2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)分式的乘除（提高）知識(shí)講解

2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)分式的乘除（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.學(xué)會(huì)用類比的方法總結(jié)出分式的乘法、除法法則.2.會(huì)分式的乘法、除法運(yùn)算.3.掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進(jìn)行分式運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂402545分式的乘除運(yùn)算知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點(diǎn)詮釋：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡(jiǎn)分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計(jì)算結(jié)果，要通過約分，化為最簡(jiǎn)分式或整式.要點(diǎn)二、分式的乘方分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點(diǎn)詮釋：（1）分式乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào).不要把寫成（2）分式乘方時(shí)，要首先確定乘方結(jié)果的符號(hào)，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).（3）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分.（4）分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如.【典型例題】類型一、分式的乘法 1、（2016北京?門頭溝一模）已知x－3y=0，求的值．【思路點(diǎn)撥】先把分母分解因式，并運(yùn)用分式的乘法法則約分、化簡(jiǎn)，再把x=3y代入可求分式的值．【答案與解析】解：原式==∵x－3y=0，∴x=3y．∴當(dāng)x=3y時(shí)，原式=．【總結(jié)升華】本題考查綜合運(yùn)用分式的乘法法則，約分化簡(jiǎn)分式，并根據(jù)已知條件式求分式的值．舉一反三：【變式】已知分式，計(jì)算的值．【答案】解：．∵，∴，且，即且，解得，，此時(shí)．∴原式．類型二、分式的除法 2、課堂上，李老師給同學(xué)們出了這樣一道題：當(dāng)，，時(shí)，求代數(shù)式的值．小明一看，“太復(fù)雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個(gè)問題嗎？請(qǐng)你寫出具體的過程．【思路點(diǎn)撥】分式求值問題的解題思路是先化簡(jiǎn)，再代入求值，一般情況下不直接代入，本題所給的的值雖然有的較為復(fù)雜，但化簡(jiǎn)分式后即可發(fā)現(xiàn)結(jié)果與字母的取值無關(guān)．【答案與解析】解：．所以無論取何值，代數(shù)式的值均為，即代數(shù)式的值與的取值無關(guān)．所以當(dāng)，，時(shí)，代數(shù)式的值都是．【總結(jié)升華】本題實(shí)際就是一道普通的分式化簡(jiǎn)求值題，只是賦予情景，增加興趣，要通過認(rèn)真審題，領(lǐng)會(huì)解決問題的實(shí)質(zhì)．舉一反三：【變式】已知，其中不為0，求的值.【答案】解：原式＝＝.∵，∴.∴原式＝.∵不為0，∴原式＝.類型三、分式的乘方3、（2015春?泉州校級(jí)期中）計(jì)算：．【思路點(diǎn)撥】先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算即可得到結(jié)果．【答案與解析】解：原式=﹣?=﹣．【總結(jié)升華】分式乘方時(shí)也可以先確定符號(hào)，再將分子、分母分別乘方．類型四、分式的乘除法、乘方混合運(yùn)算【高清課堂402545分式的乘除運(yùn)算例2（4）】4、若等于它的倒數(shù)，求的值．【答案與解析】解：∵等于它的倒數(shù)，∴解得∴時(shí)，原式＝；時(shí)，原式＝.【總結(jié)升華】乘除混合運(yùn)算，首先把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再用乘法運(yùn)算法則計(jì)算．有乘方的，先算乘方，注意符號(hào)的處理.舉一反三：【變式】（2014春?安縣校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：．【答案】解：原式=﹣??=﹣．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．（2014秋?岱岳區(qū)期中）化簡(jiǎn)，其結(jié)果是（）A.﹣B.2 C.﹣2 D． 2．（2016?濟(jì)南）化簡(jiǎn)÷的結(jié)果是（）A． B． C． D．2（x+1）3．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．4．下列各式中正確的是（）A． B．C． D．5．（為正整數(shù)）的值是（）A． B． C． D．6．下列分式運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．二.填空題7．已知＝2011，＝2012，則的值為______．8．（2015春?周口校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：（﹣）3÷（?）=．9．（2016?永州）化簡(jiǎn)：÷=．10.已知，，則＝________.11.當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式的值為________.12.計(jì)算：___________.三.解答題13．（2015春?成都校級(jí)月考）計(jì)算：（1）﹣（2）÷．14．先化簡(jiǎn)，再求值：（1）其中（2）其中＝－1．15．已知求的值．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】解：原式=﹣??=﹣2，故選C．2.【答案】A；【解析】原式=?（x﹣1）=.3.【答案】C；【解析】.4.【答案】D；【解析】；；.5.【答案】B；【解析】.6.【答案】A；【解析】；；.二.填空題7.【答案】－1；【解析】.8.【答案】﹣；【解析】解：原式=﹣÷=﹣?=﹣，故答案為：﹣.9.【答案】；【解析】原式=?=.10.【答案】；【解析】.11.【答案】－5；【解析】.12.【答案】；【解析】.三.解答題13.【解析】解：（1）原式=+=；（2）原式=?=x．14.【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，原式＝.（2）當(dāng)＝－1時(shí)，原式＝.15.【解析】解：∵∴解得.分式的概念和性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點(diǎn)詮釋：（1）分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個(gè)整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分母中都不含字母.（2）分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但π表示圓周率，是一個(gè)常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當(dāng)作分式.（4）分母中含有字母是分式的一個(gè)重要標(biāo)志，判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式不能先化簡(jiǎn)，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡(jiǎn)的結(jié)果.要點(diǎn)二、分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點(diǎn)詮釋：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點(diǎn)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要點(diǎn)詮釋：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強(qiáng)調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)M≠0這個(gè)前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點(diǎn)四、分式的變號(hào)法則對(duì)于分式中的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變；改變其中任何一個(gè)或三個(gè)，分式成為原分式的相反數(shù).要點(diǎn)詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號(hào)法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號(hào)法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著重要的作用.要點(diǎn)五、分式的約分，最簡(jiǎn)分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個(gè)分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式.要點(diǎn)詮釋：（1）約分的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)分式化成最簡(jiǎn)分式，即約分后，分式的分子與分母再?zèng)]有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項(xiàng)式時(shí)，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分.要點(diǎn)六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點(diǎn)詮釋：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項(xiàng)式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡(jiǎn)公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對(duì)一個(gè)分式而言，而通分則是針對(duì)多個(gè)分式而言.【典型例題】類型一、分式的概念 1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，．【思路點(diǎn)撥】，，雖具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示一個(gè)常數(shù)，因此這三個(gè)式子都不是分式．【答案與解析】解：整式：，，，，分式：，，．【總結(jié)升華】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．類型二、分式有意義，分式值為02、下列各式中，取何值時(shí)，分式有意義？（1）；（2）；（3）．【答案與解析】解：（1）由得，故當(dāng)時(shí)分式有意義．（2）由得，故當(dāng)時(shí)分式有意義．（3）由，即無論取何值時(shí)均不為零，故當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)分式都有意義．【總結(jié)升華】首先求出使分母等于零的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義．這是解答這類問題的通用方法．舉一反三：【變式1】（2016·丹東一模）若分式有意義，則的取值范圍是．【答案】解：由題意得：，解得，故答案為：．【變式2】當(dāng)為何值時(shí)，下列各式的值為0．（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）由得，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，分式的值為0．（2）由得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，分式的值為0．（3）由得，當(dāng)時(shí)，，∴在分式有意義的前提下，分式的值永不為0．類型三、分式的基本性質(zhì)3、不改變分式的值，將下列分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】將（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．【答案與解析】解：（1）．（2）.【總結(jié)升華】利用分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.舉一反三：【變式1】如果把分式中的都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）A擴(kuò)大3倍B不變C縮小3倍D擴(kuò)大2倍【答案】B；【變式2】填寫下列等式中未知的分子或分母．（1）；（2）．【答案】；1；解：（1）先觀察分子，等式左邊分式的分子為，而等式的右邊分式的分子為，由于，即將等式左邊分式的分子乘以，因而分母也要乘以，所以在？處應(yīng)填上．（2）先觀察分母，等式左邊的分母為，等式右邊的分母為，根據(jù)分式的性質(zhì)可知應(yīng)將等式左邊分式的分子、分母同時(shí)除以，因?yàn)?，所以在？處填?．4、不改變分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”號(hào)．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）（2）（3）（4）．【總結(jié)升華】在分子、分母、分式本身中，只有任意兩個(gè)同時(shí)改變符號(hào)時(shí)，才能保證分式的值不變．一般地，在分式運(yùn)算的最后結(jié)果中，習(xí)慣于只保留一個(gè)負(fù)號(hào)，寫在分式的前面．類型四、分式的約分、通分5、（2015春?東臺(tái)市月考）約分，通分：（1）；（2）；（3）?．【思路點(diǎn)撥】（1）把分子與分母進(jìn)行約分即可；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式先把分子與分母進(jìn)行因式分解，然后約分即可；（3）把分母進(jìn)行因式分解，然后相乘，即可得出答案．【答案與解析】解：（1）=﹣；（2）==；（3）?=?=．【總結(jié)升華】此題考查了分式的約分，用到的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再進(jìn)行約分．舉一反三：【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)例6（2）】【變式】通分：（1），；（2），．（3）與；（4），，．【答案】解：（1）最簡(jiǎn)公分母為，，．（2），，最簡(jiǎn)公分母為，．．（3）最簡(jiǎn)公分母是．，．（4）最簡(jiǎn)公分母是，，，．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．（2015春?東臺(tái)市期中）下列各式：其中分式共有（）A.2個(gè)B.3個(gè) C.4個(gè)D.5個(gè)2．使分式值為0的值是（）A．0 B．5 C．－5 D．≠－53.下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，分式有意義B．當(dāng)時(shí)，分式有意義C．當(dāng)時(shí)，分式值為0D．當(dāng)時(shí)，分式有意義4．（2016·營口模擬）下列各式中，不論字母取何值時(shí)分式都有意義的是（)A． B． C． D．5．如果把分式中的和都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大10倍 B．縮小10倍C．是原來的 D．不變6．下列各式中，正確的是（）A． B．C． D．二.填空題7．當(dāng)＝______時(shí)，分式無意義．8.若分式的值為正數(shù)，則滿足______．9．（1） （2）10．（1） （2）11.（2016秋·崆峒區(qū)期末）分式的最簡(jiǎn)公分母是_________.12.（2015?朝陽區(qū)一模）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，，…，其中第7個(gè)式子是，第n個(gè)式子是（用含的n式子表示，n為正整數(shù)）．三.解答題13.當(dāng)為何值時(shí)，下列分式有意義?（1）；（2）；（3）；（4）．14．已知分式當(dāng)＝－3時(shí)無意義，當(dāng)＝2時(shí)分式的值為0，求當(dāng)＝－7時(shí)分式的值．15．（2014?上城區(qū)二模）在三個(gè)整式x2﹣1，x2+2x+1，x2+x中，請(qǐng)你從中任意