吉林省名校2024年高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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吉林省名校2024年高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng),全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯(cuò)誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B.隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D.我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值2.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,3.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.6.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.7.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.368.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.9.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.10.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.11.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)12.已知,其中是虛數(shù)單位,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.14.已知為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,,設(shè)直線和分別與直線交于,兩點(diǎn),若與的面積相等,則線段的長(zhǎng)為______.15.已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.16.兩光滑的曲線相切,那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個(gè)外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對(duì)于任意,.19.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點(diǎn),.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.21.(12分)已知是圓:的直徑,動(dòng)圓過,兩點(diǎn),且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì),A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),由圖象可知,隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù),B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大,C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),在月日及以前,我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?,函?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.4、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體,于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用.(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,對(duì)于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通過構(gòu)造長(zhǎng)方體,通過長(zhǎng)方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.7、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.8、B【解析】

,將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.9、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題,涉及分組分配問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意可知:為上的單調(diào)函數(shù),則為定值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù),則在,單調(diào)遞增,求導(dǎo),則恒成立,則,根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】若方程無解,則或恒成立,所以為上的單調(diào)函數(shù),都有,則為定值,設(shè),則,易知為上的增函數(shù),,,又與的單調(diào)性相同,在上單調(diào)遞增,則當(dāng),,恒成立,當(dāng),時(shí),,,,,,此時(shí),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的性質(zhì),輔助角公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),由三角形面積相等得出兩個(gè)三角形的邊之間的比例關(guān)系,這個(gè)比例關(guān)系又可用線段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,從而可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入橢圓方程得縱坐標(biāo),然后可得.【詳解】如圖,設(shè),,,由,得,由得,∴,解得,又在橢圓上,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題時(shí)由三角形面積相等得出線段長(zhǎng)的比例關(guān)系,解題是由把線段長(zhǎng)的比例關(guān)系用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示.15、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時(shí),,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),屬于中檔題.16、【解析】

第一空:將圓與聯(lián)立,利用計(jì)算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí),圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當(dāng)時(shí),①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項(xiàng)公式,綜合性較強(qiáng),是一道難度較大的題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】

(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式;(Ⅱ),根據(jù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求前2020項(xiàng)和.【詳解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),∴,即.∴數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,計(jì)算能力,屬于中檔題型.18、(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn),利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子左移,得,構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號(hào),這里應(yīng)注意的取值范圍,從而證明不等式.【詳解】解:(1)由于直線的斜率為,且過點(diǎn),故即解得,.(2)由(1)知,所以.考慮函數(shù),,則.而,故當(dāng)時(shí),,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題,以及不等式證明問題,考查了分析及解決問題的能力,其中,不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.19、(1);(2).【解析】

試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入兩個(gè)曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對(duì)求導(dǎo)得.設(shè)直線與曲線切于點(diǎn),則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號(hào),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知在,上恒成立.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上恒成立,記,則,當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:

3

0

極小值

∴,故“在上恒成立”只需,即.②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù).故實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn):函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中,和切線有關(guān)的題目非常多,我們只要把握住關(guān)鍵點(diǎn):一個(gè)是切點(diǎn),一個(gè)是斜率,切點(diǎn)即在原來函數(shù)圖象上,也在切線上;斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點(diǎn),列方程組,就能解決.本題第二問我們采用分層推進(jìn)的策略,先求得的表達(dá)式,然后再求得的表達(dá)式,我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來求的取值范圍了.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進(jìn)而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.21、(1)或.(2)存在,;【解析】

(1)根據(jù)動(dòng)圓過,兩點(diǎn),可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設(shè),由動(dòng)圓與直線相切可得動(dòng)圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進(jìn)而確定圓的方程.(2)方法一:設(shè),可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡(jiǎn)可得的軌

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