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第4招一元二次方程中常見易錯易混問題歸類典例剖析

例已知6是關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+2m=0的一個實數(shù)根,并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的長,求△ABC的周長.解題秘方:本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形的三邊關(guān)系,正確解方程是解題關(guān)鍵.解:把x=6代入方程得36-6(m+2)+2m=0,解得m=6,則原方程為x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.由這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的長,可知:①當(dāng)△ABC的腰長為6,底邊長為2時,△ABC的周長為

6+6+2=14;②當(dāng)△ABC的腰長為2,底邊長為6時,因為2+2<6,所以不能組成三角形,故舍去.綜上所述,△ABC的周長為14.分類訓(xùn)練1.若關(guān)于x的方程(k-3)x|k|-1-x-2=0是一元二次方程,則不等式kx-2k+6≤0的解集為________.

x≥4易錯忽視二次項系數(shù)不為零的條件而致錯1分類訓(xùn)練2.【2023·遂寧】我們規(guī)定:對于任意實數(shù)a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右邊是通常的乘法和減法運算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.易錯應(yīng)用根的判別式求字母的取值范圍時忽視一元二次方程的隱含條件2(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;解:[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=-8+18=10.(2)已知關(guān)于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有兩個實數(shù)根,求m的取值范圍.分類訓(xùn)練3.解方程:3(2x+5)=2x(2x+5).易錯在方程兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子,導(dǎo)致缺根3【點易錯】易錯利用根與系數(shù)的關(guān)系時未考慮“b2-4ac”的值4分類訓(xùn)練4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有實數(shù)根.(1)求m的取值范圍;

解:根據(jù)題意,得

(-6)2-4(2m+1)≥0,解得m≤4.(2)如果方程的兩個實數(shù)根為x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范圍.解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=6,x1x2=2m+1,而2x1x2+x1+x2≥20,∴2(2m+1)+6≥20,解得m≥3.又∵m≤4,∴m的取值范圍為3≤m≤4.分類訓(xùn)練5.如圖,AO=OB=50cm,OC是一條射線,OC⊥AB,螞蟻甲由A點以2cm/s的速度向B點爬行,同時螞蟻乙由O點以3cm/s的速度沿OC方向爬行,是否存在這樣的時刻,使兩只螞蟻與O點組成的三角形的面積是450cm2?若存在,請求出來.易錯考慮問題不全面,出現(xiàn)漏解或多解5【點易錯】解動點問題要弄清點運動的特征,必要時要注意分類討論.如螞蟻甲由A點向B點爬行表示螞蟻甲既可以在線段AO上,又可以在線段OB上.分類訓(xùn)練6.如圖,用長為22m的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度為14m),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃ABCD,為了方便出入,在BC上用其他材料做了寬為1m的兩扇小門.(1)設(shè)花圃的一邊AB長為xm,請你用含x的代數(shù)式表示AD的長為________m;(2)若花圃的面積剛好為45m2,求此時花圃的長與寬.(24-3x)解:由題意得(24-3x)x=45,解得x1=3,x

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