2022-2023學(xué)年山西省朔州市懷仁重點中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山西省朔州市懷仁重點中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.集合｛例八180。4戊3人180。+60。水€2｝中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）

2.已知向量|引=/3,歷|=2，它們的夾角為看,則|一+方|=（）

A.10B.<10C.<73D.13

3.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,a=6,A=^,則A/IBC外接圓的面積

為（）

A.47rB.12兀C.167rD.48兀

4.函數(shù)/Xx）=4sin2x-1的最小正周期是（）

A.nB.7C.當(dāng)D.2兀

5.某圓錐的側(cè)面積為8,用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底

面和下底面半徑之比為，則該圓臺的側(cè)面積為（）

A.|B.學(xué)C.D.等

6.從裝有2個紅色乒乓球和3個白色乒乓球的口袋內(nèi)任取3個球，那么是互斥事件而不是對立

事件的兩個事件是（）

A.恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球

B.至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球

C.至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球

D.恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球

7.已知租，九是兩條不同的直線，a,0,y是三個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若a1p,aC0=n,mln,則m10

B.若租la,ri1S，al/?,則租1n

C.若a1y,/?1y,則a1，

D.若aj",B]",THua,ncy,貝

22

8.在△ABC中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,3b+2bccosA=4cf則角8的正切值

的最大值為（）

A.mB.0C*D,

31383

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.己知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）

A.若］eR,貝UzGRB.若z?GR,貝加eR

C.若z—1+3i>0,貝Uz>1—3iD.zz=\z\2

10.下列關(guān)于平面向量的說法中，正確的是（）

A.若五=匕，b=G，則五=c

B.若五〃另，b//c^WJa//c

C.（a-K）c=a（K-c）

D.若非零向量日，B滿足％五+yB=6（%,yER），且落B不共線，則久=y=0

11.將函數(shù)）7=5也（3乂+專）一制3%+工）的圖象向右平移以卬>0）個單位長度，所得到的

函數(shù)為偶函數(shù)，則9的可能取值為（）

八47r

A.IB.IC-yD.y

12.在三棱錐P-ABC中，PA=PC=4,4B=4C=BC=2,

PALAB,則下列說法正確的是（）

A.三棱錐P-ABC的外接球的表面積為207r

B.三棱錐P—ABC的體積為殍

C.直線PB與平面ABC所成角的正弦值為里

15

D.若點M是平面力BC內(nèi)的一點，且PM=乎，則點M的軌跡長度為呼兀

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某學(xué)校有高中學(xué)生800人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為260,240,

300.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用按比例分配的分層抽樣方法從中抽取

一個容量為200的樣本，那么應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為.

14.已知圓錐的母線長為1,底面半徑為r,若圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積

的泰貝4=.

15.小張、小陳、小胡獨立的做一道數(shù)學(xué)題，小張做出這道題的概率為|,小陳做出這道題

的概率為3小胡做出這道題的概率為|,每個人是否做出這道題相互沒有影響，則這道題被

做出來的概率為.

16.己知函數(shù)/'（久）=sin（3久+弓）-cos3x（3>0）在［0,加上有且僅有5個零點，則實數(shù)3的取

值范圍是.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

小胡、小陳兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中

隨機抽取8次，記錄如表：

小胡8580797594889584

小陳9395817280829285

（1）試估計兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?

請說明理由.

18.（本小題12.0分）

已知函數(shù)/'（x）=2sin（-3x+租）（0<（p<兀）的圖象的一條對稱軸是久=一今

（1）求“X）的單調(diào)減區(qū)間；

（2）求/（久）的最小值，并求出此時x的取值集合.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA_L平面ABCD,四邊形力BCD為菱形，E為棱PC上一點.

(1)若E為棱PC的中點，平面P4。C平面BDE=/,求證：PAHU

(2)若24=28,^BAD=60°,BE1PC,求直線24與平面BDE所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

共享單車企業(yè)通過在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供服務(wù),

完成交通行業(yè)最后一塊“拼圖”，帶動居民使用其他公共交通工具的熱情，與其他公共交通

方式產(chǎn)生協(xié)同效應(yīng).共享單車是一種分時租賃模式，也是一種新型綠色環(huán)保共享經(jīng)濟.某城市交

通部門為了調(diào)查該城市共享單車使用的滿意度，隨機選取了200人就該城市共享單車的使用

滿意度進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這200人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)分成5組：[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](滿意度評分值均在[50,100]內(nèi))，制成如圖所示的頻率

分直方圖.

(1)求a的值，并求出滿意度評分值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表

)；

(2)用分層抽樣的方法在滿意度評分值在[80,90),[90,100]內(nèi)的抽出6人，再從這6人中隨機抽

取2人進行座談，求抽到的2人滿意度評分值均在[80,90)內(nèi)的概率.

21.(本小題12.0分)

在ATWC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,且="+c+a)(b+c-a)

ac

(1)求角a的大?。?/p>

(2)若△力BC為銳角三角形，且bcosC+ccosB=1,求△ABC的面積的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖，四邊形力BCD是正方形，四邊形BDEF是矩形，平面4BCD1平面BDEF,直線BE與平

面力DE所成角的正切值為?.

(1)求證：平面4CE_L平面ACF；

(2)求二面角E-AF-C的大小.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：當(dāng)k=2n,neZ時，{a|n,360。WaWn,360。+60。,k6Z},

當(dāng)k=2?i+l,neZ時，a|n?360°+180°WaWn-360°+240°,kEZ],

所以選項C滿足題意.

故選：c.

n分奇偶討論，結(jié)合圖象可得答案.

本題考查了角的范圍的表示，涉及了終邊相同的角的理解以及象限角的理解，解題的關(guān)鍵是對k進

行賦值判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得同+b\=J?+r)2

=Ja2+2a-b+b2=J3+2xCx2義號+4=

故選：C.

根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及概念，計算即可得解.

本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及概念，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)正弦定理有2R=金=建=4g

則R=2V-3＞則△力BC外接圓的面積為兀?(20=127r.

故選：B.

根據(jù)正弦定理可得△4BC外接圓的半徑，即可得其面積.

本題考查正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：依題意，/(x)=4sin2x—1——2cos2x+1,

所以f⑺的最小正周期為T=y=7T.

故選：A.

利用二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的周期公式計算作答.

本題主要考查二倍角的余弦公式以及三角函數(shù)的周期公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為3r,截去的小圓錐的母線為

則圓錐的底面半徑為3r,圓錐的母線為3Z,

圓錐的側(cè)面積S]=|x2TT-3r-3Z=9nrl=8,所以兀包=

截去的小圓錐的側(cè)面積S2=1x2irr-I=nrl=

故圓臺的側(cè)面積為I—S2=8―4小

故選：D.

利用圓錐的側(cè)面積公式，將圓臺的側(cè)面積轉(zhuǎn)化為兩個圓錐側(cè)面積的差即可.

本題考查圓臺的側(cè)面積的求解，屬中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球是對立事件，故A錯誤；

至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；

至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球是互斥事件而不是對立事件，故。正確.

故選：D.

根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項分析可得答案.

本題主要考查了互斥事件和對立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：對于4缺少mua這個條件，故A錯誤；

對于8,由仇1￡,n1夕可得，在a內(nèi)存在直線〃/九，

因為7nla,所以7n11,即租1n，故5正確；

對于C,若aly,Sly,貝b與3可能平行或相交，故。錯誤；

對于因為a〃/?,/?//y,所以仇〃y,

若mua,ncy,則m,n平行或異面，故。錯誤.

故選：B.

根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷可得答案.

本題考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由3b2+2bccos4=4c2,得3b2+2兒.巳衛(wèi)衛(wèi)=4C2,得解=立紀(jì)，

2bc4

所以COSB=。2+，2-/=。2+,2-吟%=3a2+c22^^=6，

2ac2ac8ac-Sac4

當(dāng)且僅當(dāng)Ca=c時取等號，所以當(dāng)角B取得最大值時，cosB==,

4

又BG(0.7T),所以sinB=V1—cos2B=

4

所以汝和5=嗎=罩.

cosB3

所以角B的正切值的最大值為穿，

故選：A.

先利用余弦定理化簡已知等式可得爐=《寅，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出cosB,

從而可求出角B的正切值的最大值.

本題考查解三角形問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：設(shè)2=。+萬(/6€/?),由;=才需存=—一士》為實數(shù)，得匕=0,所以

z(a十。叭a一叫az+baz+b

z=a&R,故A正確；

若2=i,貝Uz2=-leR,故8錯誤；

不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，故C錯誤；

設(shè)z=a+bi(a,6eR),貝Uzz=(a+bi)(a—6i)=a?+b?,.產(chǎn)=口2+塊，故。正確.

故選：AD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算以及復(fù)數(shù)的類型，即可判斷力B,由復(fù)數(shù)的模長即可判斷D,根據(jù)復(fù)數(shù)的特

性判斷C.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：對力選項，根據(jù)向量相等的概念，易知4選項正確；

對B選項，當(dāng)3=6時，a〃石且另〃3但a與下不一定共線，B選項錯誤；

對c選項，?；(亦及不表示與o共線的向量，五(九？)表示與日共線的向量，

7"=反④亮)不一定成立，選項錯誤；

對。選項，根據(jù)平面向量基本定理，可知。選項正確.

故選：AD.

根據(jù)相等向量的概念，向量共線的概念，向量數(shù)乘與數(shù)量積的概念，平面向量基本定理，即可分

別求解.

本題考查相等向量的概念，向量共線的概念，向量數(shù)乘與數(shù)量積的概念，平面向量基本定理，屬

基礎(chǔ)題.

11.【答案】AC

【解析】解：函數(shù)y=sin(3x+6-sin(3x+*)=sin(3x+治-cos(3x+治=V_2sin(3x-1),

函數(shù)圖象向右平移0">0)個單位長度，可得y=V^sin(3x一看一3功，

因為所得到的函數(shù)為偶函數(shù)，所以一?一3鄉(xiāng)=5+k?r(keZ),

-1?

解得9=--kit-eZ),

當(dāng)k=-1時，0="

當(dāng)k=—2時，s=等；

故選：AC.

利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式,再由三角函數(shù)的平移法則，以及三角函數(shù)的奇偶性，

列出方程解得仍結(jié)合選項得出答案.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡公式，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A,因為24=4,4B=2,PALAB,

所以PB=VPA2+AB2=2AT5.

又PC=4,BC=2,

所以PC?+B02=pB2,

所以PC1BC,

所以P8是三棱錐P—ABC的外接球的直徑，

所以三棱錐P-的外接球的表面積S=4TTR2=20兀,

即選項A正確；

對于選項5,取AC的中點D,

因為P2=PC=4,48=AC=BC=2,

所以P。1AC,PD=「^,BD1AC,BD=73，

又PDCBD=D,PD,BDu平面PBD,

所以AC1平面PBD,

在4PDC中，由余弦定理得COSNPDB=DP-DBOB?=

2DP-DB15

所以sin/PDB=Vl-cos2zPDB=

所以SAPDB=^PD-DPsin^PDB=

所以Vp_4BC=^A-PDB+%-PDB=3^APDB'=-g-'

即選項B錯誤；

對于選項C,過P作8。的垂線，垂足為G,如圖所示，

因為4。_1_平面28。，PGu平面PBD,

所以PG14C,

又PG工BD,ACCiBD=D,AC,BDu平面ABC,

所以PG1平面力BC,

所以NPBG為直線P8與平面ABC所成的角，

由PG=PDsinAPDG=空券，

得siMPBG=需=

即選項C正確；

對于選項。，S^/PM2=PG2+MG2,

所以MG=子

則M的軌跡為以G為圓心，子為半徑的圓，

所以點M的軌跡長度為2兀Xf=型普，

即選項。正確.

故選：ACD.

由線面角的求法，結(jié)合了空間幾何體的體積及球的表面積公式逐一判斷即可得解.

本題考查了線面角的求法，重點考查了空間幾何體的體積及球的表面積公式，屬中檔題.

13.【答案】65

1

【解析】解：根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為黑=4-

oUU

則高一年級抽取的人數(shù)是260x|=65.

故答案為：65.

利用抽樣比可求出結(jié)果.

本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3

【解析】解：圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的最可知扇形的圓心角為冬

由弧長公式可得罕=尊即H則，=3.

I3I3r

故答案為：3.

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的，得到扇形的圓心角為:，然后列等式求解.

本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，考查弧長公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】胃

【解析】解：記”這道題被做出來”為事件4

--1-1-1OQ

則p（a）=1-p⑷=1-/x/x合算

故答案為：黑

根據(jù)獨立事件與對立事件的概率公式可求出結(jié)果.

本題考查了相互獨立事件，考查對立事件的概率公式，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】年,總

【解析】解：f(x)=sin(6ox+7)—cos(i)x=^-sincox+coscox—coscox=sin((ox—7)>

6LL6

當(dāng)時，因為3>0,所以一%43%一：<"3—也

666

因為f(x)在[0,汨上有且僅有5個零點，

所以47r<Ti3—，<5兀，解得§<a><

o66

即實數(shù)3的取值范圍是偌片).

故答案為：片片).

化簡f(X),利用正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)列式可求出結(jié)果.

本題主要考查了和差角公式，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)小胡的平均-數(shù)%=-1[X(85+80+79+75+94+88+95+84)=85,

O

小胡的方差寸=4x[(85-85)2+(80-85)2(79-85)2+(75-85)2+(94-85)2

O+

2

+(88-85尸+(95-85)2+(-84-85)]=44,

小陳的平均數(shù)&=《x(93+95+81+72+80+82+92+85)=85,

O

小陳的方差華=/-1x[(93-85)2+(95-85)2+(81-85)2+(72-85)2+(80-85)2

)2J

+(82-85)2+(92-85產(chǎn)+(-85—85=54；

(2)因為*1=%2，S京<s/,所

以小胡的成績較穩(wěn)定，派小胡參賽比較合適.

【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差公式計算可得結(jié)果；

(2)比較均值和方差的大小可得結(jié)論.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:⑴?.,函數(shù)/(%)=2sin(-3x+cp)=-2sin(3x-(p)(0<cp<TT)的圖象的一條對稱

軸是久=一曰

4

C，71、

?'?3x(--)—^=k,n+,7Tk,EZr

4Zf

令k=-2,可得w=系/(%)=—2sin(3x—牛).

令2去開一弓43%一弓工2去開+5,kez,求得竽+仁工第一竽+*fcez,

Z4Z51Za1Z

可得函數(shù)的減區(qū)間為［竽+￡,竽+得，kez.

(2)/(%)的最小值為一2,此時，3x-^=2kn+k&Z,

4Z

即久=竽+*kez,故此時x的取值集合為儂尤=竽+工,kez}.

【解析】(1)由題意，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得函數(shù)的解析式，從而求得它的單調(diào)減區(qū)

間.

(2)由題意，利用正弦函數(shù)的最值，求出/(x)的最小值，并求出此時乂的取值集合.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)證明：連接AC交于點。，連接0E,如圖所示.

因為四邊形ABCD為菱形，且。為4C中點，E為棱PC的中點，所以PA〃OE,

又P2C平面BOE,OEc.^\^BDE,故P2〃平面BDE,

又平面PADC平面BDE=/,P2u平面24。，所以24〃/；

(2)因為四邊形4BCD為菱形，所以BD14C,

因為P41平面ABC。，AC,BDu平面ABC。，所以AC124,BD1PA,

XACC\PA=A,AC,P4u平面PAC,所以BD1平面PAC,

又PCu平面PAC,所以BD1PC,

又BE1PC,BDCBE=B,BD,BEu平面BDE,所以PC1平面BDE.

不妨設(shè)PA=1,因為四邊形48CD為菱形，乙BAD=60°,PA=AB,所以4c=，豆,

又AC1P4所以PC=MP&2+4C2=2,

設(shè)直線24與平面BDE所成的角為8,貝bine=\cos^APC\=

即直線P4與平面BDE所成角的正弦值為

【解析】(1)根據(jù)線線平行可由線面平行的判斷證明線面平行，進而由線面平行的性質(zhì)即可求證線

線平行；

(2)根據(jù)線面角的幾何法找到線面角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

本題考查線面平行的判定和性質(zhì)，以及線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬

于中檔題.

20.【答案】解:⑴由題意知(0.005+0.025+0.040+a+00.010)x10=1,解得a=0.020.

滿意度評分值的平均數(shù)1=55x0,05+65x0.25+75x0.4+85x0.2+95x0.1=75.5;

設(shè)滿意度評分值的中位數(shù)為乃所以哥x0.4=0.2,解得久=75,即滿意度評分值的中位數(shù)為75.

(2)滿意度評分值在［80,90)內(nèi)的有200x0.2=40(人)，滿意度評分值在［90,100］內(nèi)的有200x

0.1=20(人)，

抽取的6人中滿意度評分值在［80,90)內(nèi)的有6x益立=4(人)，記為a,b,c,d,

滿意度評分值在［90,100］內(nèi)的有62(人)，記為4B.

從這6人中隨機抽取2人有(a,6),(a,c),(a,d),(a,4),(a,B),(b,c),(瓦d),(b,A),(b,B),(c,d),

(c,4),(c,B),(d,A),(d,B),共15種基本事件,

其中抽到的2人滿意度評分值均在［80,90)內(nèi)的有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6種

基本事件，

所以抽到的2人滿意度評分值均在［80,90)內(nèi)的概率P=^=1.

【解析】(1)根據(jù)頻率和為1求a；以每組區(qū)間中點值為代表，結(jié)合加權(quán)平均數(shù)求平均數(shù)的估計值;

根據(jù)中位數(shù)的左右兩側(cè)頻率和均為0.5,運算求解.

⑵利用分層抽樣可得在區(qū)間［80,90)應(yīng)抽取4人，在區(qū)間［90,100］應(yīng)抽取2人，再利用古典概型求解

即可.

本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：⑴因為2qSMB=(b+c+a%+c-a),

所以2V~^S譏B—"+。2—/+2'_2bccosA-^2bc_2bcosA+2b

acaca

由正弦定理得Cs出B=s譏B*s嗎

sinA

又Be(0,TT),所以sinBW0,所以也4—cos4=1,即sin(Z—3)=g,

又46(0㈤，所以/_"(_]￥),則4一群也解得/=一

6v66yoo3

(2)因為bcosC+ccosB=l,由余弦定理得％.包±晝《+°.貯士Q=1，解得a=l,

2ab2ac

由正弦定理得6=鬻=餐sinB,c=需=^sinC=言$也(|兀一B),

因為△ABC為銳角三角形，所以86(0?)且C=|TT—B€(0,》故Be

所以△ABC的面積S=|besinA=^-sinB-sin(|yr—B)=sinBcosB+

=/sinBcosB+?sin2B=7sin2B+(1—cos2B)

26412

=*+?(?sin2B-Icos2B)=?sin(2B-9+唱，

又Be(建)，；.2B—旌仁樣)，所以sin(2BY)e弓,1],

所以△ABC的面積的取值范圍為(?,?].

【解析】(1)將2，3s譏B=3+c+??+ci)右邊展開,利用余弦定理和正弦定理邊化角化簡可得

TlsinA-cosA=1,結(jié)合輔助角公式即可求得答案.

(2)利用余弦定理化簡bcosC+ccosB=1可求得a,由正弦定理表示出b,c的表達式，