浙江八年級(jí)上學(xué)期期末【壓軸75題考點(diǎn)專練】（解析版）

浙江八年級(jí)上學(xué)期期末【壓軸75題考點(diǎn)專練】一、單選題1．（2020·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，、是的角平分線，、相交于點(diǎn)F，已知，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)AF=FC、△AEF≌△CDF時(shí)，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結(jié)論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設(shè)AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故①不一定正確；②假設(shè)△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當(dāng)∠BAC=∠BCA時(shí)，該結(jié)論成立，∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．（2020·浙江溫州·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別與邊，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④始終為等腰直角三角形，其中正確的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④【答案】D【分析】連接根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出，就可以得出，進(jìn)而得出，就有，由勾股定理就即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，．，．，，．在和中，，，，，．，，．，．，，．，，始終為等腰直角三角形．，．，．正確的有①②③④．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明是關(guān)鍵．3．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在直角邊上，且交于點(diǎn)P，有下列結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；②的面積等于四邊形的面積的2倍；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】結(jié)論①錯(cuò)誤．因?yàn)閳D中全等的三角形有3對(duì)；結(jié)論②正確．由全等三角形的性質(zhì)可以判斷；結(jié)論③正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷．結(jié)論④正確．利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進(jìn)行判斷．【詳解】解：結(jié)論①錯(cuò)誤．理由如下：圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD與△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可證：△COD≌△BOE．結(jié)論②正確．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．結(jié)論③正確，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．結(jié)論④正確，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴OD2+OE2=2OE2=DE2，∴AD2+BE2=2OE2．故選C．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要幾何知識(shí)點(diǎn)，綜合利用知識(shí)，靈活解決問(wèn)題．4．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線相交于D，交的延長(zhǎng)線于E，于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分;④，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知，故此可知，，從而可證明②正確；③若平分，則，從而得到為等邊三角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接、，然后證明，從而得到，從而可證明④．【詳解】解：如圖所示：連接、．①平分，，，．①正確．②，平分，．，．，，．同理：．．②正確．③由題意可知：．假設(shè)平分，則，又，．．是否等于不知道，不能判定平分，故③錯(cuò)誤．④是的垂直平分線，．在和中，．．又，，．故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（

）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長(zhǎng)CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據(jù)①可以得到E是AC的中點(diǎn)，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，F(xiàn)D=CD，故①正確，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②錯(cuò)誤；延長(zhǎng)CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正確；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周長(zhǎng)=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周長(zhǎng)等于AB，故④正確，綜上：①③④正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長(zhǎng)公式解題，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高．＜6．（2020·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿（在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)O恰好重合，有如下五個(gè)結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤．則上列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三線合一可判斷①；由折疊的性質(zhì)可判斷④；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OB，從而計(jì)算出∠ACB=∠EOF=63°，可判斷③；證明△OAB≌△OAC，得到OA=OB=OC，從而推出∠OEF=54°，可判斷⑤；而題中條件無(wú)法得出OD=OE，可判斷②．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∠BAC=54°，∴AO⊥BC（三線合一），故①正確；∠BAO=∠CAO=∠BAC=×54°=27°，∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=×126°=63°，∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB，即∠OAB=∠OBA=27°，則∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°≠∠OBA，由折疊可知：△OEF≌△CEF，故④正確；即∠ACB=∠EOF=63°≠60°，OE=CE，∠OEF=∠CEF，∴△OEF不是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（SAS），∴OB=OC，又OB=OA，∴OA=OB=OC，∠OCB=∠OBC=36°，又OE=CE，∴∠OCB=∠EOC=36°，∴∠OEC=180°-（∠OCB+∠EOC）=180°-72°=108°，又∠OEC=∠OEF+∠CEF∠OEF=108°÷2=54°，故⑤正確；而題中條件無(wú)法得出OD=OE，故②錯(cuò)誤；∴正確的結(jié)論為①④⑤共3個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè),，則；⑤的周長(zhǎng)等于的和．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出結(jié)論；②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④連接AG，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；⑤根據(jù)BE=EG，GF=CF，進(jìn)行等量代換可得結(jié)論．【詳解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②錯(cuò)誤；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G也在∠BAC的平分線上，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④連接AG，作GM⊥AB于M，如圖所示：∵點(diǎn)G是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，GD=m，AE+AF=n，∴GD=GM=m，∴S△AEF=AE?GM+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故④錯(cuò)誤．⑤∵BE=EG，GF=CF，∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周長(zhǎng)等于AB+AC的和，故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，已知，線段，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）①當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的；②當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的；③當(dāng)時(shí)，在射線上存在三個(gè)點(diǎn)使得為等腰三角形；④當(dāng)時(shí)，在射線上存在三個(gè)點(diǎn)使得為等腰直角三角形．A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】過(guò)A作AH⊥OP于點(diǎn)H，求出AH的長(zhǎng)，分別根據(jù)∠α的度數(shù)畫出相應(yīng)圖形，利用直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)判斷各結(jié)論．【詳解】解：如圖①所示：過(guò)A作AH⊥OP于點(diǎn)H，∵OA=4，∠α=30°，∴AH=OA=×4=2，又AH⊥OP，AH=AB，∴B與H重合，則△AOB形狀唯一確定，故①正確；如圖②所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OP于點(diǎn)H，∵OA=4，∠α=45°，AH⊥OP，∴AH=OH，，即AH==＜=3，∴AB＞AH，∴當(dāng)B在圖②中B1，B2位置時(shí)，都能使得AB=3，則△AOB不唯一，有2個(gè)，故②錯(cuò)誤；如圖③所示，有3個(gè)B點(diǎn)使得△AOB為等腰三角形，即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故③正確；如圖④所示，AB⊥OA于點(diǎn)A時(shí)，△AOB1為等腰直角三角形，AB2⊥OP于點(diǎn)B2時(shí)，△AOB2為等腰直角三角形，OP上有2個(gè)點(diǎn)B使得△AOB為等腰直角三角形，故④錯(cuò)誤；即正確的結(jié)論為：①③，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定三角形的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各種情況畫出圖形，結(jié)合圖形的性質(zhì)解答．9．（2020·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，且點(diǎn)E在內(nèi)部，連接，，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由AD為△ABC的高線，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt△ABE是等腰直角三角形，可得，從而可判斷①；由等腰可得結(jié)合，∠DAE=∠CBE，可判斷②；由△ADE≌△BCE，可得再證明∠BDE=∠AFE，結(jié)合，證明△AEF≌△BED，可判斷③；由△ADE≌△BCE，可得由△AEF≌△BED，證明從而可判斷④．【詳解】解：∵AD為△ABC的高線，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴，∴∠DAE=∠CBE，即，故①正確；∵Rt△ABE是以為底等腰直角三角形，∴AE=BE，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故②正確；△ADE≌△BCE，∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，

∴∠BDE=∠AFE，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴；故③正確；∵△ADE≌△BCE，∴

△AEF≌△BED，∴∴故④正確；綜上：正確的有①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的中線與高的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·浙江溫州·八年級(jí)期末）“勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票（如圖1），歐幾里得在《幾何原本》中曾對(duì)該圖做了深入研究．如圖2，在中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連結(jié)，，，分別與，相交于點(diǎn)，．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性質(zhì)定理分別可得，，，然后設(shè)，繼而可分別求出，，所以；易證Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），從而得，然后代入所求數(shù)據(jù)即可得的值．【詳解】解：∵在△EAB和△CAM中，，∴△EAB≌△CAM（SAS），∴，∴,∴,,設(shè)，則，，，，∴；∵在Rt△ACB和Rt△DCG中，，Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），∴;∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理等知識(shí)．11．（2020·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F(xiàn)是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF⊥CF，垂足為F．下列結(jié)論：①∠ACF＝45°；②四邊形ABCD的面積等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】證明≌，得出，正確；由，得出，正確；證出，，正確；由，不能確定，不正確；即可得出答案．【詳解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝45°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠ACF＝∠E＝45°，①正確；∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴S四邊形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正確；∵△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AEC＝45°，∵∠ACE＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴AC平分∠ECF，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CG，垂足為點(diǎn)G，如圖所示：∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF＝AG，又∵AC＝AE，∴∠CAG＝∠EAG＝45°，∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，∴CG＝AG＝GE，∴CE＝2AG，∴CE＝2AF，③正確；∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，不能確定S△ACF＝S△BCD，④不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第一次從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第三次運(yùn)動(dòng)到，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，第2022次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖象，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P第一次從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1（1，1），第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2（2，0），第三次運(yùn)動(dòng)到P3（3，﹣2），第四次運(yùn)動(dòng)到P4（4，0），第五運(yùn)動(dòng)到P5（5，2），第六次運(yùn)動(dòng)到P6（6，0），…，結(jié)合運(yùn)動(dòng)后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的縱坐標(biāo)的規(guī)律，再根據(jù)循環(huán)規(guī)律可得答案．【詳解】解：觀察圖象，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P第一次從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1（1，1），第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2（2，0），第三次運(yùn)動(dòng)到P3（3，﹣2），第四次運(yùn)動(dòng)到P4（4，0），第五運(yùn)動(dòng)到P5（5，2），第六次運(yùn)動(dòng)到P6（6，0），…，結(jié)合運(yùn)動(dòng)后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，可知由圖象可得縱坐標(biāo)每6次運(yùn)動(dòng)組成一個(gè)循環(huán)：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴經(jīng)過(guò)第2022次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)等腰直角三角形按如圖所示的規(guī)律擺放．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著“…”的路線運(yùn)動(dòng)(每秒一條直角邊)，已知坐標(biāo)為···，設(shè)第秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為正整數(shù))，則點(diǎn)的坐標(biāo)是)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過(guò)觀察可知，縱坐標(biāo)每6個(gè)進(jìn)行循環(huán)，先求出前面6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從中得出規(guī)律，再按規(guī)律寫出結(jié)果便可．【詳解】解：由題意知，A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），A7（7，1），…由上可知，每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于序號(hào)，縱坐標(biāo)每6個(gè)點(diǎn)依次為：1，0，1，0，-1，0這樣循環(huán)，∴A2020（2020，0），故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)規(guī)律題，根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從中找出規(guī)律來(lái)，這是解題的關(guān)鍵所在．14．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在x軸正半軸上，點(diǎn)在直線上，若，且均為等邊三角形，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出∠AnOBn=30°，從而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出規(guī)律得到BnAn+1=2n-1，從而計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：設(shè)△BnAnAn+1的邊長(zhǎng)為an，∵點(diǎn)B1，B2，B3，…是直線上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線，交直線于C，∵A1（1，0），令x=1，則y=，∴A1C=，∴，∴∠AnOBn=30°，∵均為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∴AnBn=OAn，∵∠BnAn+1Bn+1=60°，∴∠An+1BnBn+1=90°，∴BnBn+1=BnAn+1，∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n-1，∴=B2019A2020=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關(guān)鍵．15．（2020·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，定義：已知圖形W和直線，如果圖形W上存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到直線的距離小于或等于k，則稱圖形W與直線“k關(guān)聯(lián)”．已知線段AB，其中點(diǎn)，．若線段AB與直線“關(guān)聯(lián)”，則b的取值范圍是(

)A．-1≤b≤ B．0≤b≤4 C．0≤b≤6 D．≤b≤6【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），先畫出圖形，再根據(jù)定義求出兩個(gè)臨界位置時(shí)b的值，由此即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為點(diǎn)D，連接OA，延長(zhǎng)AB交直線于點(diǎn)C由題意，有以下兩個(gè)臨界位置：①點(diǎn)A到直線的距離等于，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O時(shí)，，即為點(diǎn)A到直線的距離，此時(shí)②點(diǎn)B到直線的距離等于，即軸，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，即為1是等腰直角三角形點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為將點(diǎn)代入直線得：解得則b的取值范圍是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解新定義，求出兩個(gè)臨界位置時(shí)b的值是解題關(guān)鍵．二、填空題16．（2021·浙江·八年級(jí)期末）如圖，已知中，，如圖：設(shè)的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于則_____；請(qǐng)你猜想，當(dāng)同時(shí)n等分時(shí)，條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，則______（用含n和的代數(shù)式表示）．【答案】

60°+α

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)三等分的定義求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)n等分的定義求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵O2B和O2C分別是∠B、∠C的三等分線，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；在△ABC中，∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α，∵On-1B和On-1C分別是∠B、∠C的n等分線，∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，故答案為：60°+α，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．17．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖為的角平分線，且，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，過(guò)E作于F，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是________．【答案】①②④【分析】根據(jù)SAS易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再判斷AB∥CE，可得③錯(cuò)誤；判斷出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，進(jìn)而判斷出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判斷出④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯(cuò)誤；④如圖，過(guò)作于點(diǎn)，是上的點(diǎn)，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2020·浙江·八年級(jí)期末）等腰中，過(guò)點(diǎn)B的直線分為兩個(gè)等腰三角形，則頂角為_(kāi)____度．【答案】36°或或90°或108°【分析】根據(jù)題意分四種情況畫出圖形，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，則∠C=∠BDC=2∠A，∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°；若AD=BD，BC=CD，∴∠A=∠ABD，∠CBD=∠CDB，則∠CDB=2∠A，∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=；若AD=BD，AD=CD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∴∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°；若AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA，則∠CDA=2∠BAD，∠C=180°-2∠CAD=180°-4∠BAD，∵∠B=∠C，∴∠BAD=180°-4∠BAD，∴∠BAD=36°，∴∠BAC=3∠BAD=108°；故答案為：36°或或90°或108°．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和與外角，解答此題的關(guān)鍵是要正確畫出圖形，分情況進(jìn)行討論．19．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，，，，點(diǎn)，為邊上的兩點(diǎn)，且，連接，，則下列結(jié)論正確的是________．①；②為等腰三角形；③；④．【答案】①③④【分析】由SAS得△AED≌△AEF，證明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；證明∠EBF=90°，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=45°=∠DAE，在△AED與△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；沒(méi)有條件能證出△AED為等腰三角形，②錯(cuò)誤；∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAF=∠DAC；在△ABF與△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF=CD；∵△AED≌△AEF，∴DE=EF；∵BE+BF＞EF，而B(niǎo)F=CD，∴BE+DC＞DE，③正確；∵∠EBF=90°，∴BE2+BF2=EF2，即BE2+DC2=DE2，④正確；綜上所述：①③④均正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（2020·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知在中，且為最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，則_______【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可求解．【詳解】解：如圖，若BC=CD，AD=BD，由題意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，∵∠ADB=180°-82°=98°，則在BC=CD的前提下只有AD=BD；如圖，若CD=BD，AB=BD，由題意可得：∠DBC=∠C=16°，∴∠ADB=2∠C=32°，∴∠A=∠ADB=32°，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，符合最小的內(nèi)角為∠C=16°，如圖，若BD=CD，AB=AD，則∠C=∠DBC=16°，∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，∴∠A=180°-2×32°=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；如圖，若BD=CD，AD=BD，∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；若BD=BC，則∠C=∠CDB=16°，∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，則只能滿足AD=BD，∴∠A=∠CDB=8°，即∠A＜∠C，不滿足；綜上：∠ABC的度數(shù)為123°或132°或90°或48°．故答案為：123°或132°或90°或48°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，分情況討論．21．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)，作，垂足為，下列結(jié)論正確的有________．①；②；③；④；⑤．【答案】①②③④【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證出△AEC≌△BDA，可判斷①；由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可判斷②；根據(jù)∠AFE=60°可判斷③；由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判斷④；根據(jù)∠DAC的度數(shù)的范圍可得∠DAC≠45°，可判斷⑤．【詳解】解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，又∵AE=BD，在△AEC與△BDA中，，∴△AEC≌△BDA（SAS），∴AD=CE，故正確；②∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA，∠AFE=∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，∴∠BEC=∠CDA，故正確；③∵∠AFE=60°，∴∠AFC=120°，故正確；④∵∠AFE=60°，∴∠CFM=∠AFE=60°，∵CM⊥AD，∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，∴MF=CF，故正確；⑤要使AM=CM，則必須使∠DAC=45°，由已知條件知∠DAC的度數(shù)為大于0°小于60°均可，∴AM=CM不成立，故錯(cuò)誤；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；正確的有_____．（只填序號(hào)）【答案】①②③④⑤【分析】證明，得到，可判斷①；再證明，從而判斷為等腰直角三角形，得到，可判斷③，同時(shí)得到，可判斷②；再證明，得到為等腰直角三角形，得到，，可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出，再證明，得到，則有，從而判斷⑤．【詳解】解：，，，，又，，，，故①正確；由全等可得：，，，連接，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，在和中，，，，又，，，，，，，即為等腰直角三角形，，故③正確，，，，故②正確，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，，，，，，，為等腰直角三角形，，而，，故④正確；，，，平分，，，，，即，，，，，，為等腰直角三角形，，，故⑤正確；故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．23．（2021·浙江·杭州市公益中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)是___________．【答案】或或．【分析】分三種情況討論：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形解題．【詳解】解：由折疊可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，當(dāng)DE=DF時(shí)，如圖1，此時(shí)DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，設(shè)，則，則在直角△DHE中，，解得，當(dāng)DE=EF時(shí)，如圖2，作AH⊥BC于H，連接BD，延長(zhǎng)AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，設(shè)，則，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，設(shè)，則，在直角△AEH中，，解得，當(dāng)DF=EF時(shí)，如圖3，過(guò)A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AF交DC于M，同理∴故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．24．（2020·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P沿△ABC的邊從A→B→C運(yùn)動(dòng)，以AP為邊作等邊△APQ，且點(diǎn)Q在直線AB下方，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到使△BPQ是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】3或9【分析】如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是A→H→B，分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：如圖1，連接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ(SAS)∴BQ＝CP，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，且BH＝BC＝6，△ABH是等邊三角形，∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在AH上運(yùn)動(dòng)，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AQ＝AP＝PB＝3，∴此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在BH上運(yùn)動(dòng)，如圖，同理可得：△ACP≌△ABQ(SAS)，∴BQ＝CP∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ=CP＝，∴此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為，故答案為：3或9．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．25．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA=OB，連結(jié)AB，在BA、BB上分別取點(diǎn)A2、B2，使BB2=BA2，連結(jié)A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2BB2=，∠，…，∠，則（1）=______；=_________．【答案】

【詳解】試題分析：設(shè)∠A1B1O=x，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得α+2x=180°，x=180°-θ1，即可求得θ1的度數(shù)，同理求得θ2的度數(shù)，即可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得的度數(shù).（1）設(shè)∠A1B1O=x，則α+2x=180°，x=180°-θ1，∴=；（2）設(shè)∠A2B2B1=y，則θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2-②得：2θ2-θ1=180°，…∴=.考點(diǎn)：找規(guī)律-圖形的變化點(diǎn)評(píng)：解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析所給圖形的特征得到規(guī)律，再把這個(gè)規(guī)律應(yīng)用于解題.26．（2020·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，設(shè)（）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線，上．從點(diǎn)開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放4根小棒，則的范圍為_(kāi)_______．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒構(gòu)成的三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)列出不等式組求解即可．【詳解】解：如圖，∵小木棒長(zhǎng)度都相等，∴∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，由三角形外角性質(zhì)得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；∵只能擺放4根小木棒，∴，解得18°≤θ＜22.5°．故答案為：18°≤θ＜22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，也考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，列出不等式組是解題的關(guān)鍵．27．（2022·浙江舟山·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等腰，（點(diǎn)，，呈順時(shí)針排列），當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥x軸，過(guò)C，B作CD⊥l于點(diǎn)D，BE⊥l于點(diǎn)E，易證?CDA??AEB，從而得AD=BE=OA=5，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，由三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系得：當(dāng)O，C，A′三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥x軸，過(guò)C，B作CD⊥l于點(diǎn)D，BE⊥l于點(diǎn)E，∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，∴∠DCA=∠EAB，又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，∴?CDA??AEB（AAS），∴BE=AD，∵，∴AD=BE=OA=5，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接CA′，則點(diǎn)A′在直線l上，DA′=DA=5，AC=A′C，∴=OC+A′C，∵在?COA′中，OC+A′C≥OA′，∴當(dāng)O，C，A′三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值=OA′，此時(shí)，OA′=，∴最小值=．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱求線段和的最小值問(wèn)題，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．28．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，將一塊等腰直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第二象限，所在直線的函數(shù)表達(dá)式是，若保持的長(zhǎng)不變，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸滑動(dòng)，點(diǎn)C隨之在x軸的負(fù)半軸上滑動(dòng)，則在滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B與原點(diǎn)O的最大距離是_______．【答案】【分析】根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A，C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AC的長(zhǎng)度；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD，BD的長(zhǎng)，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；首先取AC的中點(diǎn)E，連接BE，OE，OB，可求得OE與BE的長(zhǎng)，然后由三角形三邊關(guān)系，求得點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離．【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+2=2，∴A（0，2）；當(dāng)y=2x+2=0時(shí)，x=-1，∴C（-1，0）．∴OA=2，OC=1，∴AC==，如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，∴∠CAO=∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD=AO=2，DB=OC=1，OD=OC+CD=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）．如圖所示．取AC的中點(diǎn)E，連接BE，OE，OB，∵∠AOC=90°，AC=，∴OE=CE=AC=，∵BC⊥AC，BC=，∴BE==，若點(diǎn)O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=，若點(diǎn)O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=，∴當(dāng)O，E，B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，OB取得最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系是求AC長(zhǎng)度的關(guān)鍵，又利用了勾股定理；求點(diǎn)B的坐標(biāo)的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出CD，BD的長(zhǎng)；求點(diǎn)B與原點(diǎn)O的最大距離的關(guān)鍵是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題29．（2021·浙江·八年級(jí)期末）如圖（1）是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見(jiàn)解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見(jiàn)解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見(jiàn)解析【分析】（1）翻折問(wèn)題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問(wèn)題，一定要找準(zhǔn)相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．30．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，與交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求證：（3）若，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△BCE≌△ACD；（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，從而利用ASA可證明△ACF≌△BCG；（3）求出CG=CF=4，過(guò)G作GM⊥BD于M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于N，求出GM，F(xiàn)N，根據(jù)S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC，△CDE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠DCA，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）由（1）得△ACD≌△BCE，∴∠CBG=∠CAF，又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG（ASA）；（3）∵△ACF≌△BCG，∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，∴CG=CF=4，過(guò)G作GM⊥BD于M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于N，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴GM=CG=，F(xiàn)N=CF=，∴S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF=BC?GM+CD?FN=（BC+CD）=BD=．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)得出CG=CF是解答此題的關(guān)鍵．31．（2020·浙江·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C出發(fā)，沿軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)B在軸的負(fù)半軸上，且的面積：的面積．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)D在軸上，是否存在點(diǎn)P，使以為頂點(diǎn)的三角形與全等？若存在，直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)Q是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，向軸的負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒．若P、Q分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，求：t為何值時(shí)，以三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與全等．【答案】（1）B（-2，0）；（2）存在，（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）；（3）1s或4s【分析】（1）先求出，進(jìn)而得出的面積，即可得出的面積，最后得出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由于，所以分兩種情況討論計(jì)算即可；（3）先按時(shí)間分成三種情況，每種情況中同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，，，設(shè)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，，，；（2）在軸上，在軸，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，或②，，或，即：滿足條件的的坐標(biāo)為，，，．（3）在軸上，在軸，，由運(yùn)動(dòng)知，，，，，當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，滿足條件，即：②，，，，，不滿足條件，舍去；當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，，不滿足條件，舍去；②，，，，，不滿足條件，舍去；當(dāng)時(shí)，，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，①，，，，不滿足條件，舍去；，②，，，，，滿足條件，即：t=4s，即：滿足條件的時(shí)間t=1s或4s．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是分類討論，要考慮全面是解本題的難點(diǎn)．32．（2021·浙江·八年級(jí)期末）CD經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°，則BE___CF;(填“>”,“<”或“=”)；

EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是：___.②如圖2,若0°<∠BCA<180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件___，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立。(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想并證明?！敬鸢浮浚?）①＝，EF＝|BE?AF|②添加∠BCA+∠α＝180°，證明見(jiàn)解析（2）EF＝BE＋AF，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②當(dāng)∠a＋∠ACB＝180時(shí)，求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【詳解】（1）①如圖1中，E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90，∴∠BEC＝∠AFC＝90，∴∠BCE＋∠ACF＝90，∠CBE＋∠BCE＝90，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF?CE＝BE?AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF＝AF?BE，∴EF＝|BE?AF|；故答案為＝；EF＝|BE?AF|；②∠a＋∠ACB＝180時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；證明：如圖2中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＋∠ACB＝180，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF?CE＝BE?AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF＝AF?BE，∴EF＝|BE?AF|；故答案為∠a＋∠ACB＝180．（2）猜想：EF＝BE＋AF．證明過(guò)程：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF．故答案為：EF＝BE＋AF．【點(diǎn)睛】本題綜合考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，注意這類題目圖形發(fā)生變化，結(jié)論基本不變，證明方法完全類似，屬于中考?？碱}型．33．（2020·浙江嘉興·八年級(jí)期末）中，．（1）如圖①，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖②，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖③，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（4）若.請(qǐng)直接寫出圖①，②，③中的度數(shù)，(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①；②；③【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠P的度數(shù)；（2）由三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出∠P=∠A，即可得出結(jié)果；（4）由（1）（2）（3），容易得出結(jié)果．【詳解】解:（1），，點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，，，；（2），，點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，；（3）點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的角平分線、三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，弄清各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．34．（2022··八年級(jí)期末）在ABC中，，，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．(1)如圖1，若ADC是直角三角形，①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②當(dāng)AD⊥AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)．(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且．①若，求證：DBE≌ACD；②若ADE是等腰三角形，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)①6；②(2)①見(jiàn)解析；②或【分析】（1）①過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可知，再由勾股定理計(jì)算AD的長(zhǎng)即可；②過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，在和中借助勾股定理計(jì)算DH的長(zhǎng)，然后由計(jì)算AD的長(zhǎng)即可；（2）①由、，可知，即有，然后在根據(jù)即可證明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，則或，然后分兩種情況討論，分別計(jì)算CD的長(zhǎng)即可．（1）解：①如圖3，過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵，，∴，∴；

②如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，由（1）得，，由勾股定理可知，，∴，解得，∴；（2）①∵，，∴，∴，∵，∴△DBE≌△ACD（ASA）；②∵，若△ADE是等腰三角形，則或，當(dāng)時(shí)，則，∵△DBE≌△ACD，∴，；當(dāng)，如圖5，則，，在中，，即，解得，．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并運(yùn)用分類討論的思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．35．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖1，已知AB＝AC，D是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E、C位于BD兩側(cè)，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE；(1)當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖2，連接AE，求證：AE＝CD；(2)當(dāng)∠BAC＝45°時(shí)，①若DE⊥AB，則∠CDB＝度；②如圖4，連接AE．當(dāng)∠CDB＝度時(shí)，AE最?。?3)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，如圖5，連接CE交AB于點(diǎn)M，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①67.5；②90(3)2【分析】（1）連接AE，可知△ABC，△BDE是等邊三角形，再利用SAS證明△BCD≌△BAE，得AE=CD；（2）①利用等腰三角形兩底角相等知∠BDE=67.5°，再根據(jù)平角的定義可得答案；②作BH⊥AC于H，EC⊥AB于G，利用AAS證明△BDH≌△BEG，得∠BHD=∠BGE=90°，可知E在EG上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E與G重合時(shí)，AE最小，此時(shí)∠BDC=∠BHC=90°；（3）作EQ⊥AB于Q，利用AAS證明△ADB≌△QBE，得AD=BQ，則CD=AQ，再利用AAS證明△AMC≌△QME，得AM=MQ，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：連接AE，∵∠BAC=∠DBE=60°，BD=BE，AB=AC，∴△ABC，△BDE是等邊三角形，∴∠ABC=∠DBE，∴∠CBD=∠ABE，在△BCD和△BAE中，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴AE=CD；（2）解：①當(dāng)∠BAC=∠DBE=45°時(shí)，∵BD=BE，∴∠BDE=(180°-45°)÷2=67.5°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠A=45°，∴∠CDB=67.5°，故答案為：67.5；②作BH⊥AC于H，EG⊥AB于G，∵∠A=45°，∴∠ABH=∠DBE=45°，∴∠DBH=∠EBG，∵∠BHD=∠BGE，BD=BE，∴△BDH≌△BEG（AAS），∴∠BHD=∠BGE=90°，∴點(diǎn)E在EG上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與G重合時(shí)，AE最小，此時(shí)∠BDC=∠BHC=90°，故答案為：90；（3）作EQ⊥AB于Q，∵∠QEB+∠QBE=90°，∠QBE+∠ABD=90°，∴∠BEQ=∠ABD，∵BD=BE，∠DAC=∠BQE，∴△ADB≌△QBE(AAS)，∴AD=BQ，∴CD=AQ，∵∠CAB=∠AQE，∠AMC=∠EMQ，∴△AMC≌△QME(AAS)，∴AM=MQ，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，巧作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．36．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令A(yù)D與CE交于點(diǎn)G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如圖3，延長(zhǎng)DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．37．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．(1)求證：．(2)如圖2，過(guò)，，三點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(3)如圖3，，垂足為點(diǎn)，若將點(diǎn)改為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）利用面積法證明即可；（3）連接EC．由△ABD≌△CBE，推出∠BAD＝∠BCE＝30°，推出點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠BCE＝30°），利用垂線段最短解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CBE，∴，∵，∵AF⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC，∴BC?AF＝BC?DM＋BC?EN，∴AF＝DM＋EN；（3）連接EC，如圖所示：∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∵△ABC是等邊三角形，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF＝30°，BF＝CF＝BC＝AB＝，∴∠BCE＝∠BAF＝30°，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠BCE＝30°），∴當(dāng)EF⊥EC時(shí)，EF的值最小，此時(shí)EF＝CF＝，即EF的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．38．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，已知為等腰直角三角形，且面積為4．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)E在射線上，且時(shí)，連結(jié)，若，試判斷是否為等腰三角形，并說(shuō)明理由；(3)直線上是否存在點(diǎn)F（F不與重合），使的其中兩邊之比為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)線段BC的長(zhǎng)為4；(2)△DEF是等腰三角形，理由見(jiàn)解析(3)存在，BF的長(zhǎng)為4或4+2或4-2或2+2或2-2．【分析】（1）利用三角形面積公式求得AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求得線段BC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，得到△BHF為等腰直角三角形，求得BF=8，BH=FH=8，根據(jù)已知可求得DE=DF=10，即可說(shuō)明△DEF是等腰三角形；（3）分AC：CF=1：，AC：AF=1：，AF：AC=1：時(shí)，三種情況討論即可求解．（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC，面積為4，∴AB×AC=4，∴AB=AC=2，∴BC=4，∴線段BC的長(zhǎng)為4；（2）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，∴∠ABC=∠BCA=45°，∴△BHF為等腰直角三角形，且BH=FH，∵AF=3AB=6，∴BF=8，∵BH2+FH2=BF2，即2BH2=(8)2，∴BH=FH=8，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=DC=2，則DH=BH-BD=6，∵DH2+FH2=DF2，即62+82=DF2，∴DF=10，∵CE=2BC=8，∴DE=DC+CE=10，∴DE=DF=10，∴△DEF是等腰三角形；（3）解：存在，理由如下：∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，∴∠BAC=∠FAC=90°，①當(dāng)AC：CF=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴CF=4，AF=2，∴BF=AB+AF=4；②當(dāng)AC：AF=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴AF=4，∴BF=4+2或4-2；③當(dāng)AF：AC=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴AF=2，∴BF=2+2或2-2；綜上，存在點(diǎn)F，使△ACF的其中兩邊之比為1:，BF的長(zhǎng)為4或4+2或4-2或2+2或2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．39．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，以EF為邊構(gòu)造，使，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，延長(zhǎng)BF交DH于點(diǎn)G．(1)如圖①，若點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合．①求證：．②若，，求DF的長(zhǎng)．(2)如圖②，將點(diǎn)F沿著B(niǎo)C邊繼續(xù)平移，此時(shí)仍成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，連結(jié)AD，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD與DH的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)△HDE≌△GFD仍成立，AD＝DH【分析】（1）①由“AAS”可證△HDE≌△GFD；②由平移的性質(zhì)可得EH＝BF＝1，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可證△HDE≌△GFD，可得DH＝GF，通過(guò)證明，可得GF＝AH，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．（1）①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF＋∠DFC＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），②∵△HDE≌△GFD，∴EH＝DG，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EH＝BF＝1，∴DG＝EH＝1，∴DF＝；（2）△HDE≌△GFD仍成立，理由如下：∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF＝AB，EFAB，連接AF，∴，∵EF＝AB，，∴，∴，∴AEBF，∵DH⊥AE∴DH⊥BF，∴∠HGB＝90°，∴∠HGB＝∠GDF＋∠DFG＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠EDH＋∠FDG＝90°，∴∠EDH＝∠DFG，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，∵△HDE≌△GFD，∴DH＝GF，∵EABG，DH⊥AE，∴∠AHD＝∠BGH＝90°，∴∠HGB＝∠AFB＝90°，∴HGAF，∴，∵∠AHD＝90°,，∴∴GF＝AH，∴DH＝AH，∴AD＝DH．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了，全等三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．40．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）（1）如圖①，在中，D為外一點(diǎn)，若AC平分，于點(diǎn)E，，求證：；琮琮同學(xué)：我的思路是在AB上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)CF，先證明≌得到，再證明，從而得出結(jié)論；宸宸同學(xué)：我覺(jué)得也可以過(guò)點(diǎn)C作邊AD的高線CG，由角平分線的性質(zhì)得出，再證明≌，從而得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)兩位同學(xué)的思路選擇一種寫出證明過(guò)程．（2）如圖②，D、E、F分別是等邊的邊BC、AB，AC上的點(diǎn)，AD平分，且．求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）琮琮同學(xué)：在AB上取一點(diǎn)F，使得AD=AF，連結(jié)CF，先證明△ADC≌△AFC得到DC=FC，再證明CB=CF，從而得出結(jié)論；宸宸同學(xué)：過(guò)點(diǎn)C作邊AD的高線CG，由角平分線的性質(zhì)得出CG=CE，再證明△GDC≌△EBC，從而得出結(jié)論；（2）在DE上截取DH=DF，連接AH，由“SAS”可證△ADF≌△ADH，可得AH=AF，∠AFD=∠AHD，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AH=AF，可得結(jié)論．【詳解】解：證明：琮琮同學(xué)：如圖①a，在AB上取點(diǎn)F，使AF=AD，連接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠FAC，在△ADC和△AFC中，，∴△ADC≌△AFC（SAS），∴DC=FC，∠CDA=∠CFA，又∵∠B+∠ADC=180°，∠CFE+∠AFC=180°，∴∠B=∠CFE，∴CB=CF，又∵DC=FC，∴CB=DC．宸宸同學(xué)：如圖①b，過(guò)點(diǎn)CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G．∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，∴CG=CE，∵∠B+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，∴∠CDG=∠B，在△CGD和△CEB中，，∴△CGD≌△CEB（AAS），∴CB=CD；（2）如圖②，在DE上截取DH=DF，連接AH，∵AD平分∠EDF，∴∠EDA=∠HDA，在△ADF和△ADH中，，∴△ADF≌△ADH（SAS），∴AH=AF，∠AFD=∠AHD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°，又∵∠AHD+∠AHE=180°，∴∠AHE=∠AEH，∴AE=AH，∴AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴BE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．41．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長(zhǎng)．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①；②或或【分析】（1）如圖，過(guò)作于再求解再利用勾股定理求解高線長(zhǎng)即可；（2）①如圖，連接利用等腰三角形的三線合一證明求解可得證明從而可得答案；②分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，再利用等面積法與勾股定理結(jié)合可得答案；當(dāng)于時(shí)，利用角平分線的性質(zhì)及面積比可得答案；當(dāng)時(shí)，如圖，則證明再利用勾股定理可得答案.（1）解：如圖，過(guò)作于AB＝AC＝10，BC＝12，所以BC邊上的高線長(zhǎng)為（2）解：①如圖，連接為的中點(diǎn)，由（1）得：則②當(dāng)時(shí)，由對(duì)折可得：過(guò)作于連接過(guò)作于過(guò)作于由①得：則設(shè)則由而解得：當(dāng)于時(shí)，則過(guò)作于由對(duì)折可得當(dāng)時(shí)，如圖，則由對(duì)折可得而則而結(jié)合對(duì)折可得：過(guò)作于同理可得：綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，BE的長(zhǎng)為或或