隨機(jī)過(guò)程概要及概率基礎(chǔ)

隨機(jī)過(guò)程概要及概率基礎(chǔ)二、隨機(jī)數(shù)學(xué)發(fā)展概述隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律偶然性必然性第2頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天3隨機(jī)過(guò)程Brown運(yùn)動(dòng):1827年，Brown在顯微鏡下發(fā)現(xiàn)花粉的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng),將此奇怪現(xiàn)象公諸于世,無(wú)人能解釋原因.1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Bachelier給出

一維Brown運(yùn)動(dòng)粗略模型,其博士論文為《投機(jī)的理論》，研究證券價(jià)格的漲落，開(kāi)創(chuàng)近代金融數(shù)學(xué)的先河，但他的結(jié)果幾十年之后才得到認(rèn)可.1905年,Einstein首次進(jìn)行量化分析,認(rèn)為花粉運(yùn)動(dòng)源自分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng),每秒碰撞次.Wiener1918年發(fā)表系列論文,成功解決這一問(wèn)題,故稱Wiener—Einstein過(guò)程.

第3頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天Markov過(guò)程(1856—1922):十九世紀(jì)末用矩陣研究馬氏鏈,開(kāi)始隨機(jī)過(guò)程理論.Erlang因研究電話問(wèn)題得到了Poisson過(guò)程,創(chuàng)立了排隊(duì)論.Feller研究了生滅過(guò)程.平穩(wěn)過(guò)程:從辛欣研究大數(shù)定律開(kāi)始，1934年完成.鞅論:萊維（Levy.PaulPierre,1886-1971）

1930－1955年創(chuàng)立.

杜悖(J.Doob)研究停時(shí).隨機(jī)積分:伊藤清(1915—日),87年獲Wolf獎(jiǎng),97年有人因研究Ito微分方程的解而獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng).最優(yōu)停時(shí):1名秘書,100人應(yīng)征,如何選?Gilbert和Mosteller1966年證明37%規(guī)則,前37個(gè)不要,第38個(gè)后開(kāi)始超過(guò)前面就定下來(lái),

選中最優(yōu)率為1/e=0.367879.而隨機(jī)取這一結(jié)果僅1%.第4頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、初步概率論第5頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、隨機(jī)過(guò)程定義及分類1、定義定義域值域T(E,B)(Ω,F,B)E：狀態(tài)空間,相空間,E中元素叫狀態(tài).一般為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù).

B為Borel可測(cè)集全體

第6頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、分類按定義域、值域分：（1）T及E都可列（2）T可列，E非可列（3）T及E都非可列（4）T非可列，E可列其中T可列，即（1）、（2）為隨機(jī)序列（時(shí)間序列）.其中E可列,即（1）、（4）為可列過(guò)程,E為有限集時(shí)為有限過(guò)程.第7頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天按概率關(guān)系分（1）Markov過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程

Poisson過(guò)程Wiener過(guò)程（2）正態(tài)過(guò)程,二項(xiàng)過(guò)程,負(fù)二項(xiàng)過(guò)程（3）平穩(wěn)過(guò)程,寬平穩(wěn)過(guò)程(白噪聲)（4）鞅我國(guó)王梓坤為概率第一人.第8頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程

Appliedstochasticprocesses

第一章概率論的基本知識(shí)

第9頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一章1.1.概率空間一、隨機(jī)試驗(yàn)：可重復(fù)性（同一條件）結(jié)果多個(gè)（不唯一）

試驗(yàn)前未知二、樣本空間Ω：隨機(jī)事件A為Ω的子集.

ω：樣本點(diǎn)Ω={ω全體}三、定義域、事件域（σ－代數(shù)）1、2、3、見(jiàn)下面第10頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3、可列并封閉

可測(cè)空間：信息全體

四、值域、事件概率1、(非負(fù)性)2、(規(guī)范性)3、，，

(可列可加性)第11頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、稱概率空間，廣義測(cè)度不保證非負(fù),不保證為1.六、性質(zhì)1、單調(diào)不減2、對(duì)立事件和為13、，，

有限可加性4、無(wú)限次可加第12頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天七、選取方法有窮為子集全體可列為子集全體不可列為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)八、極限事件1、遞增事件列：，，

2、遞減事件列：，，第13頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天九、P的連續(xù)性（P與lim可交換順序）

證明：

第14頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

可列可加正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(不超過(guò)1)考慮部分和數(shù)列

等價(jià)替換(后半部分用對(duì)偶律)

第15頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天十、調(diào)和級(jí)數(shù)實(shí)例.

第16頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天十一、統(tǒng)計(jì)物理模型解一（Maxwell-Boltzman)

質(zhì)點(diǎn)可分辨，處于每個(gè)狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)任意。

解三（Fermi-Dirac)

質(zhì)點(diǎn)不可分辨，每個(gè)狀態(tài)只有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。適于電子、中子、質(zhì)子等Fermi子。

解二（Bose-Einstein)

質(zhì)點(diǎn)不可分辨，處于每個(gè)狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)任意。

適于光子、介子、核

子等Bose子。

第17頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量X分布函數(shù):

滿足：(ⅰ)單調(diào)不減；(ⅱ)右連續(xù)；(ⅲ)；(ⅳ)；

第18頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、存在性命題1.2.1：設(shè)是單調(diào)不減，右連續(xù)的函數(shù)，且有，，則必存在概率空間及其上的一個(gè)隨機(jī)變量，使。證明：（略）離散的：連續(xù)的：第19頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、命題1.2.2已給n元函數(shù)，滿足：(ⅰ)對(duì)任一是單調(diào)不減的，(ⅱ)對(duì)任一是右連續(xù)的，(ⅲ)

第20頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天(ⅳ)設(shè)，則

則必存在概率空間及其上的隨機(jī)向量，使的分布函數(shù)第21頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意:

(ⅳ)不能由(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)推出反例：定義

滿足(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)，但是對(duì)第22頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、(聯(lián)合分布唯一確定邊沿密度,反之不成立.)此例兩個(gè)密度函數(shù)顯然不同，密度函數(shù)非零區(qū)域相同.邊緣密度如下:第23頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

X邊緣密度:

利用密度函數(shù)的輪換對(duì)稱性,可得Y邊源密度也相同均為1/2+y.第24頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、事件獨(dú)立：n個(gè)事件獨(dú)立，個(gè)表達(dá)式。

隨機(jī)變量獨(dú)立：獨(dú)立，要求聯(lián)合密度為邊緣密度之積，即：

命題1.2.5至1.2.7知道結(jié)果就行.其中，第25頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、隨機(jī)變量相互獨(dú)立六、若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，為可測(cè)函數(shù)，，則

也相互獨(dú)立.第26頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例:1.2.8：已知n階正定對(duì)稱矩陣B，是n維隨機(jī)變量的密度。式中表示B的行列式的值，表示矩陣C的轉(zhuǎn)置矩陣，表示矩陣B的逆矩陣。下面證明因?yàn)锽對(duì)稱正定，故存在正交陣T，使：第27頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中是B的特征值且。

作變換,右乘T,,可得因?yàn)?，?8頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以

是n維正態(tài)分布的密度函數(shù).例:1.2.9:事件A的示性函數(shù):第30頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望（mean,mathematicalexpectation)連續(xù)型（絕對(duì)可積條件下）離散型（絕對(duì)收斂條件下）抽象積分：第31頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望三、矩（moment）1、普通k階矩2、k階絕對(duì)矩3、k階中心矩物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第32頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、方差（二階中心矩，variance）

方差表示穩(wěn)定性：方差大，風(fēng)險(xiǎn)大；方差小，風(fēng)險(xiǎn)小。五、n維隨機(jī)向量

是n維隨機(jī)向量，分布函數(shù)為，為n維Borel函數(shù)，則：第33頁(yè),共4