2020年高中數(shù)學(xué)12 選擇性必修第一冊(cè)綜合練習(xí)（解析版）

專題12選擇性必修第一冊(cè)綜合練習(xí)

一、選擇題

1.己知x、yeR,則“a=l"是"直線ax+y-1=0與直線x+ay+l=O平行”的（）。

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若直線o%+y-l=0與直線x+ay+l=0平彳亍，貝U有。2=1,即。=±1,

且當(dāng)。=-1時(shí)，兩直線重合，舍去，=

即。=1是直線or+y-1=0與直線x+ay+l=0平行的充要條件，故選C。

—>—?—*—?—*——k—>—>—―—?—?—?

2.已知a=3加一2〃一4pwO,5=（九+1）加+8〃+2yp,且加、n、p不共面，若allb,則%+y=（）。

A、-13B、-5C、8D、13

【答案】B

【解析】〃Z且awO,:,b=Xa,即（%+1）根+8〃+2yp=3%加一2九〃一4九p,

又藍(lán)、二方不共面，==則x=-13,y=8,故選B。

3.雙曲線f―緲2=1的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，貝!]〃?=（）。

A>-B,-C、2D、4

42

【答案】D

2]

【解析】--妝2=1可化為好一。=1,則/=[,?實(shí)軸長是虛軸長的2倍，

1m

m

rc4

2a—2x2b,即a=26,BPa2=4b2,即1=—,m=4,故選D。

m

4.給定下列命題：①若。是平面a的斜線，直線b垂直于。在a內(nèi)的射影，則。1_6；②若a是平面a的

斜線，平面P內(nèi)的一條直線b垂直于a在a內(nèi)的射影，則③若a是平面a的斜線，bua,且6垂

直于。在另一個(gè)平面內(nèi)的射影，則a_Lb；④若a是平面a的斜線，bua,且6垂直于。在a內(nèi)的射影，

則。，b。其中，正確的個(gè)數(shù)是（）o

A、0B、1C、2D、3

【答案】B

【解析】①6必須在a內(nèi)才滿足，錯(cuò)，

②6必須在a內(nèi)，不能在P內(nèi)，錯(cuò)，

③6應(yīng)垂直于a在a內(nèi)的射影，錯(cuò)，則④對(duì)，故選B。

5.已知拋物線括y的焦點(diǎn)與雙曲線±+±=1（。eR）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程

a4

為（）。

A、y=±:犬B、y=±^xC、y=±2xD、y=±4x

【答案】C

22

【解析】拋物線的焦點(diǎn)（0,_斯），則雙曲線工+±=l（aeR）的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,-石），

a4

則〃<0,焦點(diǎn)在y軸上，且Y=，+4=5,貝!]〃=一1,雙曲線的方程為看-一元2=1,

其漸近線方程為'=±2%,故選C。

6.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。-451GA中，M和N分別為4片和3用的中點(diǎn)，那么直線AM

與CN所成角的余弦值是（）。

VTo

、、

AB記

32

C、D、

5?

【答案】D

【解析】如圖，將AM平移到耳￡,CN平移到4月,

則/磅/為直線AM與OV所成角，棱長為1,

7.已知直線/：x+ay-l=0（aeR）是圓C：f+/一4x-2y+l=0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A（-4,。）作圓C的

一條切線，切點(diǎn)為8,貝U|AB|=（）o

A、2B、472C、6D、2V10

【答案】C

【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—2）2+（y—1）2=4,圓心C（2,l）,半徑為r=2,

?.,直線/是圓C的對(duì)稱軸，.?.圓心C（2,l）在直線/：x+ay-1=0上，則a=T,

/./：x-y-l=0,過點(diǎn)4-4,-1）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為8,

則AABC為RtN,ZABC=90",

則IAB|=7lAC|2-|BC|2=^/(-4-2)2+(-1-1)2-4=而=6,故選C。

8.如圖所示，二面角的棱上有A、8兩點(diǎn)，直線AC、8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直

于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2后，則該二面角的大小為()°

A、30°B、45°

C、60°D、90°

【答案】C

【解析】由條件知C4AB=0,ABBD=G,CD=CA+AB+BD,

A|CZ)|2HCAI2+|AB|2+|BD|2+2CA-AB+ZAB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2x6x8cos<G4,BD>=(2Vi7)2,

Acos<CA,~BD>=--,即(五訪>=120°,...二面角的大小為60°,故選C。

2

9.如圖所示，空間四邊形ABCD中,E、/分別為AC、3。中點(diǎn)，若CD=2A3=2,EF±AB,則ER

與C。所成的角為()o

A、30°

B、45°

C、60°

D,90°

【答案】A

【解析】取AD中點(diǎn)G,連接EG、FG,E、/分別為AC、3。中點(diǎn),

EG//CD,且EG=LCD=1,FG//AB,J.FG=-AB=-,

222

VEF±AB,AB//FG,：.EFLFG,VEGIICD,NGEP是EF與CD所成的角,

在RtAEFG中,?/EG=1,FG=~,EF1FG,：.ZGEF=30°,

2

即跖與CD所成的角為30。，故選A。

x,y

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓CKF=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)，A、8分別為橢圓C的左、右頂

點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PFLx軸。過點(diǎn)A的直線/與線段PR交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)E。若直線5M

經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()。

2

A、B、C、

32J4

【答案】A

【解析】作圖，由題意得4-。,0)、3(4,0)、F(-c,0),

設(shè)E(0,祖)，由尸尸〃0E得電^=生工則吠|=租(":

①,

\OE\|AO|a

又由OE〃MP,得反竺'=空1,則吠|=二(”+心,

\MF\\BF\2a

1c1

由①②得a—c=—(a+c),即。=3c,則e=—=—,故選A。

2a3

22

11.已知雙曲線一弓----=l(a>0,/?>0),過其左焦點(diǎn)尸作九軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若雙曲

a2b2

線的右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()。

A、B、(1,2)C、

(1,1)(1,+oo)D、(2,+8)

【答案】B

b2

【解析】以AB為直徑的圓的半徑為r

a

雙曲線的右頂點(diǎn)C(a,0)到以AB為直徑的圓的圓心F(-c,0)的距離為1=a+c,

則a+c>—,化簡得a2+ac>b2=c2—a2,

a

令a=1,貝lje=c,則1+e>/—1,

即e?-e-2<0,(e-2)(e+l)<0,

即一l<e<2,又e>l,貝！故選B。

12.如圖，在三棱柱ABC—4月G中，側(cè)棱，底面A旦q,ABAC=90°,AB=AC=AA,=\,D是

棱CG的中點(diǎn)，P是AD的延長線與AiG的延長線的交點(diǎn)。若點(diǎn)。在直線與P上，則下列結(jié)論正確的是()。

A、當(dāng)點(diǎn)。為線段耳尸的中點(diǎn)時(shí)，平面43。

B、當(dāng)點(diǎn)。為線段用尸的三等分點(diǎn)時(shí)，平面43。B

C、在線段耳P的延長線上，存在一點(diǎn)。，使得平面

D、不存在點(diǎn)Q,使。。與平面43。垂直

【答案】D

【解析】以4為原點(diǎn)，A旦、AG、AA為X軸、y軸、z軸建系，

由已知可得A(0,0,0),(1,0,0),8(1,0,1),D(0,l,1),P(0,2,0),

則布=(1,0,1),4D=(0,l,1),庭=(—1,2,0),函=(1,—1,—g),

n-AXB=x+z=0

設(shè)平面48。的法向量為5=(x,y,z),則_____.i

n-\D=y+丁=0

取z=—2,則x=2,y=l,則7=(2,1,-2),

設(shè)在直線耳尸上存在一點(diǎn)。，使得OQ_L平面A13O,

設(shè)則Qa，%，藥),且而=入率=M—120)=(—九,2入,0)，

1

BxQ=(xi—1,yvZj)=(—X,2X,0),貝]為=1—九，M=2九，z1=0,

----*I.-----*—

則。。=(1—九,2人一1,—萬)，若平面43D,則。。與w共線，

工

則1彳-A,=‘2X歹-」1=二—|_=:1,此時(shí)入無解，故不存在點(diǎn)。，使得平面48￡),故選D。

二、填空題

13.已知直線/：x-y+l=0與圓C：*2+J_4x-2y+l=0交于A、8兩點(diǎn)，貝！||AB|=。

【答案】2拒

12-1+1]

【解析】.圓C的圓心C(2,l),半徑為2,圓心C到直線/：x—y+l=0的距離為4==V2，

Vi+T

/.|AB\=2也_(揚(yáng)2=2V2o

14.設(shè)拋物線C：/=2°%(°>())的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A為拋物線C上一點(diǎn)，以E為圓心，F(xiàn)A為

半徑的圓交/于8、O兩點(diǎn)，若/BED=120°,A4BD的面積為26，則夕=

【答案】1

(解析】ZBFD=120°,\BF|=|DF|=|AF\=2p,：.NBDF=/DBF=30°

又：|"'|=p,：.\BF\=\DF\=\AF\=2p,\BD\=2^p,

A到準(zhǔn)線l的距離d^AF\=2p,

2

：.SAABD=1X6/X|BD|=|X2/?X273/?=2V3/?=273,解得p=l。

15.如圖，直三棱柱ABC-A4G中，則棱長為2,AC=8C=1,ZACB=90°,。是為片的中點(diǎn)，F(xiàn)是

3片上的動(dòng)點(diǎn)，AB,,DF交于■點(diǎn)、E。要使A片，平面G。/,則線段37的長為

【答案】-

2

【解析】以￡為原點(diǎn)，GA為X軸，Gg為y軸，GC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意A（i,o,o）,（0,1,0）,D（1,1,O）,q（0,0,0）,41,0,2）,

設(shè)“0,1,t）,04/42,

彳W）,福=（—U,—2）,布=（0,1,t）,

AB±平面QDF,.?.怛里=°,rk.J

{

[A/G￡=0I

：,?..線段37的長為;。,'

1—2Z=0,解得t=

22

16.已知尸]、B是雙曲線--—5?二=l（a>0,匕>0）的左、右焦點(diǎn)，過外作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

一ab

且Ag=g鳥3,則該雙曲線的離心率為______o

足為點(diǎn)A,交另一條漸近線于點(diǎn)5,

【答案】返~或6

2

—>1—?

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)NgOA=a,則NAO5=2a,設(shè)a=l,y

、、t

由題意可知OA=a=1,OF2=c=e,AF2=b,BF2=3b,

b4bJ"

貝!JAB=4b,tana=—=b,tan2a=一=4b

aa

代入得tan2a=、嗎=_2^_=4b,

1-tan2a1-b2

即2=4—4/,解得人=走，貝ije=c=j〃2d八E等

2

—?1—,■

(2)當(dāng)=]為3時(shí)，設(shè)NBQ4=a,ZAOB=^>，設(shè)〃=1,

貝UN為QB=a+p,/耳。5=7i—(a+p),

由題意可知OA=a=l,OF2=c=efAF2=I

h2b

則AS=2〃，tana=—=/?,tanp=—=2b,

aa

貝(JtanNFQB=tan[?r-(a+P)]=-tan(a+P)=tana,//\\

mizc、tana+tanB

貝ijtan(a+B)=-----------=-tana,

1-tana-tanP

代入得b+2b=』，即3=2/一1,解得/,=^,則e=c=J/+〃=技

\-b-2b

故填：逅或有。

2

三、解答題

22

17.(10分)已知橢圓C：5+2r=1(。＞6＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2后，且經(jīng)過點(diǎn)

ab

過橢圓右焦點(diǎn)/作直線/與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)。

⑴求橢圓C的方程；

(2)若求直線，的方程。

【解析】(1)四邊形的面積為白＞＜2。*28=2后，:.ab=6,

2

又點(diǎn)(1,"9在C:二■+2-=1上，則與H■—

2aba2b

丫2

a2=2,62=1,.,.橢圓的方程為耳+y?=1；

(2)由⑴可知橢圓C的右焦點(diǎn)F(l,0),

①當(dāng)直線/無斜率時(shí)，直線/的方程為x=l,

則4(1,*)、8(1,-年)，OALOB不成立，舍，5分

②當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為將y=?x-l),

代入橢圓方程，整理得(1+2左2)——4廿工+2(廿一1)=。，A＞。恒成立,

4k22（嚴(yán)-1）

設(shè)A（X[,%）、B（X）%），貝1JXi+%2=x-x=--------7分

21+2P-11+22產(chǎn)

又M.%=k-[x-x-（項(xiàng)+x）+1]=-

x221+2左2

OA-LOB=>OA-。8=0=石％2+%?%=°，

即42」

匚4=。，解得k=±e,9分

1+2左21+2k21+4/

則直線/的方程為：y=±V2(^-l)o10分

18.(12分)如圖，四邊形A2CD為正方形，E、尸分別為A。、BC的中點(diǎn)。以￡獷為折痕把ADPC折

起，使點(diǎn)C到達(dá)P的位置，且PFLBF。

(1)證明：平面P防，平面ABFD；

(2)求DP與平面A3￡D所成角的正弦值。

B

p

【解析】（1）證明：由題意，點(diǎn)、E、P分別是A。、BC的中點(diǎn)，則=BF=-BC,1分

22

:四邊形A8CD為正方形，EPL3C,2分

:PFLBF,=P,，3尸，平面PE尸，3分

又：5尸u平面ABED,...平面正防，平面A5FD；4分

（2）如圖，作PH_LEF,垂足為H,

由（1）得，出/上平面ABFD,以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建系，5分

由(1)可得，DE±PE,又DP=2,DE=1,:.PE=C,又PE=1,EF=2,

：.PE±PF,：.PH=^~,EH=*,則"(0,0,0),尸(0,0，F(xiàn))，。(一1,—g,0)，7分

麗=（1，J，W），而=（0,0,苧），又訴為平面A3￡D的法向量，8分

設(shè)。P與平面ABED所成角為0,則sin0=|坦——'空「|=-牟=r遺，"分

\HP\-\DP\V34

，DP與平面ABED的夾角的正弦值為也。12分

4

22

19.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，己知7?（%%）是橢圓C：-—=1上的一■點(diǎn)，從原點(diǎn)。

向圓R：（x—而產(chǎn)+⑶―%）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)尸、Q。

⑴若尺點(diǎn)在第一象限，且直線。尸、。。相互垂直，求圓R的方程；

（2）若直線。尸、0Q的斜率存在，并記為《、七，求匕?質(zhì)的值。

【解析】（1）過R做OMLOP,ONLOQ,垂直分別為M、N,連OR,1分

則四邊形OMRN為正方形，則。尺=四尺河=4,則君+$=16,又9+迎=1,2分

又???/?點(diǎn)在第一象限，貝lx?！?。，%＞。，解得％o=2后，yG=242,3分

?,?圓R的方程為（x-2亞Y+（y一一2V2）2=8；4分

（2）設(shè)直線OP、。。的方程分別為y=5、y=k2x,

???直線OP、。。與圓R都相切，/畢一型=2后,也『_%1=2后,6分

J1+好Jl+后

兩式兩邊同時(shí)平方可得A與—%）2=8（1+1）,（左2九0—%）2=8（1+片），7分

展開化筒得：（君—8）左：—2與%勺+（yj—8）=。，（君—8）片—2X0yok2+（岬—8）=0,8分

《、女2可以看做關(guān)于女的一元二次方程（君一8）女2—2%%上+（式一8）=0的兩個(gè)根，10分

則發(fā)電=再二又；點(diǎn)―（而,%）在橢圓C上，則M+需=1，

XQ—82412

化簡得y：=12—g君，11分

1,

12-弓而—8]

k、?k、=----弓------=—o12分

"~焉-82

20.（12分）如圖，在三棱錐尸-A2C中，AB=BC=242,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn)。

（1）證明：P。，平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角M-P4-C為30°,求PC與平面所成角的正弦值。

【解析】（1）證明：連接BO,：AB=BC=2后，。為AC的中點(diǎn)，1分

：.BO1AC,^.BO=2,y.PA=PB=PC=AC=4,2分

Z.PO1AC,尸0=2百，貝I尸臺(tái)2=,3分

則尸。_L08,VOB^AC=O,；.尸。_L平面ABC；4分

（2）建立以。坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、。尸分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A（0,-2,0）,P（0,0,273）,C（0,2,0）,3（2,0,0）,5分

BC=（-2,2,0）,設(shè)麗?=入反'=（-2',2入,0）,0<X<l,6分

則而=詼—麗=（—2入,2入,0）—（—2,—2,0）=（—2入+2,2入+2,0）,7分

則平面PAC的法向量為m=（1,0,0）,8分

設(shè)平面的法向量為3=（x,y,z）,則西=（0,—2,—2g）,

貝ij二詼=-2y-2丘=0,二贏=（2-2入）x+（2入+2）y=0,

令z=l,則y=—6，彳=（九+1）百,即）=（（九+1）石，_6,1）,io分

1—X1—X

~*fH7?%■/3

???二面角M—PA—C為30°,cos30°=|cos<mn>|=|=~~|=—,

\m\-\n\2

|（九+1）烏

即I*-=也,解得九二4?或九二3（舍），

卜”+（-后+1」23

V1—A

則平面MPA的法向量蔡=（273,-V3,l）,PC=（0,2,-273）,

則PC與平面PAM所成角的正弦值sinO=|cos<PC,?>|=|-啰-9|=—o12分

J16,J164

7T

21.（12分）如圖甲，直角梯形A2CD中，AB//CD,/ZMB=2,點(diǎn)M、N分別在AB、C。上，且MNLA3,

2

MCLCB,BC=2,MB=4,現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AM7VD與平面MNC8垂直（如圖乙）。

⑴求證：A3〃平面DNC；

Q）當(dāng)DN的長為何值時(shí)，二面角D-BC-N的大小為30°?

［解析［（1）：MBUNC,MB<z平面DNC,NCu平面DNC,

MB〃平面￡WC,同理，MA〃平面DNC,2分

又MAnMB=M,MA,平面.,.平面M48〃平面DNC,3分

又ABu平面AMB,二A3〃平面。NC；4分

⑵如圖，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，如圖建系，

在圖甲中，過點(diǎn)C做CGLA5,垂足為G,則GM=CN,MN=CG,

RfABCM中，BC=2,BM=4,ZBCM=90°,CM=273,

S岫CM=-BCCM=-CGBM,解得CG=3c.eM=2x2g=6,

2CM22BM4

則ACV=CG=g,CN7cM°-MN?=J12-3=3,6分

設(shè)DN=a,則。(0,0,a),C(0,3,0),5(73,4,0),M(V3,0,0),A(V3,0,d),

設(shè)平面D3C的法向量耳=(x,y,z),DC=(0,3,-a),CB=(V3,l,0),

,----?―?

DC-n1^3y-az=0r-_373.-373

則J一，令％=—1,貝!Jy=V3,z=------,..n1=(-l,v3,-------),10分

aa

CB-nl=43x+y=0'

又平面NBC的法向量稔=(0,0,1)，

11分

12分

22/y

22.(12分)已知橢圓C：—z-+斗~=1(Q>Z?>0)的禺心率為---,且過點(diǎn)(0,1)o

a