高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義課件新人教A版選修122

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義復(fù)數(shù)的加、減法法那么及幾何意義與運算律必備知識·自主學(xué)習(xí)(a-c)+(b-d)i【思考】(1)兩個復(fù)數(shù)的和或差得到的結(jié)果是什么提示:結(jié)果仍然是唯一的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)的加法法那么可以推廣嗎提示:可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形.【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞,錯的打“×〞)(1)兩個復(fù)數(shù)的加法不滿足結(jié)合律. ()(2)復(fù)數(shù)的加法運算法那么只適用于兩個復(fù)數(shù)相加. ()(3)復(fù)數(shù)與向量一一對應(yīng). ()提示:(1)×.復(fù)數(shù)的加減法滿足結(jié)合律.(2)×.可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加.(3)×.正確說法是:復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量:=(a,b)一一對應(yīng).2.(教材二次開發(fā):練習(xí)題改編)z=11-20i,那么1-2i-z等于 ()A.z-1 B.z+1【解析】選C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.3.假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,那么z的虛部是 ()【解析】選=1-(3-4i)=-2+4i.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的加減運算(數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】1.計算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

2.x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),那么x=_______,y=_______.

3.z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數(shù),假設(shè)z1-z2=5-3i,那么|z1+z2|=________.

【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

111-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,那么z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.答案:【解題策略】復(fù)數(shù)加、減運算法那么的記憶(1)復(fù)數(shù)的實部與實部相加減,虛部與虛部相加減.(2)把i看作一個字母,類比多項式加減中的合并同類項.提醒:注意運算格式及范圍,防止出錯在進行復(fù)數(shù)減法運算時要注意格式,兩復(fù)數(shù)相減所得結(jié)果依然是一個復(fù)數(shù),其對應(yīng)的實部與虛局部別是兩復(fù)數(shù)的實部與虛部的差.注意中間用“+〞號,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).【補償訓(xùn)練】1.復(fù)數(shù)z+3i-3=3-3i,那么z= ()【解析】選D.因為z+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.2.復(fù)數(shù)z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,假設(shè)z1+z2是純虛數(shù),那么實數(shù)a=________.

【解析】由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數(shù),所以解得a=3.答案:3類型二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義(數(shù)學(xué)運算、直觀想象)【典例】1.設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,那么 ()1+z2+z31-z2-z3=01-z2+z31+z2-z3=02.在復(fù)平面內(nèi),假設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為7+i,3-2i,那么||=________.

3.如下圖,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別表示復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復(fù)數(shù).(2)對角線表示的復(fù)數(shù).(3)對角線表示的復(fù)數(shù).【解析】1.選D.因為,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.答案:53.(1)因為,所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)因為,所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為對角線,所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【解題策略】利用復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義解題的技巧及常見結(jié)論

(1)技巧.①形轉(zhuǎn)化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理;②數(shù)轉(zhuǎn)化為形:對于一些復(fù)數(shù)運算也可以給予幾何解釋,使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中.(2)常見結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點分別為A,B,z1+z2對應(yīng)的點為C,O為坐標(biāo)原點,那么四邊形OACB:①為平行四邊形;②假設(shè)|z1+z2|=|z1-z2|,那么四邊形OACB為矩形;③假設(shè)|z1|=|z2|,那么四邊形OACB為菱形;④假設(shè)|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,那么四邊形OACB為正方形.【跟蹤訓(xùn)練】(2021·全國Ⅱ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,那么|z1-z2|=__________.

【解析】因為|z1|=|z2|=2,可設(shè)z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=+i,所以兩式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化簡得cosθcosα+sinθsinα=-,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|答案:2

【補償訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,假設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2i【解析】選D.在平行四邊形ABCD中,=3+i-(-1+3i)=4-2i.類型三復(fù)數(shù)模的最值問題(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)【典例】1.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()B.D.2.假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【思路導(dǎo)引】1.設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,那么點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為:動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值.2.滿足|z++i|≤1的條件的點落在以(-,-1)為圓心,半徑為1的圓上以及內(nèi)部,那么|z|的最值即為求到原點的距離的最值.【解析】1.選A.設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為:動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值,因為|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.2.如下圖,=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【解題策略】

1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,實際上就是指復(fù)平面上的點Z到原點O的距離;|z1-z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點Z1,Z2兩點間的距離.2.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.【跟蹤訓(xùn)練】|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.【解析】因為|z|=1且z∈C,作圖如圖:所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點Q到復(fù)平面上的點P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.a,b為實數(shù),設(shè)z1=2+bi,z2=a+i,當(dāng)z1+z2=0時,復(fù)數(shù)a+bi為 (

)

【解析】選D.因為z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別是,那么|z1+z2|=()B.【解析】選B.由圖象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=.3.在復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中,對應(yīng)的復(fù)數(shù)是6+8i,對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4+6i,那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.2+14iB.1+7i【解析】選D.依據(jù)向量的平行四邊形法那么可得,