高考數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列六（解析幾何典例剖析及資源推送）

20/21福建省2022屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列六解析幾何典例剖析及資源推送（福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組江嘉秋執(zhí)筆整理）解析幾何中的基本問(wèn)題可以分為①知曲線、求方程、用方程、研究曲線；②知方程、畫(huà)曲線、用曲線、研究方程兩類(lèi)，由此展開(kāi)的研究曲線或方程的具體問(wèn)題：一、典型問(wèn)題剖析（一）基本思想與方法【例1】（2021年八省適應(yīng)用性卷14）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_(kāi)_____，_____．解析：正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故答案為：；.【評(píng)析】本題以簡(jiǎn)單的多空形式呈現(xiàn)，以正方形、直線與直線的位置關(guān)系為載體，考查坐標(biāo)法的基本應(yīng)用.考點(diǎn)雖然稍冷，卻有著濃濃的解析味。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于，合理建立坐標(biāo)系，恰當(dāng)?shù)乇碚鲙缀螌?duì)象，如傾斜角的引進(jìn)，以及與斜率的互化，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性。【例2】（2008年江蘇卷18）在平面直角坐標(biāo)系中，記二次函數(shù)（）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求圓的方程；（3）問(wèn)圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與的無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解析：（1）令＝0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（2）設(shè)所求圓的一般方程為令＝0得這與＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝．令＝0得＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝―b―1．所以圓C的方程為.（3）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（－2，1）．證明如下：將（0，1）代入圓C的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）．同理可證圓C必過(guò)定點(diǎn)（－2，1）．【評(píng)析】本題載體二次函數(shù)和圓，突出了在知識(shí)的交匯處的命題理念.題意簡(jiǎn)潔清晰，設(shè)問(wèn)自然大方，給人親切感.整個(gè)試題數(shù)中有形、形中有數(shù)，靜中求動(dòng)、動(dòng)中求不變，水乳交融，渾然一體，猶如一幅充滿(mǎn)詩(shī)意的山水畫(huà).三個(gè)設(shè)問(wèn)，角度不同，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，將冰冷的曲線與方程的理性認(rèn)識(shí)演繹成火熱的思考，考查了待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、方程思想等，充分展示笛卡兒“方法論”的魅力，詮釋了解析幾何的學(xué)科思想.第（1）問(wèn)，突出了數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題的優(yōu)化作用；第（2）問(wèn)是典型的知曲線求方程的問(wèn)題，關(guān)鍵是能弄清問(wèn)題的特殊性——分析幾何要素，圓、拋物線與坐標(biāo)軸交于相同的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圓方程與二次函數(shù)的代數(shù)關(guān)系；第（3）問(wèn)是知方程研究曲線，可以通過(guò)特例先發(fā)現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，再用曲線系知識(shí)就容易破解。整個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性?！纠?】（2020屆山東省高考模擬多項(xiàng)選擇題）設(shè)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是（）A．若，則B．若，直線AB過(guò)定點(diǎn)C．若，到直線AB的距離不大于1D．若直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且，則【解析】B選項(xiàng).當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，，，，，將直線方程代入拋物線方程，得，則，，，，解得．于是直線方程為，該直線過(guò)定點(diǎn)．故不正確；C.到直線的距離，即正確；A.．正確；D.由題得,所以，不妨取.所以，所以直線AB的方程為，所以.由題得=.所以.所以D正確.故選ACD．事實(shí)上，在研究B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，AC選項(xiàng)都可以利用幾何直觀快速判斷.【評(píng)析】本題以多項(xiàng)選擇題呈現(xiàn)，是高考的新題型。試題以拋物線、拋物線與直線的位置關(guān)系為載體，設(shè)置具有一定關(guān)聯(lián)的探究情境，綜合考查拋物線的概念與性質(zhì)?？疾榈年P(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。學(xué)生從熟悉的情境中，用數(shù)學(xué)的眼光，確定首先研究的對(duì)象，關(guān)鍵是C選項(xiàng)的研究，這是常規(guī)性問(wèn)題，設(shè)方程（直線方程）、用方程（聯(lián)立方程）解決位置關(guān)系問(wèn)題。總體強(qiáng)調(diào)用代數(shù)方法和數(shù)形結(jié)合思想研究幾何問(wèn)題，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性?？傊馕鰩缀螁?wèn)題綜合性強(qiáng)、應(yīng)用面廣，所以在高三復(fù)習(xí)中，一定要抓住本源的思路，“點(diǎn)與坐標(biāo)”、“曲線與方程”兩個(gè)互化上思考問(wèn)題，注重通性通法，注重運(yùn)算能力，自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析、推理、運(yùn)算，提高復(fù)習(xí)效率。具體的解析幾何問(wèn)題，圓的問(wèn)題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線性質(zhì)（焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線）；綜合性問(wèn)題主要是位置關(guān)系、范圍、面積、定點(diǎn)、定值等。下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明．（二）離心率問(wèn)題【例4】（2009全國(guó)2卷理11）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為B.C.D.【解析】設(shè)，由，所以，則.設(shè)直線的方程為，由消去得，于是，所以，則，整理化簡(jiǎn)得，于是，故，選A.【評(píng)析】本題主要考查以離心率為背景的雙曲線的概念與性質(zhì)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性。這類(lèi)問(wèn)題的解決，突出方程的思維.此題的關(guān)鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù)的等量關(guān)系式．（三）最值與范圍【例5】（2016年全國(guó)1卷理20）設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（1）證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMAN2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，，故，所以，?又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)，則的方程為，易求得，于是，，則四邊形MPNQ面積為；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，由得，則，所以；又過(guò)且與l垂直的直線，即，圓心到直線的距離為，所以，故四邊形MPNQ面積的為，可得與軸不垂直時(shí)四邊形MPNQ面積的取值范圍為，又與軸垂直時(shí)四邊形MPNQ面積為12，故四邊形MPNQ面積的取值范圍為.【評(píng)析】本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力.考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想。解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況靈活處理．（四）定點(diǎn)問(wèn)題【例6】（2017全國(guó)2卷理20）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【解析】（1）設(shè)，則，于是，，又，得即因?yàn)樵跈E圓上，所以，即.（2）由題意知，設(shè)，則，由，所以，又由（1）知，故，即.解法1：，則，于是過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l的方程為，整理得，，即，即，故直線l過(guò)定點(diǎn)，即直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.解法2：因?yàn)?，所以，由，所以，又由?）知，故，所以，所以，又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【評(píng)析】該類(lèi)問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題的證明．難度較大．定點(diǎn)、定值問(wèn)題是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類(lèi)問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。本題的關(guān)鍵是合理設(shè)方程，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系，程序性求出以?xún)牲c(diǎn)為直徑的圓方程.【例7】（2020年全國(guó)Ⅰ卷第20題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).解析：（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，整理可得：整理得：,故直線過(guò)定點(diǎn).【評(píng)析】本題是綜合性題目，屬于探索創(chuàng)新情境，具體以橢圓和直線的位置關(guān)系為載體，以直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提出了較高的要求.對(duì)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，示例中給出了此類(lèi)問(wèn)題的基本思路與解法，當(dāng)然，對(duì)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題還可以理解為三點(diǎn)共線，如此可以選擇設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)推演與定點(diǎn)的斜率關(guān)系等式，創(chuàng)新性地解決問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清幾何問(wèn)題，選擇合理的代數(shù)方法。事實(shí)上本題猜測(cè)與發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)在軸上，對(duì)運(yùn)算過(guò)程的調(diào)控尤為重要。（五）定值問(wèn)題【例4】（2019年全國(guó)Ⅰ卷第21題）已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，⊙過(guò)點(diǎn)且與直線相切．（1）若在直線上，求⊙的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值？并說(shuō)明理由．解析：（1）因?yàn)椤堰^(guò)點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上.由已知在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以在直線上，故可設(shè).因?yàn)椤雅c直線x+2=0相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故⊙的半徑或.（2）存在定點(diǎn)，使得為定值.理由如下：設(shè)，由已知得的半徑為.由于，故可得，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為.因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.因?yàn)?，所以存在滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P.【評(píng)析】本題考查了直線與圓的關(guān)系和拋物線的定義，考查了待定系數(shù)法和曲線軌跡方程的求法。解題關(guān)鍵是第（1）問(wèn)，曲線與方程互化，由條件知點(diǎn)在線段的中垂線上，設(shè)⊙的方程為，然后根據(jù)圓與直線相切和圓心到直線的距離，半弦長(zhǎng)和半徑的關(guān)系建立方程組即可。第（2）問(wèn)，運(yùn)用分析法，假設(shè)，則，可化為拋物線的定義的定義分析?！纠?】（2021年全國(guó)八省聯(lián)考）雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．解析（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，因?yàn)?，故，故，即，?（2）設(shè)，其中.因?yàn)椋?，，故漸近線方程為：，所以，，當(dāng)時(shí)，又，，所以，因?yàn)?，?當(dāng)，由（1）可得，故.綜上，.【評(píng)析】本題以雙曲線方程與性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系為載體，證明角度倍關(guān)系問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提出了較高的要求，解題關(guān)鍵（1）圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是找到一組等量關(guān)系（齊次式）.（2）圓錐曲線中與有角有關(guān)的計(jì)算，注意通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)角的大小，還要注意結(jié)合點(diǎn)在曲線上滿(mǎn)足的方程化簡(jiǎn)目標(biāo)代數(shù)式.設(shè)，則，，再計(jì)算，利用點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)后可得，從而可得結(jié)論成立.在解答題注意嚴(yán)謹(jǐn)性不丟分，如垂直于軸的討論，角度范圍的限制等。【例6】如圖，點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)，直線的斜率分別為，且，，．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析:（Ⅰ）由，得解得，橢圓．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，，，，，，，，，．所以的面積為定值1．【評(píng)析】圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略1、求代數(shù)式為定值。依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；2、求點(diǎn)到直線的距離為定值。利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；3、求某線段長(zhǎng)度為定值。利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得。二、資源推送（一）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，同時(shí)以該橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是A． B． C． D．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則=A． B． C． D．3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則的離心率為A． B． C． D．4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，則的軌跡方程是A．B．C．D．5．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線的斜率為,則該雙曲線的方程為A．B． C． D．6．為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．7．設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)，，=，則的離心率為A． B． C． D．8．已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線與軸所成角的取值范圍是A． B． C． D．（二）選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是A． B． C． D．10.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面千米，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圈的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，則（）A． B． C． D．11.設(shè)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線與在第一象限相交于一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．傾斜角的余弦值為 B．若，則的離心率C．若，則的離心率 D．不可能是等邊三角形12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯國(guó)，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得 C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線 D．在上存在點(diǎn)，使得（二）填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線與相交于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)為（2，2），則的方程為_(kāi)____________.14．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則_____．15．已知拋物線，焦點(diǎn)為，為平面上的一定點(diǎn)，為該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．16．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，曲線是以為圓心，為半徑的圓，直線與，從左至右依次相交于，則;．（三）解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，（1）求的方程：（2）若直線的傾斜角為，求.18．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的離心率為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且，求的方程.19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓在軸右側(cè)部分上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線的距離為，證明：的周長(zhǎng)為定值．20．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn)，拋物線：上存在不同的兩點(diǎn)滿(mǎn)足的中點(diǎn)均在上．（1）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；（2）若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大1個(gè)單位長(zhǎng)度.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的方程.22．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與圓相切.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)為軌跡C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)？是與無(wú)關(guān)的定值，并求出該定值.23．已知橢圓C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，.（1）求橢圓C的方程；（2）若，求弦長(zhǎng)的取值范圍．附：過(guò)關(guān)練習(xí)參考答案1．【答題分析】該雙曲線方程是，選C.2．【答題分析】當(dāng)直線垂直于軸時(shí),經(jīng)計(jì)算可知不符合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)方程為,求出原點(diǎn)O到直線AB的距離,聯(lián)立直線AB與C的方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng),然后根據(jù)面積列方程可解得,再代入,可得.【詳解】當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，不符合題設(shè)；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)方程為，即.點(diǎn)到直線距離.聯(lián)立得，設(shè),則由韋達(dá)定理得,,,所以由弦長(zhǎng)公式得,,因?yàn)榈拿娣e為,所以，所以，所以。故選C。3．【答題分析】根據(jù)可知，轉(zhuǎn)化成關(guān)于，，的關(guān)系式，再根據(jù)，和的關(guān)系進(jìn)而求得和的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．【詳解】據(jù)題意，，，，，，即，，即.又，，同除得，即，（舍）或.故選A.4．【答題分析】這個(gè)方程相信讀者一定可以化簡(jiǎn)出最終結(jié)論（無(wú)非就是移項(xiàng)平方去根號(hào)），但如果考慮到方程中各式子的幾何意義，更快獲得結(jié)果，此方程表示點(diǎn)與到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支。5．【答題分析】根據(jù)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)可以求出,再根據(jù)一條漸近線的斜率為,可求出的關(guān)系,最后聯(lián)立,解方程求出,求出方程即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,一條漸近線的斜率為,所以有,而,所以,因此有，解得.故選C。6．【答題分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,設(shè)出,由以及拋物線的定義列式可得,求出,再代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再由三角形的面積公式可得.【詳解】由可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線的定義可知,設(shè),則,解得,將代入可得,所以△的面積為=.故選B.7．【答題分析】由題意可設(shè)|，結(jié)合條件可知，故離心率選D.8．【答題分析】因?yàn)殡x心率，所以，所以所求夾角范圍為，故選C．（二）選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.【答題分析】因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以圓與直線相切，所以直線與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，可得，故有兩解，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c雙曲線的一條漸近線為平行，所以直線與與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；因?yàn)?，可得，故有兩解，故D錯(cuò)誤；綜上所得，故選AC.幾何量直觀判斷直線與圓，橢圓，雙曲線，拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到選項(xiàng)．10．【答題分析】因?yàn)榈厍虻闹行氖菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，并且根據(jù)圖象可得，（*），故A正確；，故B正確；（*）兩式相加，可得，故C不正確；由（*）可得，兩式相乘可得，，故D正確.故選ABD.11.【答題分析】設(shè)直線傾斜角為，則，所以.在第一象限內(nèi)，若，則，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.若，則，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.由，知不可能為等邊三角形.故選AD.12.【答題分析】設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得的軌跡方程，可判斷；假設(shè)在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得，設(shè)出，的坐標(biāo)，求得軌跡方程，對(duì)照的軌跡方程可得，，可判斷；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，由角平分線定理的逆定理，可判斷；若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得的軌跡方程，聯(lián)立的軌跡方程，即可判斷．13．【答題分析】拋物線的方程為，設(shè)，所以，所以的方程為，即.14．【答題分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑和弦長(zhǎng)的關(guān)系求出的值即可．【詳解】圓：，化為：，所以圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，即，解得．故答案為：．15．【答題分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，焦點(diǎn)為，過(guò)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，故答案為：12．16．【答題分析】由直線過(guò)焦點(diǎn)F，即QR是直徑，得|RQ|＝，又|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝+，求出S，P的縱坐標(biāo)代入即可.17．【答題分析】（1）根據(jù)題中條件，得到，再由離心率求出，進(jìn)而得到的值，從而可求出橢圓方程；（2）由題中條件，得到直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由條件知，，又由離心率知，，的方程為.（2）由條件知，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到，易知，設(shè)，，則由韋達(dá)定理，，，故.18．【答題分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合，列方程組可求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算，可求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】（1）由已知得解得，．橢圓的方程為.（2）由題得不為軸，∴設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程得，設(shè)，，則，.．即，∴（舍）或．直線的方程為．綜上，直線的方程為.19．【答題分析】（1）利用待定系數(shù)法，可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為．代入利用韋達(dá)定理，結(jié)合距離公式，化簡(jiǎn)，即可求的值．【解析】（1）由題意得解得所以橢圓的方程為．（2）=1\*GB3①當(dāng)垂直于軸時(shí)，方程為，，，．．因?yàn)?，所以?2\*GB3②當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為．因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，即．由得，即．設(shè)，，則，．所以=．因?yàn)樵谳S右側(cè)，所以，所以．，所以，同理．所以，所以，綜上，的周長(zhǎng)等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)4.20．【答題分析】（1）設(shè)，，．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的中點(diǎn)在拋物線上，所以為方程即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，故垂直于軸；（2）由（1）可知，所以，因此，的面積．因?yàn)椋?，故的面積取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)性質(zhì)解決圓錐