中考數(shù)學(xué)十大解題思路之換元法

中學(xué)數(shù)學(xué)中換元法的應(yīng)用與常見錯誤分析目錄第一章引言………4第二章在因式分解中的應(yīng)用………4第三章在化簡二次根式中的應(yīng)用…………………53.1設(shè)元代數(shù)，化已知為未知…………………53.2設(shè)元代式，無理變有理……………………5第四章在解方程中的應(yīng)用…………64.1分式方程……………………64.2一元二次方程………………74.3三角有理方程……………………7第五章在證明不等式中的應(yīng)用……85.1三角換元法………85.2改變換元后中間變量的范圍………9第六章?lián)Q元法常見錯誤分析………96.1將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談……………96.2改變換元后中間變量的范圍………………106.3換元的選擇不恰當(dāng)…………11結(jié)論……………12參考文獻……………12第一章引言換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變量來代替原式的一部分或改造原來的式子，使其簡化，問題便于解決。之所以說換元法重要，是因為換元思想是中學(xué)教學(xué)中要求掌握并熟練應(yīng)用的。在中考、高考的試卷也常出現(xiàn)運用換元法的試題。之所以說換元法應(yīng)用廣泛，是因為在因式分解、化簡二次根式、解方程、證明不等式等許多題型中都會運用到換元的思想。同時，由于學(xué)生概念不清，在換元過程中往往會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，因此需要對常見錯誤進行分析，防止犯錯。本文探討了換元法運用的最為常見也是最為重要的幾個問題，還指出了換元法運用中的常見錯誤以及如何解決這些錯誤的方法。第二章?lián)Q元法在因式分解中的應(yīng)用因式分解是初中代數(shù)課中一種重要的恒等變形，它是分式通分、約分、解方程以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)。學(xué)好因式分解，對以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。除教材上介紹的因式分解的方法外，換元法也是一種比較常用的方法。例1.分解因式：（濟南市2007）分析：如果將原式變形，就會得到一個二次多項式，不利于因式分解。換個角度考慮，可以將看成一個整體，則原式就變成這個整體為未知量的二次多項式。解：設(shè)原式例2.分解因式：分析：本題如果展開，就會出現(xiàn)四次多項式，不利于因式分解。因此可以嘗試用換元法進行因式分解。觀察原式中各個局部之間的簡單運算關(guān)系，有：，將其中兩部分設(shè)為輔助元，則可以表示出第三部分。解：設(shè)，,則。原式使用換元法的關(guān)鍵是選擇輔助元。在選擇輔助元時，要反復(fù)比較式子中重復(fù)出現(xiàn)的整體結(jié)構(gòu)，以便尋找最恰當(dāng)?shù)妮o助元。第三章?lián)Q元法在化簡二次根式中的應(yīng)用在化簡二次根式的過程中，常常會因為根式下的式子過于復(fù)雜而無從下手，這時可以考慮通過換元將復(fù)雜的式子簡單化，從而有助于二次根式的化簡，下面介紹兩種應(yīng)用換元法化簡二次根式的方法。3.1設(shè)元代數(shù)，化已知為未知例3.若，求的值分析：是一個較大、帶根號的無理數(shù)，直接代入較復(fù)雜，因此可以嘗試用字母換元代入。解：設(shè)，則，，且原式3.2設(shè)元代式，無理變有理例4.化簡（陜西省2008）分析：本題中的式子較復(fù)雜，可以利用換元，將無理式轉(zhuǎn)化為有理式，便于計算。解：設(shè)，，原式解題時，根據(jù)需要，把較大的數(shù)字或復(fù)雜的式子用字母代換，這樣會使得式子中的各種關(guān)系更加明朗，化簡或計算也會更加簡便。第四章?lián)Q元法在解方程中的應(yīng)用除了課本中介紹的解方程的基本方法以外，換元法也是解方程的一種常用的方法。如果方程的左端是一個復(fù)合函數(shù)：，，而方程和是比較簡單的方程，則可進行換元。令，這樣方程就轉(zhuǎn)化為，方便運算。但值得注意的是，換元后的方程定義域發(fā)生了變化，應(yīng)考慮增根或失根的可能。下面就列舉三種常見的用換元法可解的方程類型及換元方法。4.1分式方程形如令，原方程化為，即解得，原方程化為兩個簡單方程，，注意檢驗根。例5.解方程分析：此分式方程左邊的兩個分式互為倒數(shù)，可采用換元法來解。解：設(shè)，則，原方程化為解得，當(dāng)時，有，即，解得當(dāng)時，有，即，無實數(shù)解經(jīng)檢驗，是原方程的解。4.2一元二次方程形如令，原方程化為一元二次方程解得，原方程化為兩個簡單方程，當(dāng)是整式時，上述兩方程的根都是原方程的跟，當(dāng)是分式或無理式時，應(yīng)進行驗根。例6.解方程（哈爾濱2007）分析：則可以將看成整體進行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解。解：設(shè)，原方程化為，解之得，當(dāng)時，即，得，當(dāng)時，即，，經(jīng)檢驗，，，是原方程的根4.3三角有理方程形如運用萬能代換，得代數(shù)有理方程。需要注意的是，因的自變量允許值是，，縮小了未知量的范圍，因此用萬能代換解三角有理方程時，應(yīng)注意有失根的可能。例7.解方程分析：運用萬能代換，將原方程化為代數(shù)有理方程，再求解。解：設(shè)，原方程化為，解之得因此，經(jīng)檢驗，，是原方程的根從以上分析可以看出，換元的方法是以所討論方程的特有性質(zhì)為依據(jù)的，因此不同的方程就有不同的換元方法。因此，這種方法靈活性大，技巧性強，適當(dāng)?shù)膿Q元，可以將復(fù)雜的方程化簡，方便求解。第五章?lián)Q元法在證明不等式中的應(yīng)用不等式作為一個重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位。在不等式證明中，有些問題直接證明較為困難，但如果通過換元的思想與方法去解決就方便多了。下面列舉兩種基本的換元方法。5.1三角換元法三角換元是常用的一種換元方法，多用于條件不等式的證明。在解類似這些問題時，選用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題。例8.已知，且，求證：分析：由條件不難想到公式，假設(shè)，，其中，，這樣就將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題了。證明：設(shè)，，其中，，則當(dāng)，或時，等號成立。5.2增量換元法一般的，對稱式（任意互換兩個字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>b>c）的不等式，常用增量法進行換元，換元的目的是通過減元，使問題化難為易，化繁為簡。例9.已知>2,>2,求證：<分析：因為都在常量2附近變化，運用增量換元法，設(shè)，，其中>0，>0，再運算證明。證明：設(shè)，，其中>0，>0則<0故<不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個難點，換元法是常用的一種方法，然而在具體解題時要根據(jù)不同的條件和結(jié)論進行相應(yīng)的換元，技巧性很強。第六章?lián)Q元法常見錯誤分析雖然合理運用換元法能夠做到化繁為簡，化難為易的作用，但在使用過程中如果不注意等價轉(zhuǎn)化，往往會出現(xiàn)不易察覺的錯誤。錯誤常表現(xiàn)為：6.1將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談函數(shù)經(jīng)過換元就變?yōu)檫@種形式的復(fù)合函數(shù)。常常出現(xiàn)只考慮的單調(diào)性，而不考慮的單調(diào)性的情況，最終導(dǎo)致錯解。例10.試討論函數(shù)（<0）的單調(diào)性錯解：設(shè)，則因為在上是減函數(shù)，且<0所以（<0）是增函數(shù)分析：換元過后，只考慮了的單調(diào)性，沒有考慮的單調(diào)性，導(dǎo)致了錯解。正確的解答應(yīng)該在考慮的單調(diào)性的同時，還考慮到的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。正確解：設(shè)，則因為在上是增函數(shù)，又因為在上是減函數(shù)所以（<0）是減函數(shù)對于這種形式的復(fù)合函數(shù)，在考慮的單調(diào)性的同時，還要考慮的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。6.2改變換元后中間變量的范圍換元后，根據(jù)原自變量的范圍錯誤地確定中間變量的取值范圍的情況也常常發(fā)生。例11.若，求的取值范圍錯解：設(shè)，則：，所以且，，又>0且，即，所以分析：在用推得時，還包含了的情況，這實際上是錯解了的范圍，造成了非等價轉(zhuǎn)化，從而縮小了的范圍。正確解：設(shè)，則：，所以且所以通過原自變量的范圍求解中間變量范圍時一定要特別注意，既不能擴大范圍，也不能縮小范圍，在遇到比較難判斷的點時，可以代回原方程進行檢驗。6.3換元的選擇不恰當(dāng)換元的選擇不恰當(dāng)，不僅會使得計算變復(fù)雜，很多時候還會導(dǎo)致錯解。例12.設(shè)，求的最值錯解：因為，，所以設(shè)，，，即則，兩邊平方得：，的最大值為1，最小值為-1分析：事實上，由已知可得，，而上題假設(shè)將原函數(shù)的定義域擴大了，且條件中沒有，就導(dǎo)致了錯解。正確解法是重新?lián)Q元，再求的最值。正確解：因為，，又，所以，同理，即，設(shè)，，則，即又，所以，即，其中當(dāng)時，即，取最小值為1，當(dāng)時，即，取最小值為運用換元法時