16.2 二次根式的乘除（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》16.2二次根式的乘除知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一二次根式的乘法●●二次根式的乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.用字母表示為：a?b=a?b（a≥0，b≥0◆1、法則中的被開方數(shù)a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負(fù)數(shù).◆2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即根號(hào)外因數(shù)（式）之積作為根號(hào)外因數(shù)（式），被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)，即ma?nb=mnab（a≥0，b≥0）.◆3、二次根式相乘的結(jié)果是一個(gè)二次根式或一個(gè)有理式.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二積的算術(shù)平方根●●積的算術(shù)平方根性質(zhì)：a?b=a?b（a≥0，b≥0）◆1、該性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的乘法法則，其成立的前提條件是：積中的每個(gè)因數(shù)（式）都必須是非負(fù)數(shù)，即公式中的a和b必須滿足a≥0，b≥0，應(yīng)用此性質(zhì)可以化簡(jiǎn)二次根式.◆2、在進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算時(shí)，先將被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)（式）分解，然后將能開得盡方的因數(shù)（式）開方后移到根號(hào)外.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三二次根式的除法●●二次根式的除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.用字母表示為：ab=ab（a≥0，b◆1、法則中的被開方數(shù)a,b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負(fù)的且b不為0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要條件．◆2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時(shí)，可類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，將根號(hào)外因數(shù)（式）之商作為根號(hào)外因數(shù)（式），被開方數(shù)之商作為被開方數(shù)，即manb=mnab（a◆3、若商的被開方數(shù)中含有完全平方因數(shù)，應(yīng)運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四商的算術(shù)平方根商的算術(shù)平方根性質(zhì)：ab=ab（a≥0，b＞0）◆1、該性質(zhì)成立的前提條件是：公式中的a和b必須滿足a≥0，b＞0，因?yàn)榉帜覆荒転?，所以b＞0.◆2、該性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的除法法則，應(yīng)用此性質(zhì)可以達(dá)到化簡(jiǎn)二次根式的目的，在化簡(jiǎn)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（分式）的二次根式時(shí)，先將其化為ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，化去分母中的根?hào)即可知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五最簡(jiǎn)二次根式◆1、最簡(jiǎn)二次根式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．◆2、最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．題型一利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算題型一利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算【例題1】（2022秋?鄲城縣月考）下列計(jì)算正確的是（）A．45×25=85 B．53×42C．43×22=75 D．53×4解題技巧提煉1、運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，被開方數(shù)的積中有開得盡方的一定要開方;2、當(dāng)二次根式外有因數(shù)（式）時(shí)，就把根號(hào)外因數(shù)（式）相乘的積作為積中根號(hào)前的系數(shù)，把所有被開方數(shù)相乘的積作為被開方數(shù).【變式1-1】（2022秋?綏化期末）計(jì)算:22A．12 B．26 C．62 D【變式1-2】（2022秋?社旗縣期中）計(jì)算12A．16 B．±16 C．4 D．±4【變式1-3】（2022秋?普陀區(qū)期中）下列等式中，一定成立的是（）A．（a）2＝a B．a(chǎn)2=C．a(chǎn)2+b2=a+b 【變式1-4】計(jì)算:（1）；（2）；（3）；（4）.題型二直接運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)題型二直接運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)【例題2】化簡(jiǎn)下列各題：27（2）50（3）332（4）7×112；（5）18y3（y≥0）；（6）16a2b5（解題技巧提煉利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)要注意三點(diǎn)：一是公式中的限制條件，若積中的因數(shù)（式）不是非負(fù)數(shù)應(yīng)先將其化為非負(fù)數(shù)，再運(yùn)用公式化簡(jiǎn)；二是被開方法數(shù)一定是乘積的形式；三是二次根式中的隱含條件的挖掘.【變式2-1】（2022?河北）下列正確的是（）A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32 【變式2-2】給出下面四種解答過程，其中運(yùn)算正確的是（）A．(-25)×(-16)=-25×-16=（﹣5）×B．(-25)×(-16)=±25×16=±（5）×（C．(-25)×(-16)=25×16D．352-212【變式2-3】（2021春?饒平縣校級(jí)期中）若a＜0，b＞0，則化簡(jiǎn)a2A．a(chǎn)bab B．﹣abb C．a(chǎn)bb D．a(chǎn)b2b【變式2-4】設(shè)5=a，6=b，用含a，b的式子表示A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b【變式2-5】（2022春?臨邑縣期末）閱讀與思考：請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在學(xué)習(xí)完實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算之后，某數(shù)學(xué)興趣小組提出了一個(gè)有趣的問題：兩個(gè)數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關(guān)系？小聰和小明分別用自己的方法進(jìn)行了驗(yàn)證：小聰：4×25=100=10，4×25=小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）2＝這就說(shuō)明4×25和4×25都是4×25的算術(shù)平方根，而4×25的算術(shù)平方根只有一個(gè)，所以任務(wù)：（1）猜想：當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，ab和a×（2）運(yùn)用以上結(jié)論．計(jì)算：①16×36；②49×121；（3）解決實(shí)際問題：已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為100，寬為49，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．題型三二次根式的乘法運(yùn)算及化簡(jiǎn)題型三二次根式的乘法運(yùn)算及化簡(jiǎn)【例題3】計(jì)算．（1）36×210；（2）418×3223；解題技巧提煉二次根式的乘法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是對(duì)法則a?b=a?b（a≥0，b≥0）【變式3-1】計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）5×20；（2）（3）57×321；（4）（5）32x?6x3y5；（【變式3-2】計(jì)算下列各題：（1）23×12×143．（2）（3）﹣5827×113×54（5）3220×（-15）×（-1348）；（6）4m5題型四利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算題型四利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算【例題4】（2022秋?洛寧縣月考）計(jì)算11A．3 B．3 C．12 D．解題技巧提煉二次根式的除法運(yùn)算的過程中能約分的要先約分，最后的結(jié)果要運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【變式4-1】（2022春?萊西市期中）下列運(yùn)算中正確的是（）A．25?35=65 B．(23)2=6 C．6÷【變式4-2】（2022春?東莞市期中）計(jì)算8a÷A．2 B．6a C．2 D．4a【變式4-3】計(jì)算：（1）72÷2（2）12（3）320÷32223題型五直接運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)題型五直接運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)【例題5】化簡(jiǎn)：（1）516；（2）313；（3）18a(a＞0)；（4）9y8x解題技巧提煉直接利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，若分母中含有開不盡方的因數(shù)（式），可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，先將分式中的分子、分母同時(shí)乘一個(gè)不為0的數(shù)（式），使分母變?yōu)橐粋€(gè)完全平方數(shù)（式），然后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【變式5-1】（2022春?懷仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab?ba=1；②ab=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式5-2】化簡(jiǎn)：（1）12136；（2）（3）81x225y2（x≥0，y＞0）．（4）9x64y2（【變式5-3】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知a＜0，那么-4abA．2b-ab B．-2bab C．-2【變式5-4】（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）已知xy＜0，化簡(jiǎn)二次根式-xyA．x B．-x C．-x D．【變式5-5】（2022春?武隆區(qū)校級(jí)期中）把二次根式a-1A．--a B．-a C．-a D題型六二次根式的乘除混合運(yùn)算題型六二次根式的乘除混合運(yùn)算【例題6】（2021秋?嘉定區(qū)期中）計(jì)算：23解題技巧提煉二次根式的乘除法混合運(yùn)算與整式的乘除法混合運(yùn)算的方法相同，整式乘除法的法則和公式在二次根式乘除法中仍然適用，在運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算符號(hào)和運(yùn)算的順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).【變式6-1】（2022秋?即墨區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算16÷A．4 B．2 C．7 D．±2【變式6-2】（2022?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：（1）12÷（2）12（3）12【變式6-3】（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：2x1x÷34【變式6-4】（2022秋?奉賢區(qū)期中）計(jì)算2b【變式6-5】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：13-x題型七去掉分母中的二次根號(hào)題型七去掉分母中的二次根號(hào)【例題7】把下列各式中的分母化去：（1）2348；（2）3a+2；（3）25-3；解題技巧提煉去掉分母中的根號(hào)一般分為三步：“一移”，即將分子、分母中能開得盡方的因數(shù)（式）移到根號(hào)外；“二乘”，即將分子、分母同時(shí)乘分母的有理化因數(shù)（式）；“三化”，即化簡(jiǎn)計(jì)算.【變式7-1】化去下列各式中分母中的根號(hào)：（1）72；（2）2（3）36x（x＞0）；（4）22a2b（a＞0（5）113；（6）3x2y（x＞0，【變式7-2】（2022春?平橋區(qū)校級(jí)期末）下列各式中，與3-5A．3-5 B．3+5 C．5 D【變式7-3】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）在下列各式中，二次根式a-b的有理化因式（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)+b C．a(chǎn)-b D【變式7-4】二次根式的除法運(yùn)算通?？梢圆捎没シ帜钢械母?hào)的方法來(lái)進(jìn)行．例如32=3×22×2=62（1）23（2）35（3）aba【變式7-5】化去式子x-2+x2-4題型八最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別題型八最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別【例題8】（2021秋?射洪市校級(jí)月考）下列根式中，屬最簡(jiǎn)二次根式的是（）27 B．x2+1 C．12 解題技巧提煉判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式，就看它是否滿足下面的兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這兩個(gè)條件缺一不可.【變式8-1】（2021秋?金山區(qū)期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．9a B．3a3 C．a(chǎn)+12 【變式8-2】（2022?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）將下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)與2的被開方數(shù)不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【變式8-3】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）二次根式中：a2+b2、0.5、4a、x3y【變式8-4】（2022?鄭州二模）若x-2是最簡(jiǎn)二次根式，寫出一個(gè)符合條件的x的值：．【變式8-5】（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）下列實(shí)數(shù)（1）6；（2）2；（3）15（4）x2+1；（5A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型九化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式題型九化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式【例題9】（2022春?靈寶市期中）把下列二次根式化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式：（1）32；（2）40；（3）1.5；（4）43解題技巧提煉化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來(lái)；③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)【變式9-1】（2022春?隴縣期末）將二次根式50化為最簡(jiǎn)二次根式．【變式9-2】（2022春?浉河區(qū)期末）把45化成最簡(jiǎn)二次根式為【變式9-3】（2021春?永嘉縣校級(jí)期中）化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式：512=；63【變式9-4】（2021春?靖宇縣期末）二次根式2x2y3（x、y均為正數(shù)）化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為【變式9-5】在下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？對(duì)不是最簡(jiǎn)二次根式的進(jìn)行化簡(jiǎn)．（1）45（2）13（3）52（4）0.5