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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：山東

IP屬地：山東 上傳時(shí)間：2024-05-06 格式：DOCX 頁數(shù)：19 大?。?.68MB 積分：15 舉報(bào) 版權(quán)申訴

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題2024年4月（完成試卷時(shí)間：120分鐘總分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1~6題每題滿分4分，第7~12題每題滿分5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1．若集合，，則.2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.3．若，，其中，則.4．若一個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則此圓柱的側(cè)面積為.5．若的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù).6．在中，，，，則.7．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.8．若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是.9．某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為.10．已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，取得最大值，則的值為.11．如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為百米.12．在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.其中第13、14題每題滿分4分，第15、16題每題滿分5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分.13．某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為（

）A． B．C． D．14．函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)15．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“T數(shù)列”.對(duì)于命題：①存在“T數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“T數(shù)列”.下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．設(shè)，函數(shù).(1)求的值，使得為奇函數(shù)；(2)若，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)E是棱PD上的一點(diǎn)，平面.(1)求證：點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)；(2)若平面，，，與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角的大小.19．某社區(qū)隨機(jī)抽取200個(gè)成年市民進(jìn)行安全知識(shí)測(cè)試，將這200人的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行匯總，得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.組別頻數(shù)926655347(1)該社區(qū)為參加此次測(cè)試的成年市民制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①合格的發(fā)放個(gè)隨機(jī)紅包，不合格的發(fā)放個(gè)隨機(jī)紅包；②每個(gè)隨機(jī)紅包金額(單位：元)的分布為.若從這200個(gè)成年市民中隨機(jī)選取1人，記（單位：元）為此人獲得的隨機(jī)紅包總金額，求的分布及數(shù)學(xué)期望；(2)已知上述抽測(cè)中60歲以下人員的合格率約為56%，該社區(qū)所有成年市民中60歲以下人員占比為70%.假如對(duì)該社區(qū)全體成年市民進(jìn)行上述測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)其中60歲及以上人員的合格率以及成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.20．如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).(1)求與的方程；(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.21．若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；(3)設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，則.故答案為：.2．2【詳解】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.3．3【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：4．【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到矩形的兩邊長(zhǎng)，求出面積即可.【詳解】將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3，另一邊為，故側(cè)面積為.故答案為：5．【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式得到，求出，從而得到方程，求出.【詳解】通項(xiàng)公式為，令，解得，故，解得.故答案為：6．【分析】根據(jù)余弦定理建立方程，可得答案.【詳解】在中，根據(jù)余弦定理可得：，設(shè)，則，整理可得，解得，故.故答案為：.7．##【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍遥?，則.故答案為：8．【分析】因?yàn)閷?shí)系數(shù)的一元二次方程若有虛數(shù)根，則兩根共軛，可設(shè)兩根分別為和，則，又，再由可求的取值范圍.【詳解】設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根為和，則.所以.由.故答案為：9．##0.6【分析】求出甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的場(chǎng)數(shù)和抽簽總共的可能場(chǎng)數(shù)，即可得出甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率.【詳解】由題意，若甲第一個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第3,4,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第二個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第4,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第三個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,5個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第四個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,2個(gè)上場(chǎng)，有種，若甲第五個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第1,2,3個(gè)上場(chǎng)，有種，共有種，而所有的上場(chǎng)順序有種，∴甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率：,故答案為：.10．21【分析】不妨設(shè)數(shù)列的公差大于零，不妨取，則，設(shè)，再分和兩種情況討論，可得出的值，再討論，即可求出，即可得解.【詳解】不妨設(shè)數(shù)列的公差大于零，由于，得，且時(shí)，，時(shí)，，不妨取，則，設(shè)，若，則，此時(shí)式子取不了最大值；若，則，又時(shí)，，因?yàn)?，此時(shí)式子取不了最大值；因此這就說明必成立.若，則，這也就說明不成立，因此，所以.故答案為：.11．【分析】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，借助相似三角形性質(zhì)用表示，結(jié)合對(duì)稱性求出步道長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】設(shè)半圓步道直徑為百米，連接，顯然，由點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道都關(guān)于過點(diǎn)垂直于的直線對(duì)稱，則，又，則∽，有，即有，因此步道長(zhǎng)，，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，所以步道的最大長(zhǎng)度為百米.故答案為：12．##【分析】根據(jù)空間向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算，可得點(diǎn)的位置并作圖，利用三角形的等積變換可得底面的面積比，可得答案.【詳解】由，，，則；由，，，則；由，，，則；顯然四面體與四面體共頂點(diǎn)且底面共面，則其高相同可設(shè)為，結(jié)合題意可作圖如下：在底面連接，作圖如下：由，即，則，易知；由，即，則，易知；由，即，則；由，，則，易知；，；.故答案為：.13．B【分析】由分層抽樣先求出初中部和高中部應(yīng)抽取的學(xué)生，再由組合數(shù)公式和分步計(jì)數(shù)原理即可得出答案.【詳解】該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，所以初中部應(yīng)抽取名學(xué)生，高中部應(yīng)抽取名學(xué)生，所以不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為.故選：B.14．A【分析】先利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式以及奇偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，周期，所以此函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)，故選：A.15．D【分析】分和兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立；當(dāng)，，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則在上恒成立，又開口向下，對(duì)稱軸為，所以的最大值為，所以，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.16．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“T數(shù)列”的定義，舉出實(shí)例說明①②，即可得出答案.【詳解】對(duì)于命題①，對(duì)于數(shù)列，令，則，數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)，所以對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，故命題①正確；對(duì)于命題②，等差數(shù)列，令，則，則，因?yàn)榍?，，且，所以?duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“T數(shù)列”，故命題②正確；故選：A.17．(1)(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，代入解方程即可得出答案；（2）由，可得，則，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.【詳解】（1）由為奇函數(shù)，可知，即，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切非零實(shí)數(shù)恒成立，故時(shí)，為奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以解得：，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由線面平行得到線線平行，結(jié)合點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，得到證明；（2）方法一：作出輔助線，得到就是PC與平面ABCD所成角，從而根據(jù)正切值得到，證明出線面垂直，得到是二面角的平面角，求出各邊長(zhǎng)，從而得到；方法二：作出輔助線，得到就是PC與平面ABCD所成角，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面的法向量，利用法向量夾角余弦值得到二面角的大小.【詳解】（1）連接BD，它與AC交于點(diǎn)，連接EF，四邊形ABCD為矩形，為BD的中點(diǎn)，平面AEC，平面PBD經(jīng)過PB且與平面AEC交于，，又點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（2）方法一：∵PA⊥平面，平面，且就是PC與平面ABCD所成的角，故，解得.四邊形ABCD為矩形，，又，PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩相交直線，平面PAD.在平面PAD內(nèi)作，垂足為，連接GF，則，是二面角的平面角.在直角三角形PAD中，，點(diǎn)是PD的中點(diǎn)，，且，平面平面，，故，所以，故二面角的大小為.方法二：∵PA⊥平面，平面，且就是PC與平面ABCD所成的角，又四邊形ABCD為矩形，，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)是平面AEC的一個(gè)法向量，二面角的大小為，由，可得，則，故，解得且，所以，又是平面AED的一個(gè)法向量，且為銳角，故，可得.所以二面角的大小為.19．(1)分布列見解析，39(2)，98:27【分析】（1）依題意，的所有可能取值為，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布，再結(jié)合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式求解.【詳解】（1）隨機(jī)抽取的200個(gè)成年市民的成績(jī)合格率為，，，，，，所以的分布為，即的數(shù)學(xué)期望為39；（2）設(shè)“從該社區(qū)成年市區(qū)隨機(jī)抽取1人，此人年齡在60歲以下”為事件，“從該社區(qū)成年市民隨機(jī)抽取1人，此人安全知識(shí)合格”為事件，則，，由，可得，所以，所求比值.估計(jì)60歲及以上人員的合格率約為，成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比約為98:27.20．(1)與(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)的方程分別為與，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程可求出，利用橢圓的定義可求出的值，從而可得，進(jìn)而可得的方程；（2）分點(diǎn)在第四象限和第一象限時(shí)兩種情況討論求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用兩點(diǎn)的斜率公式及點(diǎn)在上即可證明，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示，化簡(jiǎn)為常數(shù)，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的方程分別為與，由，得，故的坐標(biāo)分別為，所以故，故與的方程分別為與.（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，可知，故，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可知且，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）設(shè)直線的斜率分別為，點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)分別為，則，的方程為，代入可得，故，所以，同理可得，又，故，故，即，所以存在，使得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．(1)函數(shù)的圖象存在“自公切線”；函數(shù)的圖象不存在“自公切線”，理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）由直線切的圖象于點(diǎn)判斷，由導(dǎo)數(shù)確定意見性判斷.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得唯一零點(diǎn)，再假定存在“自公切線”，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，證明在上無解即得.（3）求出在點(diǎn)與處的切線方程，利用（2）的結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式，及充要條件的證明方法推理即得.【詳解】（1）顯然直線切的圖象于點(diǎn)，直線是的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)的圖象存在“自公切線”；對(duì)于是嚴(yán)格減函數(shù)，則在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)的圖象不存在“自公切線”.（2）由恒成立，且僅當(dāng)時(shí)，則是上的嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)，令，由的圖象是連續(xù)曲線，且，因此在上存在零點(diǎn)，即在上存在零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)；假設(shè)的圖象存在“自公切線”，則存在且，使得的圖象在與處的切線重合，即，有，不妨設(shè)，切線，，有相同截距，即，而，則，即，則有，即，令，，即函數(shù)在上單