山西省太原市萬柏林區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

山西省太原市萬柏林區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)p、Q滿足條件：①p、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖像上；②p、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對“友好點(diǎn)對”（注：點(diǎn)對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點(diǎn)對”）．若函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有（

）對．

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略2.設(shè)，函數(shù)的圖象可能是參考答案：3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D4.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….記作數(shù)列{an}，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則

（

）A.2059

B.4108

C.2048

D.4095參考答案：B楊輝三角中前12行共有1+2+3+4+…+12＝78個(gè)數(shù)，其和為：20+21+22+…+211＝212﹣1＝4095；第13行共有2個(gè)位數(shù)，它們是1，12，其和為13，故＝4095+13＝4108.

5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=24，=18，則S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72參考答案：C【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，=24，=18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故選：C．6.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為(

) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6參考答案：B考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由已知中三視圖可得該幾何體為一個(gè)棱臺，根據(jù)已知分析各個(gè)面的形狀，求出面積后，相加可得該幾何體的表面積解答： 解：由已知中三視圖可得該幾何體為一個(gè)棱臺，下底面為邊長為2的正方形，面積為4；上底面為邊長為1的正方形，面積為1；左側(cè)面和后側(cè)面是上底為1，下底為2，高為1的梯形，每個(gè)面的面積為右側(cè)面和前側(cè)面是上底為1，下底為2，高為的梯形，每個(gè)面的面積為故該幾何體的表面積為4+1+2×+2×=8+3故選：B點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求表面積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀及棱長是解答的關(guān)鍵．7.若，則

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.在函數(shù)，，，中，奇函數(shù)是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B略9.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)b的值為(

)A.一1

B.一2

C.一3

D.1參考答案：10.已知函數(shù)f（x）=，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是(

)A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；充要條件．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】題中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解且必有一個(gè)根為0，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，當(dāng)f（x）等于何值時(shí)，它有四個(gè)根．從而得出關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解．【解答】解：∵題中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴即要求對應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，只有當(dāng)f（x）=0時(shí)，它有﹣個(gè)根．且f（x）=﹣b時(shí)有四個(gè)根，由圖得：﹣b＞2，∴b＜﹣2．充要條件是b＜﹣2且c=0，故選C．【點(diǎn)評】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(理科)已知直三棱柱的棱，，如圖3所示，則異面直線與所成的角是

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．參考答案：(理)，12.在區(qū)間（0，1）上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m，n，則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（m，n）對應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根”的點(diǎn)對應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：如下圖所示：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（圖中矩形所示）．其面積為1．構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)閧{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如圖陰影所示）．所以所求的概率為==．故答案為：．【點(diǎn)評】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=求解．13.若二次函數(shù)的圖象和直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①方程一定沒有實(shí)數(shù)根；②若a>0，則不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立；③若a<0，則必存存在實(shí)數(shù)x0，使；④若，則不等式對一切實(shí)數(shù)都成立；⑤函數(shù)的圖像與直線也一定沒有交點(diǎn)。其中正確的結(jié)論是

（寫出所有正確結(jié)論的編號）.參考答案：①②④⑤因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線沒有交點(diǎn)，所以或恒成立.①因?yàn)榛蚝愠闪?，所以沒有實(shí)數(shù)根；②若，則不等式對一切實(shí)數(shù)都成立；③若，則不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，所以不存在，使；④若，則，可得，因此不等式對一切實(shí)數(shù)都成立；⑤易見函數(shù)，與f(x)的圖像關(guān)于軸對稱，所以和直線也一定沒有交點(diǎn).14.(理)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則線段的最短長度為

．參考答案：15.若二項(xiàng)式展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為，則=．參考答案：【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)，得出a的值；再計(jì)算的值．【解答】解：∵二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x6﹣r?=（﹣a）r??，令6﹣r=2，解得r=3；∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為（﹣a）3?=，解得a=﹣；∴===．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問題以及極限的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．16.已知，，，。根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

；參考答案：，）17.在公比為2的等比數(shù)列{an}中，，則a1=．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，設(shè)命題：函數(shù)為減函數(shù)．命題：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍．參考答案：．試題分析：利用復(fù)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求命題P為真的c的范圍；先求f（x）的最小值，分析函數(shù)恒成立的條件，然后解出命題q為真命題的c的范圍；根據(jù)p或q為真命題，p且q為假命題，則P、q命題一真一假，求解．試題解析：解：由命題p為真知，0<c<1，由命題q為真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，

6分若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則p、q中必有一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，c的取值范圍是0<c≤；當(dāng)p假q真時(shí)，c的取值范圍是c≥1．綜上可知，c的取值范圍是．

12分．考點(diǎn)：1．復(fù)合命題的真假；2．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；3．指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．19.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x－3|（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≤|a－1|的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）不等式f（x）≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．

解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集為{x|﹣1≤x≤2}．

…………

………5分（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴，解此不等式得．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

…………

………10分20.如圖，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長與直線PQ相交于點(diǎn)Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求證：QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求弦AB的長．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：（Ⅰ）利用切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC，即可證明QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的長．解答： （Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴由切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，…又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC=9．…由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，…∴．…點(diǎn)評：本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動會將于2016年8月5日﹣21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行．下表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：枚）．

第30屆倫敦第29屆北京第28屆雅典第27屆悉尼第26屆亞特蘭大中國3851322816俄羅斯2423273226（Ⅰ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人競猜今年中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個(gè)獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個(gè)代表團(tuán)中選一個(gè)，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個(gè)代表團(tuán)的結(jié)果互不影響．現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團(tuán)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）作出兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值，俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散．（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散．…（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，設(shè)事件A、B、C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則P（X=0）=P（）P（）P（）=（1﹣）2（1﹣）=，P（X=1）==+（1﹣）2×=，P（X=2）==（）2（1﹣）+C（）（1﹣）（）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=（）2（）=，故X的分布列為：X0123P…EX==．…22.（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐的三