陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

-2024學(xué)年陜西省安康市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，則（?RB）∩A＝（）A．{1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{1，2}2．（5分）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A．36種 B．72種 C．144種 D．720種3．（5分）在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為．事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．4．（5分）焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為4：1，焦距為的橢圓方程為（）A． B． C． D．5．（5分）曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是（）A．x+y+1＝0 B．2ex+y＝0 C．3x+y+1＝0 D．2ex+y+1＝06．（5分）對(duì)A，B兩地國(guó)企員工的上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國(guó)企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），X～N（2，4），對(duì)應(yīng)的曲線為C1，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），Y～N（3，），對(duì)應(yīng)的曲線為C2，則下列圖象正確的是（）A． B． C． D．7．（5分）已知，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．8．（5分）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若數(shù)列{bn}滿足＝Tn，則數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和為（）A．﹣175 B．﹣180 C．﹣185 D．﹣190二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A．該展開式中共有6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1 C．常數(shù)項(xiàng)為﹣60 D．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大（多選）10．（6分）設(shè)圓C：（x﹣1）2+y2＝4，直線l：y＝kx+1（k∈R），則下列結(jié)論正確的為（）A．C的半徑為2 B．l恒過定點(diǎn)（0，1） C．l可能與C相切 D．當(dāng)k＝1時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短（多選）11．（6分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是（）A．過點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 B．存在點(diǎn)F，使得DF⊥平面A1EC1 C．若D1F∥平面A1EC1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)三棱錐F﹣A1EC1的體積最大時(shí)，三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為11π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知隨機(jī)變量，則D（X）＝．13．（5分）已知雙曲線C：的實(shí)軸長(zhǎng)為4，其右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．（1）求c的值；（2）若a＝2，求△ABC的面積．16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；（2）為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于[80，90）的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．（15分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線E：的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）斜率為1且縱截距為﹣2的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PC；（2）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，點(diǎn)N在棱PC上（異于點(diǎn)P，C），且ON＝OA，求直線AN與平面ACM所成角的余弦值．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xex+1．（1）求f（x）的極值；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案與試題解析一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，則（?RB）∩A＝（）A．{1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{1，2}【解答】解：∵?RB＝{x|x＜1}，∴（?RB）∩A＝{﹣1，0}．故選：B．2．（5分）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A．36種 B．72種 C．144種 D．720種【解答】解：分兩步，①先排甲、乙、丙三人看作整體，不同排法共有＝6種，②將甲、乙、丙三人這個(gè)整體與其余三人排列，不同排法共有＝24種，∴不同排法共有6×24＝144種．故選：C．3．（5分）在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為．事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．【解答】解：在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為，事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則P（A）＝，P（AB）＝，∴P（B|A）＝＝＝．故選：C．4．（5分）焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為4：1，焦距為的橢圓方程為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得，，又c2＝a2﹣b2，解得b＝1，a＝4，故橢圓方程為．故選：D．5．（5分）曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是（）A．x+y+1＝0 B．2ex+y＝0 C．3x+y+1＝0 D．2ex+y+1＝0【解答】解：f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex（x2﹣3），∴f′（1）＝e（1﹣3）＝﹣2e，又f（1）＝﹣2e，∴曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+2e＝﹣2e（x﹣1），即2ex+y＝0，故選：B．6．（5分）對(duì)A，B兩地國(guó)企員工的上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國(guó)企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），X～N（2，4），對(duì)應(yīng)的曲線為C1，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），Y～N（3，），對(duì)應(yīng)的曲線為C2，則下列圖象正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：由μX＝2＜μY＝3，故曲線C1的對(duì)稱軸在曲線C2的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線C2比曲線C1瘦高，曲線C1比曲線C2矮胖，排除A．故選：B．7．（5分）已知，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：，所以，解得，即＞0，所以，故：＝，cos2α＝（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝，sin（2α）＝＝．故選：D．8．（5分）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若數(shù)列{bn}滿足＝Tn，則數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)和為（）A．﹣175 B．﹣180 C．﹣185 D．﹣190【解答】解：由an+1＝Tn﹣1，得an+1+1＝Tn，所以an+1＝Tn﹣1（n≥2），兩式相除可得，整理得，即，可得，?，，，累加得＝an+1﹣a2+n﹣1，由，an+1＝Tn﹣1，可得．所以，結(jié)合＝Tn，可得，所以，n≥2，而且也符合上式，可得對(duì)任意正整數(shù)n成立．因此，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差d＝﹣1，可知{bn}的前20項(xiàng)和為＝﹣185．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A．該展開式中共有6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1 C．常數(shù)項(xiàng)為﹣60 D．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【解答】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，即有2n＝64，所以n＝6，則該展開式中共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；令x＝1，得該展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B正確；通項(xiàng)，令，得r＝4，，C錯(cuò)誤；二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，它是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，D正確．故選：BD．（多選）10．（6分）設(shè)圓C：（x﹣1）2+y2＝4，直線l：y＝kx+1（k∈R），則下列結(jié)論正確的為（）A．C的半徑為2 B．l恒過定點(diǎn)（0，1） C．l可能與C相切 D．當(dāng)k＝1時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短【解答】解：由圓C：（x﹣1）2+y2＝4，得圓心為C（1，0），半徑為r＝2，故A正確；直線l：y＝kx+1（k∈R）恒過定點(diǎn)P（0，1），故B正確；由（0﹣1）2+12＝2＜2，故定點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)，故直線與圓C相交，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又kpc＝＝﹣1，所以k＝1，故D正確．故選：ABD．（多選）11．（6分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是（）A．過點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 B．存在點(diǎn)F，使得DF⊥平面A1EC1 C．若D1F∥平面A1EC1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)三棱錐F﹣A1EC1的體積最大時(shí)，三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為11π【解答】解：A選項(xiàng)，如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，A1G，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以A1C1∥GE，A1C1＝2GE，所以過點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體所得的截面為梯形A1C1EG，其周長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)F，使得DF⊥平面A1EC1，則DF⊥A1C1，得F只能在線段BD上，再由DF⊥C1E，得F只能在線段CD上，即F與D重合，不符合題意，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖，取AD的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接MD1，MN，ND1，可得MD1∥C1E，MN∥A1C1，又MD1?平面A1EC1，MN?平面A1EC1，C1E?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1，所以MD1∥平面A1EC1，MN∥平面A1EC1，又MD1∩MN＝M，所以平面D1MN∥平面A1EC1，所以動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為線段MN，其長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由A，C選項(xiàng)可得，平面A1GEC1∥平面D1MN，所以當(dāng)F在點(diǎn)D時(shí)，F(xiàn)到平面A1EC1的距離最大，此時(shí)△FA1C1為等邊三角形，因?yàn)锽D1⊥平面FA1C1，所以三棱錐F﹣A1EC1的外接球球心O1一定在直線BD1上，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，1，0），D（2，2，0），設(shè)O1（x，x，x），由O1E＝O1D得，（x﹣2）2+x2，解得，所以，所以三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知隨機(jī)變量，則D（X）＝．【解答】解：∵隨機(jī)變量，∴D（X）＝5×＝．故答案為：．13．（5分）已知雙曲線C：的實(shí)軸長(zhǎng)為4，其右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【解答】解：因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)2a＝4，所以a＝2，右焦點(diǎn)F（c，0），由對(duì)稱性，不妨取漸近線為，即bx﹣ay＝0，點(diǎn)F（c，0）到漸近線的距離，所以b＝，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．【解答】解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝lnx﹣2ax+1，令g（x）＝lnx﹣2ax+1，由題意得g（x）＝0在（0，+∞）上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又g′（x）＝，當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）＝0不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a＞0時(shí)，可得g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，又x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，由題意g（）＝﹣ln2a＞0，故0＜a＜，∴實(shí)數(shù)a的范圍是（0，）．故答案為：（0，）．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．（1）求c的值；（2）若a＝2，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵4asinB＝3csinA，∴4ab＝3ac，則4b＝3c．又b＝3，所以c＝4．（2）∵a＝2，∴，則，故△ABC的面積．16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；（2）為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于[80，90）的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）由已知，這100名游客評(píng)分的平均值＝（55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005）×10＝74；（2）由題意知，滿意度評(píng)分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客人數(shù)比為1：2：2，所以抽取的10人中該三組人數(shù)分別為2，4，4，隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，且P（ξ＝0）＝＝；P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝，ξ的分布列為：ξ0123pE（ξ）＝＝．17．（15分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線E：的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）斜率為1且縱截距為﹣2的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．【解答】解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為，所以，解得b2＝1，又a2＝3，所以c2＝3+1＝4，解得c＝2，則雙曲線E的右焦點(diǎn)為（2，0），因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)與雙曲線E的右焦點(diǎn)重合，所以，解得p＝4，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為y2＝8x，．（2）易知直線l的方程為y＝x﹣2，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)（2，0），聯(lián)立，消去y并整理得x2﹣12x+4＝0，此時(shí)Δ＝122﹣4×4＝128＞0，由韋達(dá)定理得x1+x2＝12，所以|AB|＝p+x1+x2＝4+12＝16，又點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，故△AOB的面積為．18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PC；（2）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，點(diǎn)N在棱PC上（異于點(diǎn)P，C），且ON＝OA，求直線AN與平面ACM所成角的余弦值．【解答】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，∵PA＝AD，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD，又PD∩CD＝