第2章 特殊三角形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第2章特殊三角形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABD≌Rt△CDB，則∠ADB+∠C=（）A．70° B．80° C．90° D．無法確定【答案】C【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求得∠C=∠A，，然后利用直角三角形的性質(zhì)求得答案即可．【詳解】解：∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠C=∠A，∴∠ADB+∠C=∠ADB+∠A=90°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．2．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）等腰三角形的底角為50°，則它的頂角度數(shù)是（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°【答案】D【分析】等腰三角形一內(nèi)角為50°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．【詳解】解：當(dāng)50°角為頂角，頂角度數(shù)為50°；當(dāng)50°為底角時(shí)，頂角=180°-2×50°=80°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（

）A．有一個(gè)內(nèi)角小于60° B．有一個(gè)內(nèi)角大于60°C．每一個(gè)內(nèi)角都小于60° D．每一個(gè)內(nèi)角都大于60°【答案】D【分析】假設(shè)一個(gè)與原命題相反的例子即可證明；【詳解】解：用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都大于60°；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查用反證法證明命題，掌握命題的概念及反證法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若△ABC與關(guān)于直線MN對(duì)稱，交MN于點(diǎn)O，則下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意可知這兩個(gè)三角形關(guān)于直線MN對(duì)稱，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∵△ABC和△A1B1C1關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴AC=A1C1，MN⊥BB1，MN⊥CC1，∴A，B，C正確；∵不能判斷AB和B1C1的位置關(guān)系，∴D不正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段．5．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）已知中，，，，則的周長等于（

）A．11 B． C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出BC即可求解?！驹斀狻拷猓骸撸?，，∴∴的周長=AC+BC+AB=4+3+5=12.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）下列圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解即可．【詳解】A.不是軸對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B.不是軸對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C.不是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D.是軸對(duì)稱圖形，故D正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．7．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）若等腰三角形中有兩邊長分別為4和5，則這個(gè)三角形的周長為（）A．13 B．12 C．12或13 D．13或14【答案】D【分析】分類討論：①當(dāng)長度為4的邊為腰時(shí)和②當(dāng)長度為5的邊為腰時(shí)，分別根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定都符合題意，再由三角形周長公式計(jì)算即可．【詳解】分類討論：①當(dāng)長度為4的邊為腰時(shí)，此時(shí)該三角形三邊分別為：4、4、5，且符合三角形三邊關(guān)系，∴此時(shí)這個(gè)三角形的周長為4+4+5=13；②當(dāng)長度為5的邊為腰時(shí)，此時(shí)該三角形三邊分別為：4、5、5，且符合三角形三邊關(guān)系，∴此時(shí)這個(gè)三角形的周長為4+5+5=14；綜上可知這個(gè)三角形的周長為13或14．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．8．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）下列各組數(shù)，為直角三角形三邊長的是（

）A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．4，6，8【答案】B【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可判定．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．9．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，∠A＝50°，∠＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出△ABC≌△，從而得出∠C＝∠＝30°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】解：∵△ABC和△關(guān)于直線l對(duì)稱，∠A＝50°，∠＝30°，∴△ABC≌△，∴∠C＝∠＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出∠B的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，玩具車從A點(diǎn)出發(fā)，向西走了a米，到達(dá)B點(diǎn)，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，前進(jìn)b米，到達(dá)C點(diǎn)，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，前進(jìn)c米，到達(dá)D點(diǎn)，D點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的正北方向，則a、b、c之間的關(guān)系為（

）A．a(chǎn)＋c＝b B．2a＝b＋c C．4c＝a＋b D．a(chǎn)＝b－c【答案】B【分析】連接AD，延長CD，BA交于E點(diǎn)，則AD⊥AB，可證明△BCE為等邊三角形可得BE=CE=AC=b，即可求得∠ADE=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE=2AE，進(jìn)而可得2（b-a）+c=b，化簡即可求解．【詳解】解：連接AD，延長CD，BA交于E點(diǎn)，則AD⊥AB，由題意得：∠ABC=∠BCD=180°-120°=60°，∴∠BEC=∠ABC=∠BCD=60°，∴△BCE為等邊三角形，∴BE=CE=BC=b，∵AD⊥AB，∴∠EAD=90°，∴∠ADE=90°-∠E=30°，∴DE=2AE，∵CD=c，AB=a，∴2（b-a）+c=b，即2a=b+c．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），下列說法正確說法正確的是（

）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，則AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，則AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，則∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，則∠BAC＝90°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判定可求解．【詳解】解：A．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，∵∠BAP=∠B，∴∠CAP=∠C，∴AP=PC，只有當(dāng)∠B=30°時(shí)，AC=PC，故錯(cuò)誤；B．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=90°，∵∠BAP=∠C，∴∠C+∠CAP=90°，∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，即AP⊥BC，故正確；C．∵AP⊥BC，PB=PC，∴AP垂直平分BC，而∠BAC不一定等于90°，故錯(cuò)誤；D．根據(jù)PB=PC，∠BAP=∠CAP，無法證明∠BAC=90°，故錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得點(diǎn)A，B都與斜邊AB上的點(diǎn)F重合，折痕分別為DE和GH，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得△ADE≌△FDE，△BHG≌△FHG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：△ADE≌△FDE，△BHG≌△FHG，∴AD=FD=AF，BH=FH=BF，∠ADE=∠FDE=90°，∠BHG=∠FHG=90°，∠A=∠DFE，∠B=∠HFG，∴DH=FD+FH=(AF+BF)=AB，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵△ABC是直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴∠EFG=180°-(∠DFE+∠HFG)=180°-(∠A+∠B)=90°，即EF⊥FG，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵∠FDE=90°，∠FHG=90°，∴DE∥GH，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；EF與FG不一定相等，故選項(xiàng)B不正確，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則AC=____

．【答案】4【分析】由題意，根據(jù)勾股定理即可得．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，根據(jù)勾股定理得，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．14．（2022··八年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，則AC=_________米．【答案】【分析】首先根據(jù)BC，AC的比設(shè)出BC，AC，然后利用勾股定理列式計(jì)算求得a，即可求解．【詳解】解：∵AC∶BC=1∶7，∴設(shè)AC=a，則BC=7a，∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴1002=a2+(7a)2，解得：a=10，∴AC=10米．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期末）如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至B，已知，則這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了_______米．【答案】50【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BD于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BD于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：∠B=30°，∵AD⊥BD，，∴米，即這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了50米．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，ABC中，，CD是AB邊上的中線，且，則AB的長為______．【答案】8【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】解：∵∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．（2022··八年級(jí)期末）請(qǐng)寫出“兩直線平行，同位角相等”的逆命題：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么兩直線平行【分析】命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的，把原命題的題設(shè)作結(jié)論，原命題的結(jié)論作題設(shè)，這樣就將原命題變成了它的逆命題．【詳解】解：原命題是：兩直線平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式為：如果兩直線平行，那么同位角相等．∴逆命題為：如果同位角相等，那么兩直線平行，故答案為：如果同位角相等，那么兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題是一道命題與定理的概念試題，考查了命題的組成，原命題與逆命題的關(guān)系．18．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如果等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角大30，那么它的頂角是_____度【答案】80°或40°【分析】根據(jù)已知條件，先設(shè)出三角形的兩個(gè)角，然后進(jìn)行討論，即可得出頂角的度數(shù)．【詳解】①較大的角為頂角，設(shè)這個(gè)角為x，則：x＋2（x?30）＝180x＝80；②較大的角為底角，設(shè)頂角為y°，則：y＋2（y＋30）＝180y＝40，故填：80°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．19．（2022··八年級(jí)期末）如圖，一太陽能熱水器支架（RtACB）兩直角邊AC=1.2米，CB=1.6米，點(diǎn)D為受光面斜邊AB的中點(diǎn)，則連桿CD的長為______米．【答案】1【分析】先由勾股定理求出AB長，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：在RtACB中，由勾股定理，得AB=(米)，∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=AB==1(米)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．20．（2022·浙江·溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，其坡比（BC與AC的長度之比）為1：2，則AB的長為_____米．【答案】【分析】根據(jù)題意得出AC=4，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵BC與AC的長度之比為1：2，BC=2，∴AC=4，根據(jù)題意得?ABC為直角三角形，∴AB=，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．三、解答題21．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，一架梯子AB長5m，斜靠在一面豎直的墻上．若要使梯子頂端離地面的豎直高度AC為4.8m，求此時(shí)梯子底端離墻的距離BC．【答案】此時(shí)梯子底端離墻的距離為1.4m．【分析】利用勾股定理解答即可．【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，∴答：此時(shí)梯子底端離墻的距離為1.4m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2；即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．22．（2022·浙江·臨海市書生實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知AB＝AC，CE⊥AB，BF⊥AC．求證：BF＝CE．【分析】利用“等邊對(duì)等角”得到相等的角，再利用AAS證全等，利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BEC＝∠CFB＝90°，在△BEC和△CFB中，∴△BEC≌△CFB（AAS），∴BF＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段相等．23．（2022·浙江省金華市永康中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)挌中的每個(gè)小正方形邊長都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下面要求畫圖：(1)在圖甲中，畫出一個(gè)平行四邊形，使其面積為6；(2)在圖乙中，畫出一個(gè)平行四邊形，使其兩邊長為和．【分析】（1）畫一個(gè)底為3，高為2的平行四邊形或畫一個(gè)底為2，高為3的平行四邊形即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出平行四邊形即可．（1）解：平行四邊形ABCD即為所求，如圖所示：（答案不唯一，畫出其中一種即可）（2）解：平行四邊形ABCD即為所求，如圖所示．（答案不唯一，畫出其中一種即可）【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，二次根式的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，BC=CD=2，AD=3，∠B=90°，E是AD中點(diǎn)，連接CE，(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)AC=；(2)CE=【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC即可；（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案即可．（1）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=1，∴，∴AC=(負(fù)值已舍)；（2）解：∵△ACD中，AC=，CD=2，AD=3，∴=5+4=9，=9，∴，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∵E是AD中點(diǎn)，∴CE=AD=．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，注意：①如果一個(gè)三角形的兩條邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，②直角三角形的兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．25．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在BC上，延長BA至F使AF＝AB，連接EF；延長CA至G使AG＝AC，連接DG，當(dāng)∠G＝∠F時(shí)，猜想線段BD與線段CE的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】BD＝CE，理由見解析．【分析】證明△BEF≌△CDG（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出BE＝CD，則可得出結(jié)論．【詳解】解：BD＝CE．理由如下：∵AF＝AB，AG＝AC，AB＝AC，∴AF＝AG，∴AB+AF＝AC+AG，∴BF＝CG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠G＝∠F，∴△BEF≌△CDG（ASA），∴BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，∴BD＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BEF≌△CDG是解題的關(guān)鍵．26．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．(1)求出BF的長度；(2)求∠CAD的度數(shù)；(3)連接EC，線段EC與直線MN有什么關(guān)系？【答案】(1)BF＝3cm(2)∠CAD＝18°(3)直線MN垂直平分線段EC【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出BC＝ED＝4cm，再根據(jù)FC＝1cm，求出BF的長度即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根據(jù)∠EAC＝58°求出結(jié)果即可；（3）直接根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出答案．（1）解：∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC﹣FC＝3cm．（2）解：∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直線MN垂直平分線段EC．理由如下：如圖，∵E，C關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴直線MN垂直平分線段EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．27．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）已知中，(1)在4×4的網(wǎng)格中畫出，使它的頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上（每個(gè)小方格的邊長為1）．(2)在（1）中的網(wǎng)格里找一點(diǎn)D（在方格的頂點(diǎn)上使得的面積與的面積相等（只需畫出一個(gè)）【分析】（1）利用勾股定理及數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；（2）利用三角形同底等高模型解決問題，答案不唯一．（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求（答案不唯一，圖中黑點(diǎn)都可以）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．28．（2022·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，且點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，連接AN．(1)若，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；(2)若，，且的周長為24．求的周長．【答案】(1)(2)14【分析】（1）由∠C＝90°，可得α＋∠NAB＋∠B＝90°，根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，可知∠NAB＝∠B，即得α＋2∠B＝90°；（2）由△ABC的周長為24，BC＝AC，AB＝AC，可得AC＝6，即可得△ACN的周長＝AC＋CN＋AN＝AC＋BC＝14．（1）解：∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，即α＋∠NAB＋∠B＝90°，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴∠NAB＝∠B，∴α＋2∠B＝90°；故答案為：α＋2∠B＝90°；（2）∵△ABC的周長為24，∴AC＋BC＋AB＝24，∵BC＝AC，AB＝AC，∴AC＋AC＋AC＝24，解得AC＝6，∴BC＝8，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴AN＝BN，∴△ACN的周長＝AC＋CN＋AN＝AC＋CN＋BN＝AC＋BC＝6＋8＝14．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．【典型】一、單選題1．（2022·浙江·佛堂鎮(zhèn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，圖①是一個(gè)四邊形紙條ABCD，其中AB∥CD，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的兩個(gè)點(diǎn)，將紙條ABCD沿EF折疊得到圖②，再將圖②沿DF折疊得到圖③，若在圖③中，∠FEM=26°，則∠EFC的度數(shù)為（

）A．52° B．64° C．102° D．128°【答案】C【分析】先由折疊得：∠BEF=2∠FEM=52°，由平行線的性質(zhì)得∠EFM=26°，如圖③中，根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)得，∠MFC=128°，根據(jù)角的差可得結(jié)論．【詳解】如圖①，由折疊得：∠BEF=2×26°=52°，如圖②，∵AE∥DF，∴∠EFM=26°，∠BMF=∠DME=52°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF=180°，∴∠CFM=180°-52°=128°，由折疊得：如圖③，∠MFC=128°，∴∠EFC=∠MFC-∠EFM=128°-26°=102°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行線和翻折變換的性質(zhì)得出相等的角是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022·浙江·杭州錦繡·育才中學(xué)附屬學(xué)校一模）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．【答案】5【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：＝15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．故答案為5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是第一象限角平分線上的一點(diǎn)，且P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．把一塊三角板的直角頂點(diǎn)固定在點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中設(shè)一直角邊與x軸交于點(diǎn)E，另一直角邊與y軸交于點(diǎn)F，若△POE為等腰三角形，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為_____．【答案】（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分情況討論：①PE=OE；②OP=PE；③OP=OE．【詳解】解：△POE是等腰三角形的條件是：OP、PE、EO其中兩段相等，P（3，3），那么有：①當(dāng)PE=OE時(shí)，PE⊥OC，則PF⊥y軸，則F的坐標(biāo)是（0，3）；②當(dāng)OP=PE時(shí)，∠OPE=90°，則F點(diǎn)就是（0，0）；③當(dāng)OP=OE時(shí)，則OF=6±3F的坐標(biāo)是：（0，6-3）或（0，6+3）．【點(diǎn)睛】本題考查綜合應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰三角形的判定等知識(shí)進(jìn)行推理論證、運(yùn)算及探究的能力．【易錯(cuò)】一．選擇題（共3小題）1．（2022春?北侖區(qū)期末）用反證法證明“α≥90°”應(yīng)先假設(shè)（）A．α≤90° B．α＜90° C．α＞90° D．α≠90°【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【解答】解：用反證法證明“α≥90°”應(yīng)先假設(shè)α＜90°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2．（2022?溫州模擬）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝a，AB＝b（a＜b）．如圖所示作矩形HFPQ，延長CB交HF于點(diǎn)G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則為（）A． B． C． D．【分析】過A作AQ⊥BC，根據(jù)等面積法得AQ＝，設(shè)BC＝c，得c2＝a2+b2，再證△MGB≌△BQA（AAS），再根據(jù)正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，得c2＝3ab，再根據(jù)c2＝a2+b2，得a2+b2﹣3ab＝0，根據(jù)求根公式得出a＝b，a＜b，從而求出的比值．【解答】解：過A作AQ⊥BC，∴AQ＝，設(shè)BC＝c，∴c2＝a2+b2，∴S正方形BEDC＝c2，∵M(jìn)B＝AB＝b，∠MBA＝∠BQA＝∠MGB＝90°，∴∠MBG+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAQ＝90°，∴∠ABC＝∠BMG，∴△MGB≌△BQA（AAS），∴BG＝AQ＝，∴S矩形BGFE＝c＝ab，∵正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，∴c2＝3ab，∵c2＝a2+b2，∴a2+b2＝3ab，∴a2+b2﹣3ab＝0，∴a＝b，∵a＜b，∴＝；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，熟練應(yīng)用勾股定理及全等三角形的證明是解題關(guān)鍵．3．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖圖形是以科學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形進(jìn)行分析即可．【解答】解：左起第一、三兩個(gè)圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，第二、四兩個(gè)圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，正確掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．解答題（共1小題）4．（2022?鹿城區(qū)二模）在Rt△ABC中，AB＝，BC＝，過點(diǎn)C作CG∥AB，CF平分∠ACD交射線BA于點(diǎn)F，D是射線CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD交CF于點(diǎn)E．（1）求CF的長．（2）當(dāng)△ACE是等腰三角形時(shí)，求CD的長．（3）當(dāng)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B'落在CF上時(shí)，求的值．【分析】（1）先用勾股定理求出AC＝5，再根據(jù)CF平分∠ACD，CG∥AB，推出∠F＝∠ACF，進(jìn)而求出CF的長；（2）分情況討論①當(dāng)∠ECA＝∠AEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，證明△ACE∽△CFA，推出比例線段，求出CE的長，根據(jù)CG∥AB，證明△DCE∽△AFE，推出比例線段，求CD的長；②當(dāng)∠CAE＝∠AEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，如圖所示：做題思路與第一種情況差不多；③∠CEA＞∠CFA，∠F＝∠ACF，推出∠CEA＞∠ACE，推出∠CEA≠∠ACE．（3）作DM⊥BA，垂足為M，作B′N⊥BF，垂足為N，證明四邊形CBMD是矩形，根據(jù)三角函數(shù)求出線段比值，tan∠F＝＝，再證明△ADM∽△B′BN，進(jìn)而求出的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，BC＝，∴AC＝5，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF，∵CG∥AB，∴∠F＝∠DCF，∴∠F＝∠ACF，∴AC＝AF＝5，∴BF＝AB+AF＝8，在Rt△BCF中，CF＝＝20，（2）①當(dāng)∠ECA＝∠AEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，∴∠CAE＝∠AEC＝∠F＝∠DCF，∴△ACE∽△CFA，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴EF＝CF﹣CE＝，∵CG∥AB，∴△DCE∽△AFE，∴＝，∴CD＝；②當(dāng)∠CAE＝∠AEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，如圖所示：∴AC＝CE＝5，∴EF＝CF+CE＝20﹣5，∵＝，∴CD＝，③∵∠CEA＞∠CFA，∠F＝∠ACF，∴∠CEA＞∠ACE，∴∠CEA≠∠ACE，綜上所述：CD的長為或；（3）作DM⊥BA，垂足為M，作B′N⊥BF，垂足為N，∴∠DMB＝∠DMA＝90°，∠B′NB＝90°，∵CG∥AB，∠B＝90°，∴∠CDM＝∠DMA＝90°，∴四邊形CBMD是矩形，∴DM＝CB＝4，∵B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為B'，∴BB′⊥AD，AB＝AB′＝3，∵tanF＝＝＝，∴tanF＝＝，∴FN＝2B′N，設(shè)B′N＝x，則FN＝2x，∴AN＝AF﹣FN＝5﹣2x，∵AN2+NB′2＝AB′2，∴+x2＝，解得x＝2+2或x＝﹣2+2，當(dāng)x＝﹣2+2時(shí)，AN＝﹣4＜0，（舍去），∴B′N＝2+2，∴AN＝4+，∴BN＝AB+AN＝4+4，∵∠B′BA+∠BAN＝∠BAN+ADM＝90°，∴∠B′BA＝∠ADM，∴△ADM∽△B′BN，∴＝，∴＝，∴AM＝35，∴BM＝CD＝AB﹣AM＝5，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握這四種性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線，分情況討論是解題關(guān)鍵．【壓軸】一、解答題1．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長．【答案】(1)8(2)①；②或或【分析】（1）如圖，過作于再求解再利用勾股定理求解高線長即可；（2）①如圖，連接利用等腰三角形的三線合一證明求解可得證明從而可得答案；②分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，再利用等面積法與勾股定理結(jié)合可得答案；當(dāng)于時(shí)，利用角平分線的性質(zhì)及面積比可得答案；當(dāng)時(shí)，如圖，則證明再利用勾股定理可得答案.(1)解：如圖，過作于AB＝AC＝10，BC＝12，所以BC邊上的高線長為(2)解：①如圖，連接為的中點(diǎn)，由（1）得：則②當(dāng)時(shí)，由對(duì)折可得：過作于連接過作于過作于由①得：則設(shè)則由而解得：當(dāng)于時(shí)，則過作于由對(duì)折可得當(dāng)時(shí)，如圖，則由對(duì)折可得而則而結(jié)合對(duì)折可得：過作于同理可得：綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，BE的長為或或.【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，清晰的分類討論，等面積法是應(yīng)用等都是解本題的關(guān)鍵.2．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）（1）如圖①，在中，D為外一點(diǎn)，若AC平分，于點(diǎn)E，，求證：；琮琮同學(xué)：我的思路是在AB上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)CF，先證明≌得到，再證明，從而得出結(jié)論；宸宸同學(xué)：我覺得也可以過點(diǎn)C作邊AD的高線CG，由角平分線的性質(zhì)得出，再證明≌，從而得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)兩位同學(xué)的思路選擇一種寫出證明過程．（2）如圖②，D、E、F分別是等邊的邊BC、AB，AC上的點(diǎn)，AD平分，且．求證：．【分析】（1）琮琮同學(xué)：在AB上取一點(diǎn)F，使得AD=AF，連結(jié)CF，先證明△ADC≌△AFC得到DC=FC，再證明CB=CF，從而得出結(jié)論；宸宸同學(xué)：過點(diǎn)C作邊AD的高線CG，由角平分線的性質(zhì)得出CG=CE，再證明△GDC≌△EBC，從而得出結(jié)論；（2）在DE上截取DH=DF，連接AH，由“SAS”可證△ADF≌△ADH，可得AH=AF，∠AFD=∠AHD，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AH=AF，可得結(jié)論．【詳解】解：證明：琮琮同學(xué)：如圖①a，在AB上取點(diǎn)F，使AF=AD，連接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠FAC，在△ADC和△AFC中，，∴△ADC≌△AFC（SAS），∴DC=FC，∠CDA=∠CFA，又∵∠B+∠ADC=180°，∠CFE+∠AFC=180°，∴∠B=∠CFE，∴CB=CF，又∵DC=FC，∴CB=DC．宸宸同學(xué)：如圖①b，過點(diǎn)CG⊥AD交AD的延長線于G．∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，∴CG=CE，∵∠B+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，∴∠CDG=∠B，在△CGD和△CEB中，，∴△CGD≌△CEB（AAS），∴CB=CD；（2）如圖②，在DE上截取DH=DF，連接AH，∵AD平分∠EDF，∴∠EDA=∠HDA，在△ADF和△ADH中，，∴△ADF≌△ADH（SAS），∴AH=AF，∠AFD=∠AHD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°，又∵∠AHD+∠AHE=180°，∴∠AHE=∠AEH，∴AE=AH，∴AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴BE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，以EF為邊構(gòu)造，使，，過點(diǎn)D作，垂足為H，延長BF交DH于點(diǎn)G．(1)如圖①，若點(diǎn)D恰好在AC的延長線上，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合．①求證：．②若，，求DF的長．(2)如圖②，將點(diǎn)F沿著BC邊繼續(xù)平移，此時(shí)仍成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，連結(jié)AD，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD與DH的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②(2)△HDE≌△GFD仍成立，AD＝DH【分析】（1）①由“AAS”可證△HDE≌△GFD；②由平移的性質(zhì)可得EH＝BF＝1，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可證△HDE≌△GFD，可得DH＝GF，通過證明，可得GF＝AH，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．(1)①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF＋∠DFC＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），②∵△HDE≌△GFD，∴EH＝DG，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EH＝BF＝1，∴DG＝EH＝1，∴DF＝；(2)△HDE≌△GFD仍成立，理由如下：∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF＝AB，EFAB，連接AF，∴，∵EF＝AB，，∴，∴，∴AEBF，∵DH⊥AE∴DH⊥BF，∴∠HGB＝90°，∴∠HGB＝∠GDF＋∠DFG＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠EDH＋∠FDG＝90°，∴∠EDH＝∠DFG，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，∵△HDE≌△GFD，∴DH＝GF，∵EABG，DH⊥AE，∴∠AHD＝∠BGH＝90°，∴∠HGB＝∠AFB＝90°，∴HGAF，∴，∵∠AHD＝90°,，∴∴GF＝AH，∴DH＝AH，∴AD＝DH．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了，全等三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，已知為等腰直角三角形，且面積為4．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．(1)求線段的長；(2)當(dāng)點(diǎn)E在射線上，且時(shí)，連結(jié)，若，試判斷是否為等腰三角形，并說明理由；(3)直線上是否存在點(diǎn)F（F不與重合），使的其中兩邊之比為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)線段BC的長為4；(2)△DEF是等腰三角形，理由見解析(3)存在，BF的長為4或4+2或4-2或2+2或2-2．【分析】（1）利用三角形面積公式求得AB的長，再利用勾股定理即可求得線段BC的長；（2）過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，得到△BHF為等腰直角三角形，求得BF=8，BH=FH=8，根據(jù)已知可求得DE=DF=10，即可說明△DEF是等腰三角形；（3）分AC：CF=1：，AC：AF=1：，AF：AC=1：時(shí)，三種情況討論即可求解．(1)解：∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC，面積為4，∴AB×AC=4，∴AB=AC=2，∴BC=4，∴線段BC的長為4；(2)解：△DEF是等腰三角形，理由如下：過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，∴∠ABC=∠BCA=45°，∴△BHF為等腰直角三角形，且BH=FH，∵AF=3AB=6，∴BF=8，∵BH2+FH2=BF2，即2BH2=(8)2，∴BH=FH=8，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=DC=2，則DH=BH-BD=6，∵DH2+FH2=DF2，即62+82=DF2，∴DF=10，∵CE=2BC=8，∴DE=DC+CE=10，∴DE=DF=10，∴△DEF是等腰三角形；(3)解：存在，理由如下：∵△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，∴∠BAC=∠FAC=90°，①當(dāng)AC：CF=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴CF=4，AF=2，∴BF=AB+AF=4；②當(dāng)AC：AF=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴AF=4，∴BF=4+2或4-2；③當(dāng)AF：AC=1：時(shí)，∵AB=AC=2，∴AF=2，∴BF=2+2或2-2；綜上，存在點(diǎn)F，使△ACF的其中兩邊之比為1:，BF的長為4或4+2或4-2或2+2或2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．5．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．(1)求證：．(2)如圖2，過，，三點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(3)如圖3，，垂足為點(diǎn)，若將點(diǎn)改為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）利用面積法證明即可；（3）連接EC．由△ABD≌△CBE，推出∠BAD＝∠BCE＝30°，推出點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠BCE＝30°），利用垂線段最短解決問題即可．(1)∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）；(2)∵△ABD≌△CBE，∴，∵，∵AF⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC，∴BC?AF＝BC?DM＋BC?EN，∴AF＝DM＋EN；(3)連接EC，如圖所示：∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∵△ABC是等邊三角形，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF＝30°，BF＝CF＝BC＝AB＝，∴∠BCE＝∠BAF＝30°，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠BCE＝30°），∴當(dāng)EF⊥EC時(shí)，EF的值最小，此時(shí)EF＝CF＝，即EF的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連結(jié)BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．（1）解：證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令A(yù)D與CE交于點(diǎn)G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江·蘭溪市外國語中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．【答案】（1）A；（2）；（3）－1【分析】（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，進(jìn)而可得直角三角形的面積；（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延長BP交AD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PC＝PB＝，進(jìn)而可以求△PDC的面積．【詳解】解：（1）對(duì)于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長為a，則a2＋a2＝2a2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對(duì)于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2＋b2＝c2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，聯(lián)立解得，則Rt△ABC的面積為：；故答案為：；（3）由題意可知：△ABP≌△DBP，∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，∴∠ABP＝∠DBP＝30°，∴∠PBC＝90°，∵∠CPB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝90°，∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝15°，∴∠CAD＝45°，∴△APD為等腰直角三角形，∴AP＝DP＝，∴AD＝2，延長BP交AD于點(diǎn)E，如圖，∵∠ABP＝∠PBD，∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，∴BE＝，∴PB＝BE﹣PE＝﹣1，∵∠CPB＝∠PCB＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC＝PB＝，∴S△PDC＝PC?PD＝（）×＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．8．（2021·浙江紹興·八年級(jí)期中）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．（1）如圖1、2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△DBE沿DE對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（點(diǎn)B′和點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)），DB′與AB交于點(diǎn)H．①當(dāng)∠B′EA＝20°時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．②當(dāng)△B′HE是等腰三角形時(shí)，求∠DEB的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，以∠MDN為直角構(gòu)造等腰直角△DMN（D，M，N三點(diǎn)順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出CN+NB的最小值．【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）3．【分析】（1）①由題意利用翻折變換的性質(zhì)求出∠DEB，可得結(jié)論；②根據(jù)題意分三種情形，利用翻折變換的性質(zhì)分別求出∠DEB即可；（2）根據(jù)題意連接CN，BN，過點(diǎn)N作直線l⊥AC，BT⊥CB于點(diǎn)T，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接BQ．證明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出點(diǎn)N在直線l上運(yùn)動(dòng)，由C，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根據(jù)CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)∠B′EA＝20°時(shí)，由翻折的性質(zhì)可知，∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣20°）]＝100°，∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；（2）當(dāng)HB′＝HE時(shí)，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，∴∠DEB＝∠DEB＝[360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；當(dāng)B′H＝B′E時(shí)，∠AEB′＝∠B′HE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°，當(dāng)EB′＝HE時(shí)，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍棄），綜上所述，∠DEB為105°或127.5°；（3）如圖3中，連接CN，BN，過點(diǎn)N作直線l⊥AC，NT⊥CB于點(diǎn)T，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接BQ．∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDN+∠TND＝90°，∴∠CDM＝∠DNT，在△DCM和△NTD中，，∴△DCM≌△NTD（AAS），∴CD＝NT＝3，∴點(diǎn)N在直線l上運(yùn)動(dòng)，∵C，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，∵BQ＝＝＝3，∴CN+BN≥3，∴CN+BN的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換和三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判定和性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．9．（2021·浙江湖州·八年級(jí)期末）定義：我們把對(duì)角線長度相等的四邊形叫做等線四邊形．（1）嘗試：如圖1，在的正方形網(wǎng)格圖形中，已知點(diǎn)、點(diǎn)是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你作出一個(gè)等線四邊形，要求、是其中兩個(gè)頂點(diǎn)，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)也是格點(diǎn)；（溫馨提示：請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）（2）推理：如圖2，已知與均為等腰直角三角形，，連結(jié)，，求證：四邊形是等線四邊形；（3）拓展：如圖3，已知四邊形是等線四邊形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，若，，，．求的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等線四邊形的定義作圖即可；（2）連結(jié)，，根據(jù)與均為等腰直角三角形，得出結(jié)論證明出即可；（3）分別以、為底作等腰三角形、，頂點(diǎn)均為點(diǎn)．于是有，，，根據(jù)已知可以證明，再證明，是等邊三角形，根據(jù)勾股定理的逆使用，得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）作圖：答案不唯一，畫出一幅圖即可．（2）證明如圖2，連結(jié)，．與均為等腰直角三角形，，，，，，四邊形是等線四邊形．（3）解：如圖3，分別以、為底作等腰三角形、，頂點(diǎn)均為點(diǎn)．于是有，，，，，是等邊三角形．同理，也是等邊三角形．，．，，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．，，由勾股定理算得，．【點(diǎn)睛】本題考查了等線四邊形的定義、三角形全等的判定與性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理、解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)后，需要理解等線四邊形的定義，添加輔助線來求解．10．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，線段與交于O，，E，F(xiàn)，G分別是，，中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是_________，_____；如圖2當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是___________，_______；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是_________，______；（3）請(qǐng)你證明圖3的結(jié)論．【答案】（1）EG=FG，60°；EG=FG，90°；（2）EG=FG，∠FGE=180°-2θ；（3）見解析【分析】（1）由DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=60°，可得：△DOC與△AOB是等邊三角形，由三線合一可得DF⊥AC，AE⊥BD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可得EG=FG，又由DG=GF=AG=EG=AD，利用等邊對(duì)等角，即可求得∠FGE的度數(shù)；∠AOB=45°時(shí)，方法一樣；（2）與（1）的方法類似，注意此時(shí)△DOC與△AOB是等腰三角形，由等腰三角形中的三線合一仍可求得結(jié)果．（3）根據(jù)以上分析證明即可．【詳解】解：（1）當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，證明：連接DF與EA，∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△DOC與△AOB是等邊三角形，∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，F(xiàn)G=AD，∴EG=FG，∵∠DCO=∠BAO=60°，∴AB∥CD，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵∠CDF=∠CDO=∠BAE=∠BAO=30°，∴∠ADF+∠EAG=120°，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，∴∠FGE=60°；當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，證明：連接DF與AE，∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=45°，∴△DOC與△AOB是等腰直角三角形，∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，F(xiàn)G=AD，∴EG=FG，∵∠DCO=∠BAE=45°，∴AE∥CD，∴∠CDA+∠DAE=180°，∵∠CDF=∠CDO=∠EAB=∠BAO=45°，∴∠ADF+∠EAG=135°，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=90°，∴∠FGE=90°；（2）當(dāng)∠AOB=θ時(shí)，EG=FG，∠FGE=180°-2θ；（3）證明：連接DF與AE，∵DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，∴△DOC與△AOB是等腰三角形，∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，∴DF⊥AC，AE⊥BD，∴EG=AD，F(xiàn)G=AD，∴EG=FG，∵∠FDO=∠EAO=90°-θ，∴∠ODA+∠OAD=θ，∴∠FDA+∠EAD=180°-θ，∵DG=GF=AG=EG=AD，∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ，∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ，∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=2θ，∴∠FGE=180°-2θ．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．題目難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2022··八年級(jí)期末）在ABC中，，，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．(1)如圖1，若ADC是直角三角形，①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求AD的長；②當(dāng)AD⊥AC時(shí)，求CD的長．(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且．①若，求證：DBE≌ACD；②若ADE是等腰三角形，求CD的長．【答案】(1)①6；②(2)①見解析；②或【分析】（1）①過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可知，再由勾股定理計(jì)算AD的長即可；②過點(diǎn)A作