醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第四節(jié) 多元函數(shù)微分法

第四節(jié)多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法

這一法則稱為一元復(fù)合函數(shù)的鎖鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法.現(xiàn)在,我們將這一法則推廣到多元復(fù)合函數(shù).一、復(fù)合函數(shù)微分法1.中間變量是二元函數(shù)的情形其中

定理4-4

設(shè)函數(shù)、在點的偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)在對應(yīng)點可微，則復(fù)合函數(shù)在點處存在對、的偏導(dǎo)數(shù),且鎖鏈?zhǔn)椒▌t如圖示(1)單鏈?zhǔn)菍?dǎo)數(shù)關(guān)系,多鏈?zhǔn)瞧珜?dǎo)關(guān)系;(2)一條鏈之間,依次求導(dǎo)相乘;(3)各條鏈之間,求導(dǎo)后逐漸相加.

注意上述運算法則對中間變量或自變量多于或少于兩個的情形仍然適用.解

例4-21

設(shè),而，，求、.

例4-22

設(shè),求、.

解令則推論

其中

例4-23設(shè),其中,求、.解設(shè),則由鎖鏈法則同理即兩者的區(qū)別2.中間變量既有一元函數(shù)又有二元函數(shù)的情形其中

例4-23

設(shè)求、.

解全導(dǎo)數(shù)3.中間變量均為一元函數(shù)

為的一元函數(shù),對

求導(dǎo),得

設(shè)可微,且,則復(fù)合函數(shù)

例4-24

設(shè),而，,求

.解解

例4-25

設(shè)而求

.

注意上式中與的區(qū)別!是全導(dǎo)數(shù),是將z作為x的一元復(fù)合函數(shù)時的全部變化率;而是z

對x的偏導(dǎo)數(shù),是將z作為x、y的二元函數(shù)時

z

的變化率.4、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)可微,其全微分表達形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例4-26.利用全微分形式不變性，解:所以設(shè)一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時,能確定隱函數(shù)C>0時,不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:二、隱函數(shù)微分法1、一元隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理*.

設(shè)函數(shù)則方程連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);且的某鄰域內(nèi)恒能唯一確定一在點的某一鄰域內(nèi)滿足條件兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個連續(xù)可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù);由定理*可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在連續(xù)可且并求兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理4-5.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確2.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則解令則所以

例4-27求由方程所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù).

例4-28.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)例2.設(shè)F(x,y)具