淺談函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

淺談函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用貴州省習(xí)水縣第一中學(xué)袁嗣林摘要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，本文概括、總結(jié)了五種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.同時(shí)對(duì)每種方法的特點(diǎn)及適用范圍、注意事項(xiàng)采用舉例的方式作了具體的介紹，這有助于讀者更好地理解和掌握這些方法，從而能輕松的解決有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題.關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性；判斷方法；應(yīng)用OntheapplicationofmonotonefunctionsAbstract：Monotonicityofthefunctionisanimportantfunctionofthenatureofthissum,summedupthefivemethodstodeterminethefunctionofthemonotony,whilethecharacteristicsofeachmethodandapplication,notetheusemadebywayofexamplethespecificintroduction,whichhelpreadersbetterunderstandandmasterthesemethods,whichcaneasilysolvetheproblemofmonotonefunctions。KedWord：Monotonicfunction;methodtojudge;application函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，反映了函數(shù)值的變化規(guī)律.在高考中歷考彌新，考查的深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本。在討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)的單調(diào)性就必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.接下來(lái)我就來(lái)談?wù)労瘮?shù)單調(diào)性的應(yīng)用。一、函數(shù)單調(diào)性的判別單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一．導(dǎo)數(shù)的引入雖然給單調(diào)性的研究帶來(lái)了極大的方便，但是它并不能解決與單凋性有關(guān)的所有問(wèn)題．本文結(jié)合近幾年的試題談?wù)勁袛鄦握{(diào)性的幾種方法。．1.定義法（自變量增大函數(shù)值變小為減函數(shù)；反之，為增函數(shù)）例1判斷函數(shù)的單調(diào)性解因?yàn)?=，顯然當(dāng)為正數(shù)且逐漸增加時(shí),也逐漸增加，則其倒數(shù)逐漸減小，即函數(shù)值逐漸減小，所以函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù)．2.函數(shù)變換法由上面的定義法我們不難得到單調(diào)函數(shù)運(yùn)算后的一些結(jié)論：在同一個(gè)區(qū)間上，若f(x)、g(x)都是單凋增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)也是單凋增(減)函數(shù)；若f(x)單凋遞增，g(x)單凋遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；若f(x)單凋遞減，g(x)單凋遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減.例2判斷函數(shù)的單調(diào)性.解設(shè)，顯然當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)單凋遞增，而函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．由上面的運(yùn)算法則知函數(shù)f(X)在區(qū)間(0，+∞)上為增函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)由兩個(gè)函數(shù)g(x)與h(X)復(fù)合而成，則g(x)與h(x)單調(diào)性相同時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；g(x)與h(x)單調(diào)性不同時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即通常所說(shuō)的同增異減．多層復(fù)合，依此類(lèi)推．例3已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，記，若y=g(x)在區(qū)間[1/2，2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍()(A)（０，+∞）(B)（0，1)U(1，2)(C)(D)解因?yàn)?，所?1取特殊值又顯然=，所以方程=僅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．4.證明不等式在證明不等式中，通過(guò)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，將常量作為變量的瞬時(shí)狀態(tài)，置于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用其單調(diào)性證明一些不等式，十分便捷．例9已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證ab+bc+ca+1>0解構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，只需證x∈(-1，1)時(shí)f(x)>0恒成立．當(dāng)b+c=時(shí)，=1一b2>O恒成立．當(dāng)b+c≠0時(shí)，一次函數(shù)=(b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是單調(diào)的．因?yàn)?bc+b+c+1=(b+1)(c+1)>0，，f(-1)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，所以=(b+c)x+bc+1在x∈(-1，1)上恒大于零.綜上，當(dāng)|a|<1時(shí)，(b+c)a+bc+1>0恒成立，從而得證．例10已知f(x)為R上的減函數(shù),則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍()ABCD解析借助單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為自變量應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式.很容易可以做出選C.5.求參數(shù)的取值范圍例11已知f(x)是奇函數(shù)，在實(shí)數(shù)集R上又是單調(diào)遞減函數(shù)，且時(shí)求t的取值范圍.分析：因已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)將已知不等式移項(xiàng)后可得根據(jù)是減函數(shù)脫去，然后由式子特征構(gòu)造相應(yīng)單調(diào)函數(shù).解<設(shè)x=sin0<x<1化簡(jiǎn)：-3tx<-1解得t>.6.已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)