2024年成都市石室中學(xué)高三數(shù)學(xué)（理）高考三模試卷附答案解析

年成都市石室中學(xué)高三數(shù)學(xué)（理）高考三模試卷（總分：150分，時間：120分鐘）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1．滿足且的集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．在中，“是鈍角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績的極差為31，乙的成績的平均值為24，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．乙的成績的中位數(shù)為 D．乙的成績的方差小于甲的成績的方差4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（

）A．1項 B．項 C．項 D．項5．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的周期為C．是的一個對稱中心 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增6．物理學(xué)家本·福特提出的定律：在b進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為.應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.若，則k的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．已知函數(shù)的圖象在兩個不同點處的切線相互平行，則的取值可以為（

）A． B．1 C．2 D．8．佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效.因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的由六個正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個六面體中，棱AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（

）

A．平行 B．相交 C．異面且垂直 D．異面且不垂直9．甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率為（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標系中，點，向量，且.若點的軌跡與雙曲線的漸近線相交于兩點和（點在軸上方），雙曲線右焦點為，則（

）A． B． C． D．11．如圖，射線與圓，當射線從開始在平面上按逆時針方向繞著原點勻速旋轉(zhuǎn)（，分別為和上的點，轉(zhuǎn)動角度不超過）時，它被圓截得的線段長度為，其導(dǎo)函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．12．若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.14．已知a是1，2的等差中項，b是1，

16的等比中項，則ab等于；15．已知函數(shù)的定義域為，對于任意實數(shù)均滿足，若，，則.16．某單位使用的圓臺形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑?下口直徑?母線的長度依次等于，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當水面恰好到達杯底（到達底面圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于.三、解答題（本題共6道小題，共70分）17．如圖，在四邊形中，已知點C關(guān)于直線BD的對稱點在直線AD上，，．

(1)求的值；(2)設(shè)AC=3，求．18．某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.(1)求的值;(2)若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，且是的極值點，證明：.20．已知平面與平面是空間中距離為1的兩平行平面，，，且，和的夾角為.（1）證明：四面體的體積為定值；（2）已知，且，，，，均在半徑為的球面上.當，與平面的夾角均為時，求.21．已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點為頂點的四邊形面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)我們稱圓心在橢圓上運動且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；(2)若將曲線上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標縮短為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值.[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)．解不等式；若a、，，，證明：．1．B【分析】根據(jù)交集的結(jié)果，以及子集的關(guān)系，確定集合中的元素，即可求解集合的個數(shù).【詳解】由可得：，，.又因為，所以或.故選：B2．C【分析】先將等價變形為，兩邊平方后得，且三點不共線，即可做出判斷.【詳解】“”等價于“”，所以，從而，在中，顯然三點不共線，即兩個向量不能方向相反，則是鈍角，則必要性成立，若是鈍角，則，則，則充分性成立，則“是鈍角”是“”的充要條件.故選：C．3．C【分析】結(jié)合莖葉圖的數(shù)據(jù)分布特點，以及統(tǒng)計數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差，依次分析選項，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，甲得分的極差為31，，解得：，A正確；對于B，乙的平均數(shù)為，解得，B正確；對于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)是26，C錯誤；對于D，甲的平均數(shù)，與乙的平均數(shù)相同，但根據(jù)莖葉圖可得乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：C．4．D【分析】分別計算出和的項數(shù)，進而作差即得結(jié)論．【詳解】因為，所以，共項，則共項，所以比共增加了項，故選：D5．B【分析】利用二倍角公式化簡可得，根據(jù)函數(shù)圖象逐項進行判斷即可得到答案．【詳解】由函數(shù)，由此可作出的函數(shù)圖象，如圖所示，對于A中，由，所以關(guān)于直線不對稱，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由函數(shù)圖象可知，不存在對稱中心，所以C錯誤；對于D中，因為，，，所以函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以D錯誤.故選：B.6．C【分析】結(jié)合條件及對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，而，故．故選：C．7．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范圍，即可判斷.【詳解】由，則，則，，依題意可得且、、，所以，所以，經(jīng)驗證，當、分別取、時滿足題意.故選：D8．B【分析】可將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個三棱錐拼接的六面體，它們共一個底面，即可判斷，的位置關(guān)系．【詳解】將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個三棱錐拼接的六面體，它們共一個底面，且兩點重合，所以與相交，故選：B【點睛】本題考查平面展開圖與其直觀圖的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．9．C【分析】設(shè)出甲、乙到達的時刻，列出所有基本事件的約束條件同時列出這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待約束條件，利用線性規(guī)劃作出平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式求出概率.【詳解】設(shè)甲船到達泊位的時間為，乙船到達泊位的時間為，則，這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待，則，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分，，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率為.故選：C10．D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求得點C的坐標，消參得其軌跡方程，然后與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立求得點P和Q的縱坐標，從而把面積比轉(zhuǎn)化為坐標絕對值比即可求解.【詳解】由于向量，點，所以，因為，所以點，則點的軌跡為，與雙曲線其中一條漸近線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，因此.故選：D11．C【分析】連接，設(shè)的中點為D，連接，確定，表示出，即可求得弦長的表達式，利用求導(dǎo)公式，即可得答案.【詳解】由圓可得，連接，設(shè)的中點為D，連接，則，由，可得，故，則，即，故選：C12．B【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合可行域可知當時，不成立，所以可以把化為，設(shè)，根據(jù)可行域求出的取值范圍；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等式求實數(shù)的取值范圍．【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，，，，可知當時，原式不成立，所以可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)可行域可知，，設(shè)，（），則，，因為，所以恒成立，則單調(diào)遞增，且，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，，，所以，所以，解得，故選：B.13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：.14．【分析】根據(jù)等差和等比中項的定義求，即可求解.【詳解】因為是的等差中項，所以，因為是，的等比中項，所以，，所以.故答案為：.15．【分析】通過賦值得到的值，之后猜想的表達式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，之后代入表達式即可求得答案.【詳解】令即可求出，令即可求出，，，結(jié)合，，，，可猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，由上述知成立.假設(shè)當時有，則當時，不妨設(shè)，.所以成立，所以.故答案為：.16．【分析】用平面截對接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線，本題水面到達杯底的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸，是圓臺的軸線，作于，記與的交點為的中點為，由實際情形知，點在圓臺的過軸線的中點且與軸線垂直的截面圓上，由垂徑定理知垂直平分，再求橢圓的離心率即可.【詳解】由教材章頭圖知識知道，用平面截對接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對于本題，如圖，水面到達杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸.是圓臺的軸線，作于，則，，記與的交點為的中點為，則，，，，由實際情形知，點在圓臺的過軸線的中點且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，，記橢圓的離心率為，長半軸長?短半軸長?半焦距為，則.故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)和已知條件可得‖，則，，再利用正弦定理可求得結(jié)果；（2）在中利用正弦定理可求出，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為C點關(guān)于直線BD的對稱點在直線AD上，所以DB平分，所以，因為，所以，BC=CD，所以‖，所以，因為，，所以，所以．（2）因為在中，由正弦定理得,所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，．18．(1)；(2)分布列見解析，；(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，即可求解；（2）首先確定高度在和的株數(shù)，再按照超幾何分布，即可求解；（3）根據(jù)獨立重復(fù)概率公式，以及條件概率公式，即可求解.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2.所以，，所以的分布列為：所以（3）從所有花卉中隨機抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.19．(1)答案見解析.(2)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)分析的符號，討論的單調(diào)性，即可求解.（2）先對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值的關(guān)系，得到，再結(jié)合要證不等式構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性與最值即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，當時，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由是的極值點，得，即，，而，則當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值.設(shè)，求導(dǎo)得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，所以.20．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）四面體補成一個斜三棱柱，這個斜三棱柱的體積為定值，則四面體的體積為定值.（2）首先判斷球心的位置，然后判斷出點的軌跡，然后求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）如圖，平移線段使得與重合，并將四面體補成一個斜三棱柱.則該斜棱柱的底面積，高，所以該斜棱柱的體積為定值.此斜棱柱恰好可以分為兩兩底面積相同，高相同的三個三棱錐.于是這三個三棱錐的體積都相等，都是斜棱柱的.所以四面體的體積為，是定值.（2）設(shè)球心是，并設(shè)與平面，平面的距離分別是，.由可知，在，的中垂面和，的中垂面的交線上.設(shè)的中點是，的中點是.則由勾股定理得.注意到，所以，，共線，且平面.因為，且，與平面的夾角均為，所以.而，，，，均在球上，所以在以為圓心，為直徑的圓上.所以.于是，，所以.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件可得即可得橢圓方程；（2）先設(shè)切線的方程為，切線的方程為，由題意得環(huán)繞圓方程，由直線與圓相切及同解方程可得是方程的兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合圓心在橢圓上得，由的范圍可得最終答案.【詳解】（1）由題意，得且，又，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）

設(shè)切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標準方程為