福建省漳州市2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】_第1頁(yè)
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準(zhǔn)考證號(hào)______姓名______(在此卷上答題無(wú)效)福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè),22小題,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.考生注意:1.答題前,考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),用0.5mm黑色簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束,考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)全集,若集合,,則如圖所示的陰影部分表示的集合為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可求出集合,易知陰影部分表示,利用集合基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意解指數(shù)不等式可得,由函數(shù)定義域可得,所以;陰影部分表示的集合為.故選:A2.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則()A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】將等式整理可得,即可計(jì)算出.【詳解】將整理可得,所以;可得.故選:D3.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出,再由得,由得,將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解:由得,,由得,由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出、、的圖象,由圖象知,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)方程思想,對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用,屬于中檔題.4.已知向量,,若,則()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將向量垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為零,再結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?,,且,所以由?shù)量積的坐標(biāo)公式可知,解得,因此,由向量減法坐標(biāo)公式可得,最終結(jié)合向量模的坐標(biāo)公式可得.故選:C.5.已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可以算出圓心到雙曲線其中一條漸近線的距離,設(shè)出漸近線方程再結(jié)合點(diǎn)到直線之間的距離公式即可列出方程解出,進(jìn)一步即可求出離心率.【詳解】一方面:設(shè)雙曲線漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,圓的半徑為,圓心到漸近線的距離為,又根據(jù)題意有,因此根據(jù)垂徑定理可得,另一方面:不妨設(shè)漸近線方程為(其中),又圓的圓心坐標(biāo)為圓,因此根據(jù)點(diǎn)到直線之間的距離公式有圓.結(jié)合以上兩方面有,解得,又,所以雙曲線的離心率為.故選:B.6.若,則().A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式,求得要求式子的值.【詳解】解:若,所以,則,故選:.7.如圖,在五面體ABCDEF中,底面是矩形,,,若,,且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為,則該五面體的體積是()A.225 B.250 C.325 D.375【答案】C【解析】【分析】利用面面角的定義,結(jié)合圖形與線面垂直的判定與性質(zhì)定理求得,從而利用切割法,結(jié)合錐體與柱體的體積公式即可得解.【詳解】過(guò)作面于,過(guò)作分別交于,記的中點(diǎn)為,連接,同理作出,如圖,因?yàn)榈酌媸蔷匦?,所以,又,所以,因?yàn)槊?,面,所以,因?yàn)槊?,所以面,因?yàn)槊?,所以,所以是面與面的所成角,則由題意知,同理是面與面的所成角,則,因?yàn)?,所以,則,又易得,所以是的中點(diǎn),由上述分析易知四邊形是矩形,則,所以,則,故,易得,則,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又易得,所以為面與與面的所成角,則,即,則,即,由對(duì)稱(chēng)性可知,從而,因?yàn)?,同理,所以,又,所以四邊形是矩形,同理可得四邊形與四邊形是矩形,則幾何體是直棱柱,由對(duì)稱(chēng)性可知,,所以該五面體的體積為.故選:C.8.已知直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則k的最大值是()A. B. C.2e D.4e【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為和,則,根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有解,設(shè),求得,得出函數(shù)的單調(diào)性和極小值,結(jié)合,即可求解.【詳解】因?yàn)槭呛偷墓芯€,設(shè)切點(diǎn)分別為和,則,由,可得,則又由,可得,且,則,所以,可得,即,顯然同號(hào),不妨設(shè),設(shè),(其中),可得,令,可得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,要使得有解,則需要,即即,解得,所以,即的最大值為.故選:B.【點(diǎn)睛】方法技巧:對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與有解問(wèn)題的求解策略:1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí),一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況,進(jìn)行求解,若參變分離不易求解問(wèn)題,就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.將100個(gè)數(shù)據(jù)整理并繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),則下列結(jié)論正確的是()A.B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值大于眾數(shù)的估計(jì)值C.該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)約為109.2D.在該組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)據(jù)記為n,已知,則的概率為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng):由陰影部分面積之和為1即可驗(yàn)證;對(duì)于B選項(xiàng):計(jì)算出平均數(shù)和眾數(shù)估計(jì)值即可驗(yàn)證;對(duì)于C選項(xiàng):根據(jù)第90百分位數(shù)的定義去計(jì)算即可驗(yàn)證;對(duì)于D選項(xiàng):由條件概率計(jì)算公式即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):由陰影部分面積之和為1可知,解得,故A選項(xiàng)不符題意.對(duì)于B選項(xiàng):不妨設(shè)眾數(shù)和平均數(shù)分別為,由圖可知顯然有,,因此,即平均數(shù)的估計(jì)值大于眾數(shù)的估計(jì)值,故B選項(xiàng)符合題意.對(duì)于C選項(xiàng):設(shè)第90百分位數(shù)為,且注意到這100個(gè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間的概率為,所以一定落在區(qū)間內(nèi),所以,解得,故C選項(xiàng)符合題意.對(duì)于D選項(xiàng):記、分別為事件,則由圖可知,,則由條件概率公式得,故D選項(xiàng)不符題意.故選:BC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則【答案】ABD【解析】【分析】由最值求,由周期求,再由,可求,進(jìn)而可求函數(shù)解析式,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題意可得,,故,A正確;又因?yàn)?,故,所以,所?對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),B正確;對(duì)于C,將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),C錯(cuò)誤;對(duì)于D,在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),D正確.故選:ABD.11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為,且,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì),逐項(xiàng)分析得出數(shù)列的單調(diào)性,即可得出結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,所以,;對(duì)于A,若,則,由等比數(shù)列性質(zhì)可得,所以可得,即A正確;對(duì)于B,若,可得,又,所以;所以,又,可得,因此可得,即,所以B正確;對(duì)于C,若,可得,又,因此的大小無(wú)法判斷,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若,可得,又,所以可得,即數(shù)列為遞減數(shù)列;可得,即,所以D正確;故選:ABD12.已知定義在上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為.若,且為奇函數(shù),則()A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意可以推出的周期以及對(duì)稱(chēng)中心,根據(jù),可得的周期是4,又是由向左平移1個(gè)單位得到的,且注意到為奇函數(shù),因此的對(duì)稱(chēng)中心為;然后對(duì)每一選項(xiàng)逐一驗(yàn)證判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):注意到,又是由向左平移1個(gè)單位得到的,且注意到為奇函數(shù),因此的對(duì)稱(chēng)中心為即,因此;故A選項(xiàng)符合題意.對(duì)于B選項(xiàng):令,此時(shí)滿足題意,但,故B選項(xiàng)不符題意.對(duì)于C選項(xiàng):因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)中心為,所以,又已知,所以,這表明了關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),即,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時(shí)兩邊對(duì)求導(dǎo)得;故C選項(xiàng)符合題意.對(duì)于D選項(xiàng):由的對(duì)稱(chēng)中心為,即,兩邊對(duì)求導(dǎo)得,結(jié)合C選項(xiàng)分析結(jié)論,可知,所以這表明了的周期為4,因此,注意到,所以;故D選項(xiàng)符合題意.故選:ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題有兩個(gè)關(guān)鍵之處,一方面:的周期以及對(duì)稱(chēng)中心并舉反例排除B選項(xiàng);另一方面:得出的對(duì)稱(chēng)軸,進(jìn)而求出的奇偶性、周期性.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______.【答案】15【解析】【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng),當(dāng)?shù)闹笖?shù)為0時(shí),求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,,令,得,所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為:1514.有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,其中甲工廠生產(chǎn)的占,乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號(hào)產(chǎn)品的次品率分別為,,則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是______.【答案】0.024【解析】分析】利用全概率公式直接求解.【詳解】設(shè),分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,表示取到次品,則,,,,從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為:,故答案為:0.024.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意對(duì)直線斜率存在與否進(jìn)行分類(lèi)討論,由焦半徑公式寫(xiě)出的表達(dá)式,并利用基本不等式求出其最小值.【詳解】如下圖示:易知焦點(diǎn),設(shè),且當(dāng)直線斜率不存在時(shí)(如圖中虛線所示),可知,此時(shí);當(dāng)直線斜率存在時(shí),可設(shè)直線方程為,顯然,聯(lián)立直線和拋物線方程,消去整理可得,利用韋達(dá)定理可知,又利用焦半徑公式可知,所以可得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立;綜上可得,的最小值是.故答案為:16.一個(gè)封閉的圓臺(tái)容器(容器壁厚度忽略不計(jì))的上底面半徑為1,下底面半徑為6,母線與底面所成的角為.在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體,則正方體的棱長(zhǎng)的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意可求出圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的半徑,使正方體外接于球即可求出正方體的最大棱長(zhǎng).【詳解】如下圖所示:根據(jù)題意可知;又母線與底面所成的角為,即,易得;設(shè)圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的球心為,且與底面和母線分別切于兩點(diǎn),所以可知球的半徑,此時(shí)球的直徑為,即此時(shí)球與圓臺(tái)上底面不相切,因此圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的直徑為;若放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體,要求正方體棱長(zhǎng)最大,需要正方體的中心與球心重合,且該球是正方體的外接球,設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為,滿足,解得.故答案為:四、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,E為棱的中點(diǎn).(1)證明:平面ACE;(2)若F是棱上一點(diǎn),且二面角的余弦值為,求BF.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】【分析】(1)解法一:連接交于點(diǎn),連接,可得,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;解法二:以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面ACE的法向量,證明即可;(2)以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面ACE的法向量為,設(shè),求出平面的法向量,根據(jù)即可求解.【小問(wèn)1詳解】解法一:證明:連接交于點(diǎn),連接,則中點(diǎn),又為中點(diǎn),所以,又平面,平面,所以平面.解法二:如圖,以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,所以,.設(shè)平面ACE的法向量為,則,令,則,,所以取.又,所以,所以.又平面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】如圖,以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以取.設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以取.因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?,解得,?18.已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求A;(2)若D為邊BC上一點(diǎn),且,,證明:為直角三角形.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)求解即可;(2)解法一:根據(jù)向量運(yùn)算可得,進(jìn)而結(jié)合向量模的計(jì)算公式可得,進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求證;解法二:直接利用余弦定理結(jié)合,進(jìn)而化簡(jiǎn)即可求證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,?又,所以.又,所以,即.【小問(wèn)2詳解】解法一:因?yàn)?,所?即,所以,所以.因此,又,所以,所以,所以為直角三角形.解法二:因?yàn)椋?,所以,又,,所以,?又,所以,即,所以,所以,所以.因此,所以,所以為直角三角形.19.已知數(shù)列,滿足,,記為的前n項(xiàng)和.(1)若為等比數(shù)列,其公比,求;(2)若為等差數(shù)列,其公差,證明:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)由為等比數(shù)列,其公比,可得是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,利用公式求前n項(xiàng)和.(2)求出的通項(xiàng),可得,通過(guò)累乘法或構(gòu)造常數(shù)列,求出的通項(xiàng),利用公式求前n項(xiàng)和,可證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,,,所以,所以.又,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以.【小問(wèn)2詳解】解法一:因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,,,所以,所以.因?yàn)?,即,所以,所以?dāng)時(shí),.又符合上式,所以.所以.解法二:因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,,,所以,所以.因?yàn)椋矗?,所以?shù)列為常數(shù)列.因此,所以.所以.20.甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽,采用局n勝制(當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí),該選手獲勝,比賽結(jié)束).已知每局比賽甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為.(1)若,,比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)若比對(duì)甲更有利,求p的取值范圍.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析,(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,得到所有可能取值為,求得相應(yīng)的概率,列出分布列,結(jié)合期望的公式,即可求解;(2)解法一:分別求得采用3局2勝制和5局3勝制,甲最終獲勝的的概率,和,結(jié)合,即可求解;解法二:用,表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù),得到和,分別求得甲最終獲勝的的概率,和,結(jié)合,即可求解;【小問(wèn)1詳解】解:依題意得,隨機(jī)變量所有可能取值為,可得,,所以隨機(jī)變量的分布列為23所以的數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】解法一:若采用3局2勝制,甲最終獲勝的概率為,若采用5局3勝制,甲最終獲勝的概率為:,若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利,則,即,解得.解法二:采用3局2勝制,不妨設(shè)賽滿3局,用表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù),則,甲最終獲勝的概率為:,采用5局3勝制,不妨設(shè)賽滿5局,用表示5局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù),則,甲最終獲勝的概率為:,若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利,則,即,解得.21.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn).(1)求C的方程;(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),且直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列.(i)求的斜率;(ii)求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(i)(ii)【解析】【分析】(1)利用左焦點(diǎn)和點(diǎn)求出,即可求出C的方程;(2)(?。┰O(shè)出直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出直線OP,PQ,OQ的斜率,即可求出直線的斜率;(ii)表達(dá)出點(diǎn)O到直線PQ的距離,線段PQ的長(zhǎng)度,進(jìn)而表達(dá)出的面積,即可得到面積的取值范圍.

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