初中數(shù)學(xué)畢業(yè)學(xué)業(yè)模擬考試（四）

2020年陜西省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)模擬考試（四）數(shù)學(xué)

本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁，第II卷2至6頁，全卷共

120分?？荚嚂r間為120分鐘。

第I卷（選擇題共30分）

注意事項：

1.答第I卷前，請你千萬別忘了將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目用2B鉛筆和鋼筆準(zhǔn)確涂寫在答

題卡上；并將本試卷左側(cè)的項目填寫清楚。

2.當(dāng)你選出每小題的答案后，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。把答案填在試題卷上是不能得分的。

3.考試結(jié)束，本卷和答題卡一并交給監(jiān)考老師收回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分，每小題只有一個選項是符合題意的）

1.一]的倒數(shù)是（D）

A.4B.-7C.7D.-4

44

A.a3—a2=aB.a2+a3=a5

C.a84-a2=a4D.a?a2=a3

4.如圖，直線a〃b,△ABC為等腰直角三角形，ZBAC=90°,則N1的度數(shù)是（C）

A.22.5°B.36°C.45°D,90°

7?1-':第4題圖）BF-C，第6題圖）---------Z（，,第8題圖）

5.正比例函數(shù)y=（2k+l）x,若y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（B）

A.k>—B.kV-]C.k=]D.k=0

6.如圖，在QABCD中，BD為對角線，點E,0,F分別是AB,BD,BC的中點，且0E=3,0F=2,則

□ABCD的周長是（B）

A.10B.20C.15D.6

7.若方程3x2-4x-4=0的兩個實數(shù)根分別為X1，x2,則X1+X2=（D）

44

A.-4B.3C.一鼻D.~

Oo

8.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是AD,AB邊上的點，連接CE,DF,他們相交于點G,延長CE

交BA的延長線于點H,則圖中的相似三角形共有（B）

A.5對B.4對C.3對D.2對

A

9.如圖，ZiABC是。。的內(nèi)接三角形，AD_LBC于點D,且AC=5,CD=3,AB=4小,則。。的直徑等

于(C)

A如B.3y/2

C.5y[2D.7

10.已知拋物線C：y=x?+ax+b的對稱軸是直線x=2,且與x軸有兩個交點，兩交點的距離為4,

則拋物線C關(guān)于直線x=-2對稱的拋物線C，的解析式為(C)

A.y=x2+4xB.y=x?+8x+12

C.y=x?+12x+32D.y=x2+6x+8

點撥：?.?拋物線C：ynx'+ax+b的對稱軸是直線x=2,且與x軸有兩個交點，兩交點的距離為4,

???拋物線C與x軸的兩個交點的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(4,0).?.?拋物線C，與拋物線C關(guān)于直線x=一

2對稱，拋物線C'與x軸的兩個交點的坐標(biāo)分別為卜(-4,0),B，(-8,0),.?.拋物線L的解析

式為y=(x+4)(x+8)=X2+12X+32.故選C

第n卷(非選擇題共90分)

注意事項：

1.請用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上。

2.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。

二、填空題(共4小題，每小題3分，計12分)

11.因式分解：xy'—x'y=xy(y—x)(y+x)..

12.請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分.

A.地球上的海洋面積約為361000000平方千米，用科學(xué)記數(shù)法表示為3.61X108平方千米;

B.運用科學(xué)計算器計算：5/cos78°43'16”-3.53.(結(jié)果精確到0.01)

江

13.如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點A在直線y=x上，其中A點的

橫坐標(biāo)為1,且兩條直角邊AB,AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=、(kW0)與AABC有交點，貝!Ik的

取值范圍是14kW4.

14.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=130°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分別找一點M,N,當(dāng)

△AMN的周長最小時，ZAMN+ZANM=100

點撥：如圖，???NABC=NADC=90°，，分別作點A關(guān)于BC,CD的對稱點E,F,連接EF,交BC于

點M,交CD于點N,連接AM,AN,此時aAMN的周長最小.由作圖可知AM=ME,AN=NF,AZAEM=ZEAM,

ZNAF=ZAFN.

VZAMN=ZAEM+ZEAM=2ZAEM,ZANM=ZNAF+ZAFN=2ZAFN,ZAEF+ZAFE+ZEAF=180°,

ZBAD=130°,/.ZAEF+ZAFE=50°,/.ZAMN+ZANM=2X50°=100°

三、解答題（共11小題，計78分，解答應(yīng)寫出過程）

15.（本題滿分5分）計算：1VI§+（n+l）°-sin45。+|^2-2|.

解：原式=3

QX

16.（本題滿分5分）解分式方程：*=1+吉.

解：去分母得：3=X2-9-X2-3X,解得：x=-4,經(jīng)檢驗x=-4是分式方程的解

17.（本題滿分5分）如圖，△ABC中，AB=AC.以點B為頂點，作直線BD平行AC.（用尺規(guī)作圖，保留

作圖痕跡，不要求寫作法）

錯誤！K

18.（本題滿分5分）中考體育測試前，某區(qū)教育局為了了解選報引體向上的初三男生的成績情況，隨

機抽測了本區(qū)部分選報引體向上項目的初三男生的成績，并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)

計圖：

請你根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

（1）寫出扇形圖中a=25%,并補全條形圖；

（2）在這次抽測中，測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是_L_個、5個:

（3）該區(qū)體育中考選報引體向上的男生共有1800人，如果體育中考引體向上達6個以上（含6個）得滿

分，請你估計該區(qū)體育中考中選報引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？

人數(shù)（人）

413個績（個）

解：（1）25,引體向上6個的學(xué)生有50人，補圖略⑶端kx1800=810（名）.答：估計該區(qū)體育

中考選報引體向上的男生能獲得滿分的同學(xué)有810名

19.（本題滿分7分）如圖，已知NABC=90°,分別以AB和BC為邊向外作等邊AABD和等邊ABCE,

連接AE,CD.求證：AE=CD.

C

B

D

證明：'.,△ABD和4BCE為等邊三角形，...NABD=NCBE=60°,BA=BD,BC=BE,AZABD+ZABC

'BD=BA,

=NCBE+NABC,即NCBD=NABE,在4CBD與4EBA中，，/DBC=NABE,ACBD^AEBA(SAS),AAE

BC=BE,

20.(本題滿分7分)小穎站在自家陽臺的A處用測角儀觀察對面的商場，如圖，在A處測得商場樓頂

B點的俯角為45°,商場樓底C點的俯角為60°,若商場高17.6米，小穎家所在樓房每層樓的平均高度

為3米，則小穎家住在幾樓？小穎家與商場相距多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：地心L732,小

分1.414)

解:過點A作A0_LBC交CB的延長線于點0,設(shè)0A的長為x米，易得NBA0=45°,...0A=0B=x,

r

]17公'1,7a[Q/

AOC=x+17.6,----:—=tan60°,解得x=8.8(m+1)224,:.―---^14,，小穎家住在15

xJ

層，小穎家與商場相距約24米

21.(本題滿分7分)小亮、小明兩人星期天&00同時分別從A,B兩地出發(fā)，沿同一條路線前往新

華書店C.小明從B地步行出發(fā)，小亮騎自行車從A地出發(fā)途經(jīng)B地，途中自行車發(fā)生故障，維修耽誤了1

h,結(jié)果他倆11：00同時到達書店C.下圖是他們距離A地的路程y(km)與所用時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系

圖象.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)求圖中直線DE的函數(shù)解析式；

(2)若小亮的自行車不發(fā)生故障，且保持出發(fā)時的速度前行，則他出發(fā)多久可追上小明？此時他距離

A地多遠(yuǎn)？

10

7.5

0.51.5

解：⑴設(shè)直線DE的函數(shù)解析式為y=kx+b.易知點D的坐標(biāo)為(3,22.5),點E的坐標(biāo)為(1.5,7.5),

22.5=3k+b,

7.5=L5k+b,解得‘直線DE的函數(shù)解析式為y=10x-7.5(2)小明的速度為(22.5-

b=-7.5,

10)4-3=-7-(km/h).小亮出發(fā)時的速度為7.5+0.5=15(km/h).設(shè)小亮出發(fā)m小時后追上小明，由題意，

O

得Fm+10=15m,解得當(dāng)時，15義普=罌(km).答：若小亮的自行車不發(fā)生故障，且保持

o1010ioio

ioion

出發(fā)時的速度前行，則他出發(fā)磊h可追上小明，此時他距離A地詈km

1010

22.(本題滿分7分)在一個口袋里有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1,2,3,4,小明和

小強采取的摸取方法分別是：

小明：隨機摸取一個小球記下標(biāo)號，然后放回，再隨機摸取一個小球，記下標(biāo)號;

小強：隨機摸取一個小球記下標(biāo)號，不放回，再隨機摸取一個小球，記下標(biāo)號.

（1）用畫樹狀圖（或列表法）分別表示小明和小強摸球的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）分別求出小明和小強兩次摸球的標(biāo)號之和等于5的概率.

解：（1）畫樹狀圖得：

1234123412341234

則小明共有16種等可能的結(jié)果;

1234

/l\/N/N

23413412412

則小強共有12種等可能的結(jié)果

（2）?.?小明兩次摸球的標(biāo)號之和等于5的有4種情況，小強兩次摸球的標(biāo)號之和等于5的有4種情況,

??.P（小明兩次摸球的標(biāo)號之和等于5）=24=；1,P（小強兩次摸球的標(biāo)號之和等于5）=4我=12

1041Z6

23.（本題滿分8分）如圖，在aABC中，CA=CB,以BC為直徑的圓。。交AC于點G,交AB于點D,

過點D作。。的切線，交CB的延長線于點E,交AC于點F.

/\F

EBVOJ

(1)求證：DFJ_AC；

(2)如果。。的半徑為5,AB=12,求cosE.

解：(1)連接OD,VCA=CB,OB=OD,.\ZA=ZABC,ZABC=ZODB,.,.ZA=ZODB,，OD〃AC,,:

DF是。0的切線，I.ODJLDF,I.DFJLAC⑵連接BG,CD.TBC是直徑，AZBDC=90°,VCA=CB=10,

11I~j----jAB,CD

/.AD=BD=xAB=^X12=6,.,.CD=JAC2-AD2=8.VAB?CD=2SAABC=AC?BG,.-.BG=,=

Z/ACr

48BG24

—VBG±AC,DF±AC,ABG/7EF.AZE=ZCBG,AcosE=cosZCBG=—=—

□DCZO

F

EO

24.(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+4與x軸的一個交點為A(-2,

0),與y軸的交點為C,對稱軸是x=3,對稱軸與x軸交于點B.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)經(jīng)過B,C的直線1平移后與拋物線交于點M,與x軸交于點N,當(dāng)以B,C,M,N為頂點的四邊形

解：(1”.?拋物線丫=2**+4交x軸于A(-2,0),.,.0=4a-2b+4,?對稱軸是直線x=3,，

一)-=3,即6a+b=0,關(guān)于a,b的方程聯(lián)立解得a=-b=*.,.拋物線的表達式為丫=一宗+,x+

4(2),??四邊形為平行四邊形，且BC〃MN,??.BC=MN.①N點在M點下方，即M點向下平移4個單位，向

右平移3個單位與N重合.設(shè)Mi(x,—^X2+|X+4),則Ni(x+3,-^x2+|x),'.'Ni在x軸上，,一上+

3

那=0,解得x=0(M與C重合，舍去)，或x=6,??.XM=6,???M】(6,4)；②M點在N點右下方，即N向下

1Q1Q

平移4個單位，向右平移3個單位與M重合.設(shè)M(x,一#2+/+4),則N(x—3,-TX2+-X+8),VN

i3

在x軸上，J—不2+/+8=0,解得x=3一退1,或x=3+WL.?.XM=3—qil或3+退1.，M2(3一退1,

TC4

—4)或—4).綜上所述，M的坐標(biāo)為(6,4)或(3—Mil,-4)或(3+<無，-4)

25.(本題滿分12分)若一個三角形的三個頂點均在一個圖形的不同的邊上，則稱此三角形為該圖形

的內(nèi)接三角形.

圖1圖2圖3

(1)在圖1中畫出aABC自一個內(nèi)接直角三角形;

(2)如圖2,已知aABC中，ZBAC=60°,ZB=45°,AB=8,AD為BC邊上的高，探究以D為一個

頂點作△ABC的內(nèi)接三角形，其周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖3,AABC為等腰直角三角形，NC=90°,AC=6,試探究：/XABC的內(nèi)接等腰直角三角形的

面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

解：(1)如圖1,Z^DEF為所求作的三角形(答案不唯一)(2)存在.如圖2,分別作點D關(guān)于AB,AC

的對稱點D',D",連接D'D",交AB,AC于點E,F,連接DE,DF,則4DEF即為周長最小的內(nèi)接三

角形，D'D"的長即為最小周長.；AB=8,NB=45°,AD±BC,.*.AD=AB?sin45°=4/...,點D關(guān)于

AB,AC的對稱點分別為點D',D",.'.AD'=AD"=AD=4啦，ND'AD"=2ZBAC=120°,過點A作

AH_LEF于點H,在RtZ\AHD"中，NAD"H=30",=AD”?cos30°=2乖，，DD"=2HD"=4#,

.?.△DEF周長的最小值為4加(3)分類討論：①當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點D在斜邊AB上時，如

圖3,VZACB=ZEDF=90°,以EF為直徑畫圓，則點C,D在圓上，B^CD,VDE=DF>AZACD=ZBCD,

又；AC=BC,；.CD是AB邊上的中線，點D是AB邊的中點，過點D作DE'±AC,DF'±BC,此時，DE',

DFZ最短.當(dāng)點E與E，重合，點F與口重合時，4DEF的面積最小，此時四邊形CEDF為正方形.設(shè)DE，

9

=x,則BC=2DE，=2x=6,???x=3,???S最小=耳；②當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形DEF的直角頂點D在直角邊上

時，如圖4,過點F作FGJ_BC于點G,設(shè)DG=y,GF=x,VZEDF=90°,ZEDC+ZFDG=90°,VZ

fZC=ZFGD,

CED+ZEDC=90°,AZCED=ZFDG,在4CDE和4GFD中，jZCED=ZGDF,/.ACDE^AGFD(AAS),:.

[ED=DF,

CD=FG=x,VZB=45°,FG±BC,AGB=GF=x,.\BC=CD+DG+GB=2x+y=6,BPy=6-2x.VSADEF

=^)F2=1(y2+x2)=1x2—12x+18=1(x—^)2+^,故當(dāng)x=帶時,S*小=要,嗎＞m，.'△DEF的面積

//4DD0D￡iu

18

)--

存在最小值，其最小值為5

圖3圖4

2019-2020學(xué)年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.）

1.一、單選題

如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高,AE、BF分別是NBAC、NABC的平分線，NBAC=50。，NABC=60。,

則）NEAD+NACD=（）

2.如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個點，其中表示互為倒數(shù)的點是（）

ABCD

—-------------------->

^2?-1?0?12?3^

A.點A與點BB.點A與點DC.點B與點DD.點B與點C

3.甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息.已

知甲先出發(fā)4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與甲出發(fā)的時間t（分）之間的關(guān)系

如圖所示，下列結(jié)論：

①甲步行的速度為60米/分；

②乙走完全程用了32分鐘；

③乙用16分鐘追上甲；

④乙到達終點時，甲離終點還有300米

C.3個D.4個

4.若x-2y+l=0,則2*+4〉x8等于()

A.1B.4C.8D.-16

5.如圖直線y=mx與雙曲線y=—交于點A、B,過A作AM_Lx軸于M點，連接BM,若SAAMB=2,

x

則k的值是（

1,

6.在AABC中，若cosA-]+（l-tan3）2=o,則NC的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

7.一元二次方程X2-2X=0的解是（）

A.xi=0,X2=2B.XI=1,X2=2C.XJ=0,X?=-2D.XI=1,X2=-2

8.有五名射擊運動員，教練為了分析他們成績的波動程度，應(yīng)選擇下列統(tǒng)計量中的（）

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

x<3a+2

9.若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是)

x>。一4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

14

10.解分式方程---3=--時，去分母可得()

x-22-x

A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4

C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4

11.如圖分別是某班全體學(xué)生上學(xué)時乘車、步行、騎車人數(shù)的分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（兩圖都不完整）,

下列結(jié)論錯誤的是（）

A.該班總?cè)藬?shù)為50B.步行人數(shù)為30

C.乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍D.騎車人數(shù)占20%

12.如圖，AB±BD,CD±BD,垂足分別為B、D,AC和BD相交于點E,EF_LBD垂足為F.則下列

結(jié)論錯誤的是（）

c

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點的坐標(biāo)為（a,

a）.如圖，若曲線y=33（x>0）與此正方形的邊有交點，則a的取值范圍是.

14.如圖，在AABC中，DE〃BC,BF平分NABC,交DE的延長線于點F,若AD=1,BD=2,BC=4,

貝!JEF=.

15.如圖，在平行四邊形紙片上做隨機扎針實驗，則針頭扎在陰影區(qū)域的概率為.

16.某市對九年級學(xué)生進行“綜合素質(zhì)”評價，評價結(jié)果分為A,B,C,D,E五個等級.現(xiàn)隨機抽取了

500名學(xué)生的評價結(jié)果作為樣本進行分析，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖.已知圖中從左到右的五個長方形的

高之比為2：3：3：1：1,據(jù)此估算該市80000名九年級學(xué)生中“綜合素質(zhì)”評價結(jié)果為“A”的學(xué)生約為

人.

7|\——

0ABCDEB級

17.如圖，在AABC和AEDB中，NC=NEBD=90。，點E在AB上.若△ABCgZxEDB,AC=4,BC

=3,則AE=.

18.如圖所示，三角形ABC的面積為IcmLAP垂直NB的平分線BP于P.則與三角形PBC的面積相

等的長方形是（）

D.0.5cm

1.2cm

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，點A是直線AM與。。的交點，點B在。O上，BD±AM,垂足為D,BD與。O交

于點C,OC平分NAOB,ZB=60°.求證：AM是。O的切線；若。O的半徑為4,求圖中陰影部分的

面積（結(jié)果保留加和根號）.

20.（6分）某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機器供選擇，其

中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過預(yù)算，本次購買機器所耗資金不能超過

34萬元.

甲乙

價格（萬元/臺）75

每臺日產(chǎn)量（個）10060

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？如果該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么

為了節(jié)約資金應(yīng)選擇什么樣的購買方案？

21.（6分）某市對城區(qū)部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設(shè)施進行全面更新改造，根據(jù)市

政建設(shè)的需要，需在35天內(nèi)完成工程.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經(jīng)調(diào)查知道，乙工程隊

單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍，若甲、乙兩工程隊合作，只需10天

完成.甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？若甲工程隊每天的工程費用是4萬元，乙工程隊

每天的工程費用是2.5萬元，請你設(shè)計一種方案，既能按時完工，又能使工程費用最少.

22.（8分）為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品

給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的

一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元,出廠價為每件1比,每月銷售量丁（件）與銷售單

價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù):y=-10x+500.李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20

元，那么政府這個月為他承擔(dān)的總差價為多少元?設(shè)李明獲得的利潤為不（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時,

每月可獲得最大利潤?物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利

潤不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價最少為多少元？

23.（8分）如圖，AB是。O的直徑，點C是二二的中點，連接AC并延長至點D,使CD=AC,點E是

OB上一點，且三=：,CE的延長線交DB的延長線于點F,AF交。O于點H,連接BH.

24.（10分）如圖，已知A（-3,-3）,B（-2,T）,C（T-2）是直角坐標(biāo)平面上三點.將A4BC1先向右平移3個單位,

再向上平移3個單位，畫出平移后的圖形A414c1；以點（0,2）為位似中心，位似比為2,將A44G放大,

在）'軸右側(cè)畫出放大后的圖形八&&。2；填空:“B2G面積為.

25.（10分）某同學(xué)報名參加學(xué)校秋季運動會，有以下5個項目可供選擇：徑賽項目：100m、200m、1000m

（分別用Al、A2、A3表示）；田賽項目：跳遠(yuǎn)，跳高（分別用Tl、T2表示）.該同學(xué)從5個項目中

任選一個，恰好是田賽項目的概率P為;該同學(xué)從5個項目中任選兩個，求恰好是一個徑賽項目

和一個田賽項目的概率PL利用列表法或樹狀圖加以說明；該同學(xué)從5個項目中任選兩個，則兩個項目

都是徑賽項目的概率P2為.

26.（12分）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣.《孫子算經(jīng)》

記載“今有婦人河上蕩杯.津吏問曰：，杯何以多？，婦人曰：，家有客.，津吏曰：，客幾何？，婦人曰：，二人

共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.，不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，

4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”

27.（12分）先化簡，再計算：———二t生吧十二其中％=—3+2起.

x+3x+3x-2

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.）

1.A

【解析】

分析：依據(jù)AD是BC邊上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依據(jù)NBAC=5（）。，AE平分NBAC,

即可得到NDAE=5。，再根據(jù)△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

詳解：；AD是BC邊上的高，ZABC=60°,

.,.ZBAD=30°,

VZBAC=50°,AE平分NBAC,

:.ZBAE=25°,

.,.ZDAE=30o-25°=5°,

,.,△ABC中，NC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

二ZEAD+ZACD=5°+70o=75°,

故選A.

點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180。.解決問題的關(guān)鍵是三角形外角性質(zhì)以及角平

分線的定義的運用.

2.A

【解析】

【詳解】

試題分析：主要考查倒數(shù)的定義和數(shù)軸，要求熟練掌握.需要注意的是：

倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù).

倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

根據(jù)倒數(shù)定義可知，-2的倒數(shù)是有數(shù)軸可知A對應(yīng)的數(shù)為-2,B對應(yīng)的數(shù)為所以A與B是互

22

為倒數(shù).

故選A.

考點：1.倒數(shù)的定義；2.數(shù)軸.

3.A

【解析】

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】由圖可得，

甲步行的速度為：240+4=60米/分，故①正確，

乙走完全程用的時間為：2400+(16x60+12)=30(分鐘)，故②錯誤，

乙追上甲用的時間為：16-4=12(分鐘)，故③錯誤，

乙到達終點時，甲離終點距離是：2400-(4+30)x60=360米，故④錯誤，

故選A.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，弄清題意，讀懂圖象，從中找到必要的信息是解題的關(guān)鍵.

4.B

【解析】

【分析】

先把原式化為2XV22VX23的形式，再根據(jù)同底數(shù)幕的乘法及除法法則進行計算即可.

【詳解】

原式=2七22&23,

=2、-2y+3

=22,

=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是同底數(shù)幕的乘法及除法運算，根據(jù)題意把原式化為2*+22、23的形式是解答此題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【分析】

此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性得到A、B兩點關(guān)于原點對稱，再由SAABM=1SAAOM并結(jié)合反比例函

數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k的值.

【詳解】

根據(jù)雙曲線的對稱性可得：OA=OB,則SAABM=1SAAOM=1，SAAOM=~|k|=l>

則1€=±1.又由于反比例函數(shù)圖象位于一三象限，k>0,所以k=l.

故選B.

【點睛】

k

本題主要考查了反比例函數(shù)y=—中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形

x

面積為|k|,是經(jīng)常考查的一個知識點.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得

出NC的度數(shù).

【詳解】

由題意，得COSA=L,

tanB=l?

2

AZA=60°,ZB=45°,

.*.ZC=1800-ZA-ZB=180o-60o-45o=75°.

故選c.

7.A

【解析】

試題分析：原方程變形為：x(x-1)=0

xi=0,xi=l.

故選A.

考點：解一元二次方程-因式分解法.

8.A

【解析】

試題分析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，集中程度；方差越大，即波動越

大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.故教練要分析射擊運動員成績的波動程度，只需要知

道訓(xùn)練成績的方差即可.

故選A.

考點：1、計算器-平均數(shù)，2、中位數(shù)，3、眾數(shù)，4、方差

9.A

【解析】

【分析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可.

x<3。+2

【詳解】?.?不等式組,無解，

x>?-4

?'?a-423a+2,

解得：aW-3,

故選A.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大

取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無處找'’是解題的關(guān)鍵.

10.B

【解析】

【分析】

方程兩邊同時乘以(x-2),轉(zhuǎn)化為整式方程，由此即可作出判斷.

【詳解】

方程兩邊同時乘以(x-2),得

1-3(x-2)=-4,

故選B.

【點睛】

本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握解分式方程的一般步驟以及注意事項是解題的關(guān)鍵.

11.B

【解析】

【分析】

根據(jù)乘車人數(shù)是25人，而乘車人數(shù)所占的比例是50%,即可求得總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比的含義即可求

得步行的人數(shù)，以及騎車人數(shù)所占的比例.

【詳解】

A、總?cè)藬?shù)是：25+50%=50（人），故A正確；

B、步行的人數(shù)是：50x30%=15（人），故B錯誤；

C、乘車人數(shù)是騎車人數(shù)倍數(shù)是：50%+20%=2.5,故C正確；

D、騎車人數(shù)所占的比例是：1-50%-30%=20%,故D正確.

由于該題選擇錯誤的，

故選B.

【點睛】

本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、

分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

12.A

【解析】

【分析】

利用平行線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：VAB±BD,CD±BD,EF±BD,

；.AB〃CD〃EF

/.△ABE^ADCE,

故選項B正確，

VEF/7AB,

???__故選項c，D正確，

故選：A.

【點睛】

考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考?？碱}型.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.V3-1<a<V3

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得出C點的坐標(biāo)（a-La-1）,然后分別把A、C的坐標(biāo)代入求得a的值，即可求得a的取值范

圍.

【詳解】

解:反比例函數(shù)經(jīng)過點A和點C.

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點A時，即/=3,

解得：a=±&（負(fù)根舍去）；

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點C時，即（。一1）2=3,

解得：a=l±g（負(fù)根舍去），

則后一19W百.

故答案為：x/3

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y='（k為常數(shù)，k#0）的圖象上

x

的點（x,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

2

14.-

3

【解析】

【分析】

由DE〃BC可得出△ADE-AABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

VDE/7BC,

.\ZF=ZFBC,

VBF平分NABC,

AZDBF=ZFBC,

AZF=ZDBF,

ADB=DF,

：DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

,ADDEnn1DE

**------------------=--------，即------=---->

AD+DBBC1+24

4

解得：DE=y,

VDF=DB=2,

42

.?.EF=DF-DE=2-=-,

33

2

故答案為孑.

【點睛】

此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由DE〃BC可得出△ADE^AABC.

_1

15.一

4

【解析】

【分析】

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出對角線所分的四個三角形面積相等，再求出概率即可.

【詳解】

解：,??四邊形是平行四邊形，

???對角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，

觀察發(fā)現(xiàn)：圖中陰影部分面積=gs四邊形，

4

.??針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為‘；

4

故答案為：—.

4

【點睛】

此題主要考查了幾何概率，以及平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

16.16000

【解析】

【分析】

用畢業(yè)生總?cè)藬?shù)乘以“綜合素質(zhì)”等級為A的學(xué)生所占的比即可求得結(jié)果.

【詳解】

?:A,B,C,D,E五個等級在統(tǒng)計圖中的高之比為2：3：3；1：1,

2

,該市80000名九年級學(xué)生中“綜合素質(zhì)”評價結(jié)果為“A”的學(xué)生約為80000X---------------------=16000,

2+3+3+1+1

故答案為16000.

【點睛】

本題考查了條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖

能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

17.1

【解析】

試題分析：在RtAACB中，NC=90。，AC=4,BC=3,由勾股定理得：AB=5,

VAABC^AEDB,

，BE=AC=4,

，AE=5-4=L

考點：全等三角形的性質(zhì)；勾股定理

18.B

【解析】

【分析】

過P點作PE±BP,垂足為P,交BC于E,根據(jù)AP垂直NB的平分線BP于P,即可求出^ABP^ABEP,

又知△APC和白CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積.

【詳解】

解：過P點作PE_LBP,垂足為P,交BC于E,

A

VAP垂直/B的平分線BP于P,

NABP=NEBP,

又知BP=BP,NAPB=NBPE=90。,

/.△ABP^ABEP,

，AP=PE,

?:△APC和4CPE等底同高,

?'?SAAPC=SAPCE，

，三角形PBC的面積=1三角形ABC的面積=Lcm1

22

選項中只有B的長方形面積為gCH?,

2

故選B.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

8

19.⑴見解析；(2)6\/3--7T

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，可得△BOC的等邊三角形，進而可得NBCO=NBOC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得

BD/7OA,根據(jù)NBDM=90。，進而得到NOAM=90。，即可得證；

(2)連接AC,利用△AOC是等邊三角形，求得NOAC=60。，可得NCAD=30。，在直角三角形中，求

出CD、AD的長,貝!JS陰影=S極形OADC-S用彩OAC即可得解.

【詳解】

(1)證明：VZB=60°,OB=OC,

??.△BOC是等邊三角形，

AZ1=Z3=6O°,

VOC平分NAOB,

AZ1=Z2,

AZ2=Z3,

，OA〃BD,

VZBDM=90°,

AZOAM=90°,

又OA為。O的半徑，

JAM是。O的切線

(2)解：連接AC,

VZ3=60°,OA=OC,

???△AOC是等邊三角形，

.\ZOAC=60°,

AZCAD=30°,

VOC=AC=4,

ACD=2,

，AD=2后,

.__1'(4+2)x2斤喏44n

?'?S陰影=S悌形OADC-S扇形OAC=T-

2

本題主要考查切線的性質(zhì)與判定、扇形的面積等，解題關(guān)鍵在于用整體減去部分的方法計算.

20.(1)有3種購買方案①購乙6臺，②購甲1臺，購乙5臺，③購甲2臺，購乙4臺(2)購買甲種機

器1臺,購買乙種機器5臺，

【解析】

【分析】

(1)設(shè)購買甲種機器x臺(xK)),則購買乙種機器(6-x)臺，根據(jù)買機器所耗資金不能超過34萬元，

即購買甲種機器的錢數(shù)+購買乙種機器的錢數(shù)W34萬元.就可以得到關(guān)于x的不等式，就可以求出x的范

圍.

(2)該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，就是已知不等關(guān)系：甲種機器生產(chǎn)的零件數(shù)+

乙種機器生產(chǎn)的零件數(shù)W380件.根據(jù)(1)中的三種方案，可以計算出每種方案的需要資金，從而選擇出

合適的方案.

【詳解】

解：(1)設(shè)購買甲種機器x臺作利),則購買乙種機器(6-x)臺

依題意，得7x+5(6-x)W34

解這個不等式，得xg,即x可取0,1,2三個值.

...該公司按要求可以有以下三種購買方案：

方案一:不購買甲種機器,購買乙種機器6臺.

方案二:購買甲種機器11臺,購買乙種機器5臺.

方案三:購買甲種機器2臺,購買乙種機器4臺

(2)根據(jù)題意,100x+60(6-x)N380

解之得x>!

2

由⑴得x<2,BP^-<x<2.

2

.?.X可取1,2倆值.

即有以下兩種購買方案：

購買甲種機器1臺,購買乙種機器5臺，所耗資金為1x7+5x5=32萬元；

購買甲種機器2臺,購買乙種機器4臺，所耗資金為2x7+4x5=34萬元.

???為了節(jié)約資金應(yīng)選擇購買甲種機器1臺,購買乙種機器5臺,.

【點睛】

解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式，正