湖南省岳陽(yáng)市城南中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省岳陽(yáng)市城南中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù),是的共軛復(fù)數(shù),則等于(

)A.16

B.4

C.1

D.參考答案：C2.已知向量的形狀為

(

)A．直角三角形 B．等腰三角形

C．鈍角三角形

D．銳角三角形參考答案：C，所以為鈍角

答案C3.函數(shù)的圖象可能是下面的圖象(

)A. B. C. D.參考答案：C因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，排除A，B．當(dāng)時(shí)，，所以，排除D．選C．4.命題“對(duì)任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0D．對(duì)任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0參考答案：C略5.，復(fù)數(shù)=

(

) A. B. C. D.參考答案：A因?yàn)椋芍xA6.點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，我們要根據(jù)已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可求出答案．【解答】解：滿足條件的正方形ABCD，如圖示其中滿足動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的平面區(qū)域如圖中陰影所示：則正方形的面積S正方形=4陰影部分的面積S陰影=故動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率P=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．7.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且其圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cosωx的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于直線x=對(duì)稱 B．關(guān)于直線x=對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用正弦函數(shù)的周期性、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、誘導(dǎo)公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2．把其圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的圖象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=0，故A不滿足條件，而C滿足條件；令x=，求得函數(shù)f（x）=sin=，故B、D不滿足條件，故選：C．8.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則滿足條件的直線（

）（A）有且只有一條

（B）有兩條

（C）有無(wú)窮多條

（D）必不存在參考答案：B【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)圖形與幾何的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】圖形與幾何/曲線與方程/拋物線的標(biāo)準(zhǔn)的方程和幾何性質(zhì).【正確選項(xiàng)】C【試題分析】由已知得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)軸時(shí)，不符合題意，故直線的斜率為k,則，聯(lián)立，設(shè)，因?yàn)?，所以，故答案為B.9.如圖，在矩形OABC內(nèi)隨機(jī)撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為()A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)定積分的應(yīng)用，得到陰影部分的面積為，再由題意得到矩形的面積，最后由與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，陰影部分的面積為，又矩形的面積為，所以在矩形內(nèi)隨機(jī)撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型，以及定積分的應(yīng)用，熟記微積分基本定理以及幾何概型的概率計(jì)算公式即可，屬于常考題型.10.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，則集合P∩M中元素的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合．【分析】求出P中不等式的解集確定出P，找出P與M的交集，即可確定出交集中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：由P中不等式變形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M(jìn)={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，則集合P∩M中元素的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.公差為1的等差數(shù)列滿足，則的值等于

。參考答案：1812.觀察下圖：則第________行的各數(shù)之和等于20132參考答案：、1007略13.已知函數(shù)f（x）=2lnx+bx，直線y=2x﹣2與曲線y=f（x）相切，則b=

．參考答案：0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入曲線和直線方程，由縱坐標(biāo)相等得一關(guān)系式，再由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率得另一關(guān)系式，聯(lián)立后求得b的值．【解答】解：設(shè)點(diǎn)（x0，y0）為直線y=2x﹣2與曲線y=f（x）的切點(diǎn)，則有2lnx0+bx0=2x0﹣2

（*）∵f′（x）=+b，∴+b=2（**）聯(lián)立（*）（**）兩式，解得b=0．故答案為：0．14.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的面積為

參考答案：215.我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中．如圖，點(diǎn)F0,F1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2，分別是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)． （I）若△F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則“果圓”的方程為

;（II）當(dāng)|A1A2|>|B1B2|時(shí)，的取值范圍是

. 參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）16.若復(fù)數(shù)z=1+2i，其中i是虛數(shù)單位，則=___________.參考答案：617.某班級(jí)54名學(xué)生第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?，其均值和?biāo)準(zhǔn)差分別為90分和4分，若第二次考試每位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都增加5分，則這54位學(xué)生第二次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的和為

分參考答案：99三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底，）．求的解析式；設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，且，恒成立；是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考公式：（））參考答案：（1）設(shè)，則，所以又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以故函數(shù)的解析式為

…2分（2）證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

…4分

又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以

…5分所以當(dāng)時(shí)，即

…6分（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，因?yàn)?/p>

…7分（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是３

…8分（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是３

…9分（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù)是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）…10分（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得

…12分綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３……………13分19.（12分）已知函數(shù)。（I）若函數(shù)在處有極值-6，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若的導(dǎo)數(shù)對(duì)都有求的范圍。參考答案：解析：（I）

依題意有

………2分

即

解得

…………4分

由，得

的單調(diào)遞減區(qū)間是

………6分

（Ⅱ）由

得

………8分

不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：

由

得

………8分

不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：

由

得

點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）．

………………10分

設(shè)則表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（）與點(diǎn)

連線斜率。

由圖可知或，

即……………12分20.甲、乙、丙三位學(xué)生各自獨(dú)立地解同一道題，已知甲做對(duì)該題的概率為，乙、丙做對(duì)該題的概率分別為，且三位學(xué)生能否做對(duì)相互獨(dú)立，設(shè)X為這三位學(xué)生中做對(duì)該題的人數(shù)，其分布列為：X0123Pab

（1）求m，n的值；（2）求X的數(shù)學(xué)期望．參考答案：解（1）由題意，得

又，解得，（2）由題意，

21.在斜三棱柱中，，，又頂點(diǎn)在底面上的射影落在上，側(cè)棱與底面成角，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）如果二面角為直二面角，試求側(cè)棱與側(cè)面的距離.參考答案：⑴……4分

(2)為二面角的平面角，故，又為與底面所成的角，從而，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，由于，則，類(lèi)似地.在中，，即.

……………………8分這樣為等邊三角形，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.易知，故，設(shè)面的法向量為，則，可取，又，，故點(diǎn)到側(cè)面的距離為，而側(cè)面，故與側(cè)面的距離為.…12分（本小題也可利