淺談構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

淺談構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用蘇傳忠在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)過程中，需要長期給學(xué)生進(jìn)行有針對性的數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。其中構(gòu)造法解題的思想，就是一種值得推廣的解題思想方法。通過構(gòu)造，可以建立起各種數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在熟練掌握各種數(shù)學(xué)知識的前提下交互使用，融會貫通。構(gòu)造幾何模型，使代數(shù)問題幾何化。代數(shù)運算雖然直接，但有時會比較抽象且運算復(fù)雜，構(gòu)造合乎要求的幾何圖形，可以是所求解的問題變得直觀明朗，從而找到一個全新的接替辦法。例一，設(shè)為實數(shù)，證明：以為邊長可以構(gòu)成一個三角形，且三角形的面積為定值。分析：從題目給出的三個根式我們知道，當(dāng)實數(shù)去互為相反的兩數(shù)時，只是其中兩式角色互換，實質(zhì)一樣，故只需爭對非負(fù)實數(shù)展開討論即可。FEFEDCBA構(gòu)造合乎要求的幾何圖形如圖所示：于是：所以：以為邊長可以構(gòu)成一個三角形，即。則：構(gòu)造方程模型，使幾何問題代數(shù)化。例二，周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，則給出證明，若存在，請證明一共有幾個？分析：設(shè)兩直角邊長為，斜邊為，面積為整數(shù)。于是原題中的條件可用方程組的形式給出如下：故原問題即為討論方程組使得面積為整數(shù)的解的情況。由前兩式得：，于是由韋達(dá)定理可構(gòu)造出以為根的方程是：若方程有解，則即：又：，∴∴∵為整數(shù)，∴為整數(shù)且：∴=8，∴代入方程可得：?？芍獫M足題目條件的三角形只有一個。三、構(gòu)造極端情況，找到題目要求的最值。例三、在一個有限的實數(shù)列中，任意七個連續(xù)項之和都是負(fù)數(shù)，而任意十一個連續(xù)項之和都是正數(shù)。試問：此數(shù)列最多能包含多少項？分析：根據(jù)題目所給已知條件，可構(gòu)造一個每橫行七個數(shù)，每縱列十一個數(shù)的數(shù)陣如下：考慮到?jīng)]一橫行為連續(xù)七項，其和小于0，沒一縱列為連續(xù)十一項，其和大于0。于是得到矛盾，所以，。另一方面有可以構(gòu)造一個連續(xù)十六項的數(shù)列滿足題目要求：6，6，-15，6，6，6，-16，6，6，-16，6，6，6，-15，6，6，故符合條件的數(shù)列最多有十六項。四、構(gòu)造對應(yīng)的平面模型，將空間問題降為平面問題處理。五個點中的三個點構(gòu)成三角形，而其余兩個點在三角形內(nèi)。如圖所示：QPQPEDCBA相交，不妨交AB于P，交AC于Q?？疾樗倪呅蜝DEC，不難發(fā)現(xiàn)，對角線BE、CD在其內(nèi)部，所以四邊形為凸四邊形。一般地，在一個平面內(nèi)給定個點，可以構(gòu)成個不同的五點集，從上面的討論可知，每個五點集中至少有一個以所給定點為頂點的凸四邊形，而同一個凸四邊形至多屬于個不同的五點集，故至少有個符合要求的凸四邊形。下面比較與的大?。寒?dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，∴對一切均成立。