湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，點(diǎn)M（﹣3，4）到原點(diǎn)的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．73．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3﹣＝ B．+＝ C．×＝ D．÷＝4．（3分）如圖，為測量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小宇同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且DE＝18米，則A、B兩點(diǎn)的距離是（）A．9米 B．18米 C．36米 D．54米5．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（3分）如圖，已知線段AB、AD和射線BP，且AD∥BP，在射線BP上找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）A．過點(diǎn)D作DC∥AB與BP交于點(diǎn)C B．在AD下方作∠ADC與BP交于點(diǎn)C，使∠ADC＝∠ABP C．在BP上截取BC，使BC＝AD，連接DC D．以點(diǎn)D為圓心，AB長為半徑畫弧，與BP交于點(diǎn)C，連接DC7．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC為直角，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AO＝6.5，則四邊形ABCD的面積為（）A．60 B．30 C．90 D．968．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.59．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且DE∥CA，DF∥BA，下列說法不正確是（）A．若AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形 B．若AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是菱形 D．若∠ADC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形10．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝9，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．則EF的長為（）A．4 B． C． D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）要使二次根式有意義，實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）已知菱形的兩條對角線分別是4和6，則其面積是．13．（3分）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則xy＝．14．（3分）古今中外的不少學(xué)者對三角形面積的計(jì)算做出了諸多思考，尤其值得一提的是古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶均提出了類似的計(jì)算辦法：若三角形三邊長分別為相a、b、c，記，則三角形的面積為，因此后人將他們的發(fā)現(xiàn)合稱為海倫﹣秦九韶公式，請你利用海倫﹣秦九韶公式計(jì)算以下△ABC的面積為．15．（3分）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是3，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么a+b的值是．16．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠DAB+∠DBA＝°．（點(diǎn)D，A，B是網(wǎng)格線交點(diǎn)）三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD、CE．（1）求證：△ACD≌△EDC；（2）若點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，說明四邊形ADCE是矩形．19．（6分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，適與岸齊問水深、葭長各幾何譯文大意是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．問水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？20．（8分）先化簡，再求值：，其中a＝1007．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）的解法是錯(cuò)誤的；（2）錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：；（3）先化簡，再求值：，其中a＝﹣2024．21．（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1，A，B，C，D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）判斷∠BCD是否為直角．（填寫“是”或“不是”）（2）直接寫出四邊形ABCD的面積為．（3）找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．22．（9分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，AF與CE的延長線相交于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是菱形？請說明理由．23．（9分）如圖，矩形AEBO的對角線AB、OE交于點(diǎn)F，延長AO到點(diǎn)C，使OC＝OA，延長BO到點(diǎn)D，使OD＝OB，連接AD、DC、BC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）若OE＝20，∠BCD＝60°，則菱形ABCD的面積為．24．（10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．求證：AE＝EF．25．（10分）若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“巧分線”，這個(gè)四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個(gè)四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是；（填序號點(diǎn)①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．初步應(yīng)用（2）在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝；深入研究（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求證：梯形ABCD是絕妙四邊形．（4）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請直接寫出∠BCD的度數(shù)．參考答案與試題解析一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，不是最簡二次根式，不符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，是最簡二次根式，符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．2．（3分）如圖，點(diǎn)M（﹣3，4）到原點(diǎn)的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，4），∴點(diǎn)M離原點(diǎn)的距離是＝5．故選：C．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3﹣＝ B．+＝ C．×＝ D．÷＝【解答】解：A、原式＝2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與不能合并，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、原式＝＝，所以C選項(xiàng)正確；D、原式＝＝，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．（3分）如圖，為測量池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，小宇同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，且DE＝18米，則A、B兩點(diǎn)的距離是（）A．9米 B．18米 C．36米 D．54米【解答】解：∵小宇同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA、OB的中點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，∴DE是△OAB的中位線，∴，∴AB＝2DE＝2×18＝36（米）．故選：C．5．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，又∠B＝2∠A，∴．故選：D．6．（3分）如圖，已知線段AB、AD和射線BP，且AD∥BP，在射線BP上找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）A．過點(diǎn)D作DC∥AB與BP交于點(diǎn)C B．在AD下方作∠ADC與BP交于點(diǎn)C，使∠ADC＝∠ABP C．在BP上截取BC，使BC＝AD，連接DC D．以點(diǎn)D為圓心，AB長為半徑畫弧，與BP交于點(diǎn)C，連接DC【解答】解：A．由作法得DC∥AB，而AD∥BP，則四邊形ABCD是平行四邊形，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．由作法得∠ADC＝∠ABP，由AD∥BP得∠ADC＝∠DCP，則∠DCP＝∠ABP，所以DC∥AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．由作法得BC＝AD，而AD∥BP，則四邊形ABCD是平行四邊形，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．由作法得DC＝AB，而AD∥BP，則四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC為直角，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AO＝6.5，則四邊形ABCD的面積為（）A．60 B．30 C．90 D．96【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2×6.5＝13，∴BC＝＝＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×12＝60，故選：A．8．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：如圖，連接CM、CN，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣3＝2．故選：A．9．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且DE∥CA，DF∥BA，下列說法不正確是（）A．若AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形 B．若AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是菱形 D．若∠ADC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA∴四邊形AEDF是平行四邊形，A．若AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形，正確，不符合題意；B．若AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形，正確，不符合題意；C．若AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是菱形，正確，不符合題意；D．若∠ADC＝90°，不能得出四邊形AEDF是矩形，錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．10．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝9，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．則EF的長為（）A．4 B． C． D．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，BE＝DE，∠BEF＝∠DEF，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝∠BEF，∴BF＝BE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝9﹣x，由勾股定理得，AB2＝BE2﹣AE2，即32＝（9﹣x）2﹣x2，解得x＝4，∴BF＝BE＝DE＝5，如圖，作EG⊥BF于G，則四邊形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝3，BG＝AE＝4，∠EGF＝90°，∴GF＝BF﹣BG＝1，由勾股定理得，，故選：D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）要使二次根式有意義，實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥2024．【解答】解：∵二次根式有意義，∴x﹣2024≥0，解得：x≥2024．故答案為：x≥2024．12．（3分）已知菱形的兩條對角線分別是4和6，則其面積是12．【解答】解：∵菱形的兩條對角線分別是4和6，∴菱形的面積＝，故答案為：12．13．（3分）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則xy＝﹣6．【解答】解：∵，∴x﹣3＝0，y+2＝0，∴x＝3，y＝﹣2，∴xy＝3×（﹣2）＝﹣6；故答案為：﹣6．14．（3分）古今中外的不少學(xué)者對三角形面積的計(jì)算做出了諸多思考，尤其值得一提的是古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶均提出了類似的計(jì)算辦法：若三角形三邊長分別為相a、b、c，記，則三角形的面積為，因此后人將他們的發(fā)現(xiàn)合稱為海倫﹣秦九韶公式，請你利用海倫﹣秦九韶公式計(jì)算以下△ABC的面積為2．【解答】解：∵＝＝5，∴s＝＝2．故答案為：2．15．（3分）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是3，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么a+b的值是．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為c，小正方形的邊長為d，∵直角三角形的兩直角邊分別為a，b，∴a2+b2＝c2，a﹣b＝d，∵大正方形的面積是12，小正方形的面積是3，∴c2＝12，d2＝3，∴a2+b2＝12，（a﹣b）2＝3，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴12﹣2ab＝3，∴2ab＝9，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+9＝21，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝．16．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠DAB+∠DBA＝45°．（點(diǎn)D，A，B是網(wǎng)格線交點(diǎn)）【解答】解：如圖，延長AD到T，連接BT．則TD2＝BT2＝1+22＝5，DB2＝12+32＝10，∴TD2+TB2＝DB2，∴∠DTB＝90°，∴∠TDB＝∠DAB+∠DBA＝45°，故答案為：45．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝＝3．18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接AD、CE．（1）求證：△ACD≌△EDC；（2）若點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，說明四邊形ADCE是矩形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代換），∠B＝∠ACB（等邊對等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代換）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四邊形的對邊平行且相等），∴AE∥CD，∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AE＝CD（等量代換），∴四邊形ADCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)），∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．19．（6分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，適與岸齊問水深、葭長各幾何譯文大意是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．問水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？【解答】解：設(shè)水深x尺，蘆葦（x+1）尺，由勾股定理：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，x+1＝13，答：水深12尺，蘆葦?shù)拈L度是13尺．20．（8分）先化簡，再求值：，其中a＝1007．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的；（2）錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：＝﹣a（a＜0）；（3）先化簡，再求值：，其中a＝﹣2024．【解答】解：（1）根據(jù)上述解答過程，可知小亮的解法是錯(cuò)誤的；故答案為：小亮；（2）小亮錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：＝﹣a（a＜0），故答案為：＝﹣a（a＜0）；（3）原式＝＝a+2＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，將a＝﹣2024代入，則原式＝6+2024＝2030．21．（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1，A，B，C，D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）判斷∠BCD是否為直角．（填寫“是”或“不是”）（2）直接寫出四邊形ABCD的面積為14．（3）找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【解答】解：（1）∠BCD不是直角．理由：∵CD＝＝，BC＝＝，BD＝＝4，∴BD2≠BC2+CD2，∴∠BCD≠90°；（2）四邊形ABCD的面積＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14．故答案為：14；（3）如圖，四邊形ABED即為所求（答案不唯一）．22．（9分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，AF與CE的延長線相交于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是菱形？請說明理由．【解答】（1）證明：∵E為AD的中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD∴四邊形AFBD為平行四邊形；（2）解：當(dāng)△ABC滿足條件∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AFBD是菱形，理由為：∵E為AD的中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD∴四邊形AFBD為平行四邊形；∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝＝BD，∵四邊形AFBD為平行四邊形，AD＝BD；∴四邊形AFBD為菱形．23．（9分）如圖，矩形AEBO的對角線AB、OE交于點(diǎn)F，延長AO到點(diǎn)C，使OC＝OA，延長BO到點(diǎn)D，使OD＝OB，連接AD、DC、BC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）若OE＝20，∠BCD＝60°，則菱形ABCD的面積為200．【解答】（1）證明：∵CO＝AO，DO＝BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵四邊形AEBO是矩形，∴∠AOB＝90°，∴BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形AEBO是矩形，∴AB＝BC＝OE＝20，∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，∴∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，∴OB＝BC＝×20＝10，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC＝，∴BD＝2OB＝2×10＝20，AC＝2OC＝2×10，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×20×20＝200．故答案為：200．24．（10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．求證：AE＝EF．【解答】證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH；∵∠AEF＝90°，∴∠2+∠AEB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵E是BC的中點(diǎn)，H是AB的中點(diǎn)，∴BH＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°，∵CF是∠DCG的角平分線，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．25．（10分）若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“巧分線”，這個(gè)四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個(gè)四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是③④；（填序號點(diǎn)①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．初步應(yīng)用（2）在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝140°或80°或160°；深入研究（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求證：梯形ABCD是絕妙四邊形．（4）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請直接寫出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵菱形的四條邊相等，∴連接對角線能得到兩個(gè)等腰三角形，∴菱形是巧妙四邊形；正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；故答案為：③④；（2）分三種情況，①當(dāng)AC＝AD＝AB時(shí)，如圖1，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝∠DAC＝40°，∵AC＝AD＝AB，∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；②當(dāng)AD＝CD，AB＝BC時(shí)，如圖2，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴