函數(shù)的解析式為y=2x

（3）解：實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側，與上述解析明顯不符合

a、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應的函數(shù)解析式是y=﹣37x2+557；

b、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點D坐標為（3，4）時：不存在，

c、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時：不存在

d、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時：另外一個頂點C為（﹣1，3），對應的函數(shù)的解析式是y=18x2+238；

e、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（7，﹣3）時，對應的函數(shù)解析式是y=﹣740x2+22340；

f、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（﹣4，7）時，對應的拋物線為y=37x2+17；

故二次函數(shù)的解析式分別為：y=18x2+238或y=﹣740x2+【解析】【分析】（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長.

（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標，可求出m的值，即可得到反比例函數(shù)的解析式．

（3）由拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論，即可得到所求的結論．14.【答案】（1）解：點P（3+1，3?1）在雙曲線y=kx(x>0)上，

將x=3+1，y=

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，

∴∠FBC+∠OBA=90°，

∵∠CFB=∠BOA=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°，

∴∠FBC=∠OAB，

在△CFB和△AOB中，

{∠CFB=∠AOB∠FBC=∠OABCB=AB，

∴△CFB≌△AOB（AAS），

同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，

∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，

設A（a，0），B（0，b），

則D（a+b，a）C（b，a+b），

可得：b（a+b）=2，a