2020-2021學年宜賓市高二年級上冊期末數(shù)學試卷(文科)(含解析)

2020-2021學年宜賓市高二上學期期末數(shù)學試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.己知直線I的方程為y=x+l,則它的傾斜角為（）

A二BjC_D了

2.直線x+2y+2=0與直線2x-y+l=0的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合

3.如圖所示是小明在某條道路所統(tǒng)計的某個時段來往車輛的車速情況，下列說法中正確的是

（）

.主球（輛）

A.中位數(shù)是52.5B.眾數(shù)是8C.眾數(shù)是52D.中位數(shù)是53

4.某單位有1260名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將1260人按1,2,1260

隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間［631,1200］的人數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

5.根據(jù)如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果i=（）襁'

A.6-一?~

皿=76

B.7----------

C.8*-----3

6.設(shè)a,b是關(guān)于t的方程/cos。+6譏。=0的兩個不等實根，則過做/小），^的,/）兩點的直線

27

與雙曲線二￡一三=1的公共點的個數(shù)為（）

cos20sin20

A.0B.1C.2D.3

7.設(shè)m,也是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，以下四個結(jié)論:

①若m〃a,旦n”B，則a///?；

②若？n1a,n1夕且?n1n,則a1夕;

③若mla,n///?Km1n,則a〃夕；

④若?n〃a,n_L0且m〃幾，則a_LS.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.③④C.②④D.①③

8.如圖回、國、團、團為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個幾何體依次分別為

二△

正視圖側(cè)視圖

（3）（4）

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺D.三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺

9.在平面坐標系xOy中，拋物線y2=2px的焦點尸與橢圓1+t=1的左焦點重合，點4在拋物線

62

上，且|AF|=4,若P是拋物線準線上一動點，則|PO|+|P*的最小值為（）

A.6B.2+4V2C.2V13D.4+2V5

10.如圖，在正方形4BC0-中，異面直線4C與所成的角是（

C.?

11.已知橢圓捺+'=l(a>b>0)的右焦點為尸，左頂點為4,點P在橢圓上，且PF14F,若

tan^PAF=J,則該橢圓的離心率e=()

12.已知點P為雙曲線捻一《=1((1>0方>())右支上一點，點6,尸2分別為雙曲線的左右焦點，點

/是APF/z的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)，若恒有SA/PR-SA/PEW孝SA/&FZ成立，則雙曲線的

離心率取值范圍是()

A.(1,V2)B.[V2,+oo)C.(1,72]D.(A/2,+00)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若點M(m,m-1)在圓C：/+y2一+4y+1=0內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍為.

14.如圖，矩形的長為6,寬為3,在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在影

陰部分的黃豆為125顆，則我們可以估計出影陰部分的面積約為.

15.在直三棱柱中，ABC-A'B'C,AB=AC=AA'=2,BC=且此三棱柱的各個頂點都在一

個球面上，則此球的體積為.

16.橢圓式+g=1的左焦點為&,過右焦點尸2的直線與橢圓相交于點力、B.則△力&B的周長是

43

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知直線h3%—2y+4=0.

(1)若直線m與，垂直且過點(0,1),求m的方程；

(2)若直線九與1平行且點(0,1)到九的距離為舊，求久的方程.

18.某中學有6名愛好籃球的高三男生，現(xiàn)在考察他們的投籃水平與打球年限的關(guān)系，每人罰籃10次,

b_￡仁」2一%）（斗-'）=￡之1肛穴一叱^

%i（&r）2^n^2_2

其打球年限與投中球數(shù)如下表：xnx

<a=y—bx

(I)求投中球數(shù)y關(guān)于打球年限X(%ENf0<x<16)的線性回歸方程,

（n）若第6名同學的打球年限為ii年，試估計他的投中球數(shù)（精確到整數(shù)）.

學生編號12345

打球年限X/年35679

投中球數(shù)y/個23345

19.如圖為正六棱柱ZBCDEF-AiBiGAEiFi，底面邊長AB=a,高441=九.

（1）若a=h,求異面直線BDi和C&所成角的大小；

（2）計算四面體BCD1a的體積（用a,h來表示）；

（3）若正六棱柱為一容器（有蓋），且底面邊長a和高人滿足：2/i+Ba=K（K為定值），則當?shù)酌孢呴La

和高力分別取得何值時，正六棱柱的表面積與體積之比最?。?/p>

20.某工廠有工人1000名，為了提高工人的生產(chǎn)技能，特組織工人參加培訓.其中250名工人參加

過短期培訓（稱為4類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）.現(xiàn)從該工廠的工人

中共抽查了100名工人作為樣本，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)）,

得到4類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（圖1）,B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（圖2）.

ffil

(1)在樣本中求A類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)若規(guī)定生產(chǎn)能力在［130,150］內(nèi)為能力優(yōu)秀，現(xiàn)以樣本中頻率作為概率，從1000名工人中按分層

抽樣共抽取n名工人進行調(diào)查，請估計這n名工人中的各類人數(shù)，完成下面的2x2列聯(lián)表.

能力與培訓時間聯(lián)表

短期培訓長期培訓合計

能力優(yōu)秀

能力不優(yōu)秀

合計

若研究得到在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為生產(chǎn)能力與培訓時間長短有關(guān)，則n的

最小值為多少？

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

參考公式：K2=n(ad-bc)

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

21.如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD，平面4BCC,底面ABCD是菱形，E,F分別為SB,AD的中點.

(I)證明：EF〃平面SCD；

(U)若nBAD=60。，SD=4,AB=2,求三棱錐C-DEF的體積.

s

22.(文科)已知橢圓C：冬+，=l(a>b>0)的左、右焦點為Fi，6，點P在橢圓C上，且△P&F?面

積的最大值為百，周長為6.

(I)求橢圓C的方程，并求橢圓C的離心率：

(II)已知直線1：丫=々刀+1(憶>0)與橢圓。交于不同的兩點4,B,若在x軸上存在點使得

M與4B中點的連線與直線/垂直，求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由題意知，直線［的方程為y=x+l,

則直線的斜率k=1,所以直線的傾斜角是全

故選:B.

由直線方程求出直線的斜率，由k=tana求出直線的傾斜角.

本題考查直線的方程、直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：解：直線x+2y+2=0與直線2x-y+1=0中，

???1x2+2X(-1)=0,

.??直線x+2y+2=0與直線2x-y+1=0的位置關(guān)系是垂直.

故選:B.

利用兩直線中x的系數(shù)積與y的系數(shù)積之和為0,得到兩直線垂直.

本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查直線與直線平行與垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

3.答案：C

解析：

解：因為本次調(diào)查的車輛總數(shù)為2+5+8+6+4+2=27輛，所以中位數(shù)為第14個數(shù)據(jù)，即中位

數(shù)為52,眾數(shù)為52,故選：C.

此題考查條形圖，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的意義和求法是解決問題的關(guān)鍵.先根據(jù)圖形確定一定車速的車

的數(shù)量，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解.

4.答案:C

解析：解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從1260人中抽取42人，即從30人抽取1人.

所以從編號1?630的人中，恰好抽取^=21人，接著從編號631?1200中抽取罟言=19人.

故選：C.

根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從1260人中抽取42人，即從30人抽取1人.從而得出從編號631?1200中抽取

的人數(shù)即可.

本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

i=0,t=76

不滿足條件t<0,t=66,i=1

不滿足條件t<0,t=56,1=2

不滿足條件t<0,t—46,i=3

不滿足條件t<0,t=36,i=4

不滿足條件tWO,t=26,i=5

不滿足條件t<0,t=16,i=6

不滿足條件t<0,t=6,i=7

不滿足條件t<0,t=-4,i=8

滿足條件tWO,退出循環(huán)，輸出i的值為8.

故選：C.

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的t,i的值，當t=-4時，滿足條件tWO,退出循環(huán)，

輸出i的值為8.

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的3i的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本

知識的考查.

6.答案：A

解析：解："a,b是關(guān)于t的方程^cosO+ts譏。=0的兩個不等實根，

■?a+b=-ab=0,

COS0

過A(Q,Q2),B(4辦2)兩點的直線為y-=bja(%_),即y=(b+a)%-ab,

b-cia

onsinO

即y=一百”,

???雙曲線總一幕=i的一條漸近線方程為y=一翳的

?,?過A(Q,Q2),B(b,爐)兩點的直線與雙曲線磊一W=1的公共點的個數(shù)為0?

故選：A.

求出過4(a,a2),兩點的直線為y=-翳x,結(jié)合雙曲線的漸近線方程，可得結(jié)論.

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

7.答案：C

解析：解：對于①，若aC0=I,m,九為平面a,夕外的直線，且6〃n〃/,

顯然符合條件，但結(jié)論不成立，故①錯誤；

對于②，：TH1a,mln,故a內(nèi)存在一條直線n',使得n'//n,

?.?n_LS，J.n'16，又律'ua,a10,故②正確；

對于③，若an0=1,；mJLa,二m_L1,令《〃1,則顯然有m_Ln,

顯然符合條件，但結(jié)論不成立，故③錯誤；

對于④，mlla,a內(nèi)存在直線m'使得7n〃m',

m//n,..m'//n,又n10,二m'1夕，又m'ua,a_LG?故④正確.

故選：C.

根據(jù)空間線面位置的判定理證明或結(jié)合圖形舉出反例即可.

本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

8.答案：C

解析：試題分析：由三視圖與幾何體之間的對應(yīng)關(guān)系可知(1)(2)(3)(4)依次為三棱柱、正四棱錐、圓

錐、圓臺.

考點：空間幾何體的三視圖.

點評：掌握常見幾何體的三視圖是解決這類小題的關(guān)鍵，平時要多畫柱、錐、臺體的三視圖，提高

自己的空間想象能力.

9.答案：C

解析：

確定拋物線方程,利用拋物線的定義由|”|=4得到4到準線的距離為4,即可求出點4的坐標，根據(jù)：

“伊川+|P0|”相當于在準線上找一點，使得它到兩個定點的距離之和最小，最后利用平面幾何的

方法即可求出距離之和的最小值.

此題考查學生靈活運用拋物線的簡單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運用點到點的距離、對稱性化簡求

值，是一道中檔題.

解：?橢圓江+些=1的左焦點為(—2,0),

62

?,?拋物線的方程為y2=-8x,其準線為x=2,

???\AF\=4,由拋物線的定義得，

4到準線的距離為4,即4點的橫坐標為—2,

又點4在拋物線上，???從而點力的坐標4(-2,4)；

坐標原點關(guān)于準線的對稱點的坐標為8(4,0)

則伊川+|PO|的最小值為：|力8|=7(4+2)24-(0-4)2=2V13.

故選：c.

10.答案：c

解析：解：如圖,連接。住,ADlt則

二是異面直線AC與所成的角,且A/lCDi是等邊三角形,

.?屏面直線"與所成的角是半

故選：C.

可連接。1C,AD.,從而可得出44CD1為異面直線AC與所成的角，并可看出△4CD】是等邊三角

形，從而可得出乙4CD］的值.

本題考查了異面直線所成角的定義及求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：C

解析：解由題意可得P的橫坐標為x=c代入橢圓的方程可得|力|

b2

7

I，可得些=3即21

由tan/PAF=b

za+c2a(a+c)2’

而=a2—c2,

整理可得：2c2+ac—。2=。，［!P2e2+e—1=0>eG(0,1)>解得e=%

故選：C.

由橢圓的方程及題意可得P的橫坐標，代入橢圓方程求出P的縱坐標，由正切值及a,b,c的關(guān)系可

得橢圓的離心率可得.

本題考查橢圓的性質(zhì)，由PFL4尸可得P的橫坐標，P在橢圓上可得它的縱坐標，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：

【試題解析】

根據(jù)條件和面積公式得出a,c的關(guān)系，從而得出離心率的范圍.

本題考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，考查計算能力，是中檔題.

解：設(shè)APFiF2的內(nèi)切圓半徑為八則S.PFI=?伊&1"，S^PF2=\-\PF2\-r,

SA/FTE=1I&F2I"，

S^lPF、—S4IPF2w,SA/F/Z成乂，

???|尸01一仍尸2|三日儼/2|，

由雙曲線的定義可知：IPF1I-\PF2\=2a,\FrF2\=2c,

.1.a<—c>即*2V2,

-2a

二雙曲線的離心率的范圍是：［迎,+8).

故選正

13.答案：(-1,1)

解析：解：；點在圓C：M+y?-2x+4y+1=0內(nèi)，

:.m2+(m—I)2—2m+4(m—1)+1<0,

即Tn?<1,則一1<m<1.

?1?Hl的取值范圍是(-1,1).

故答案為：(-1,1).

由題意，把M的坐標代入圓的方程的左邊，可得m2+(m-I)2-2m+4(m-1)+1<0,求解得答

案.

本題考查點與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

14.答案：y

解析：

本題考查的知識點是幾何概型與隨機模擬實驗，利用陰影面積與矩形面積的比例約為黃豆落在陰影

區(qū)域中的頻率，構(gòu)造關(guān)于$版的方程，是解答本題的關(guān)鍵.

由已知中矩形的長為6,寬為3,我們易計算出矩形的面積，根據(jù)隨機模擬實驗的概念，我們易得陰

影部分的面積與矩形面積的比例約為黃豆落在陰影區(qū)域中的頻率，由此我們構(gòu)造關(guān)于S版的方程，

解方程即可求出陰影部分面積.

解：???矩形的長為6,寬為3,貝IJS矩形=18

.S陰_S陰_125

>'(----=-----=------

300

15

"ScS9=~

故答案為：*

15.答案：室兀

3

解析：解：???△ABC中，AB=AC=2,BC=WAB=2相

???cosZ.BAC=-5結(jié)合NB4Ce（0,乃）得NB4C=120°

再根據(jù)正弦定理，得A/WC的外接圓直徑2R=空；=4,即R=2

設(shè)三棱柱外接球的球心為。，△ABC的外接圓心為01，則001=1AA'=1

可得CM=V5

4

-。屋=*

???外接球的體積為S37T

故答案為：變!7r.

3

在△力BC中結(jié)合正余弦定理，算出它的外接圓半徑R=2,設(shè)三棱柱外接球的球心為0,△ABC的外

接圓心為。「在Rtaaoo】中利用勾股定理算出。2的長，即為外接球的半徑，最后根據(jù)球的體積公

式，可得三棱柱外接球的體積.

本題給出特殊三棱柱，求它的外接球體積，著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、球的體積公式和多面體的

外接球等知識，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：8

22個y

解析：解：???橢圓方程為：二+匕=i,,

43A

橢圓的長半軸a=2,-7vxs\

由橢圓的定義可得，+4七=2a=4,（

且+g=2a=4,kPJ

△AB&的周長為：AB+AR+BF1

=Q4&+Ba）+（AF2+BF2）=4a=8,

故答案為：8.

首先根據(jù)橢圓方程求出橢圓的長半軸a，再根據(jù)橢圓的定義得到”1+AF2=BF1+BF2=2a=4,

最后將此式代入到三角形4B&的周長表達式中，即可得到答案.

本題以橢圓中的三角形為例，考查橢圓的定義、標準方程，以及橢圓簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：⑴可得直線八3x-2y+4=0的斜率為|,

二由垂直關(guān)系可得直線小的斜率為-1，

二直線ni的方程為：y-l=-|(x-O)

化為一般式可得2久+3y—3=0；

(2)由平行關(guān)系設(shè)直線九的方程為3%-2y+c=0,

由點到的距離公式可得/七，=飆

解得c=15或c=-11,

???直線71的方程為3x-2y+15=0,3x-2y-11=0,

解析：(1)由垂直關(guān)系可得直線m的斜率，可得點斜式方程，化為一般式即可；

(2)由平行關(guān)系設(shè)直線n的方程為3x-2y+c=0,由平行線間的距離公式可得c的方程，解得c可得

直線n方程.

本題考查直線的一般式方程和平行垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

18.答案：解：(I)設(shè)所求的線性回歸方程為;=bx+a，

則￡=巳x(3+5+6+7+9)=6,

y=|x(2+3+3+44-5)=3.4,

計算回歸系數(shù)=喋=

b=栗式牛修-，工晤)2之200.5,

a=y—bx=0.4；

所以投中球數(shù)y關(guān)于打球年限》的線性回歸方程為

y=0.5x+0.4(其中％6N,且0SxW16)；(8分)

(II)當x=11時，y=0,5x+0.4=0.5x11+0.4=5.9?6，

可以估計第6名同學投中球數(shù)為6個.(12分)

解析：(I)設(shè)所求的線性回歸方程為;=bx+a，計算■7-求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；

(U)利用回歸方程計算x=11時;的值即可.

本題考查了回歸直線方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

19.答案：解：（1）以底面正六邊形的中心0為坐標原點，以4。所在直線為%軸，以的垂直平分線

為y軸，

建立如圖所示空間直角坐標系.

則B(當見一.0),。式0,@,九),C(^a,^a,0)?

Fi（—11見九），

BD1=（一ci,—ci,h^yCF]—（—-a,九），

設(shè)異面直線BA和Ca所成角的大小為仇

則cos。=|cos<BD；,CF；>I西函_產(chǎn)匚

|西卜|西—>/3a2+h2V4a2+h2

_M_f

―2/1-V5/1-10

?,?異面直線BDi和CF1所成角的大小為arccos奈

（2）在正六棱柱ABCDEF—4]BiGDiEiFi中，求得=百a,

22

CDr=Va+h,C&=、4砂+九2,則D/；+CD；=CF/,

得CZ)i_LD/i,S&CDIM=1,V3a?Va2+h2.

D]C=(亨Q,一￡Q,一九)，D1F1=(一苧a,一|a,0).

設(shè)平面CD1&的一個法向量為五=（%,y,z）,

n?DC=ax—^ay—hz=

r09n

,?。?遮，得記=(V3,—lz—).

n?D\F；=—ax—|ay=0

CB=(0,—a,0)>

\n-CB\_aah

??.8到平面CD10的距離d=

司=用=2yJa2+h2?

???四面體BCD抵的體積為U許/-普=誓

(3)正六棱柱的表面積S=12?|a2,sm60°+6ah=3V3a2+6a/i.

正六棱柱的體積昨手M

又2/I+8Q=K,且Q>0,h>0,

S3^3a2+6a/i2V3a+4/i2K

—=----------------N2KT屋.

V乎2ahy/3ah\f3ah

當且僅當2h=V5a=；即a=^K，h=g時上式等號成立.

264

解析：(1)以底面正六邊形的中心。為坐標原點，以/。所在直線為x軸，以4D的垂直平分線為y軸，

建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出西與西?的坐標，由兩向量所成角求解異面直線BQ和GF1

所成角的大小；

(2)求出三角形CD】Fi的面積，再由向量法求出B到平面CD10的距離，代入三棱錐體積公式求解；

(3)分別求出正六棱柱的表面積與體積，再由基本不等式求最值.

本題考查空間中異面直線所成角、多面體體積及表面積的求法，訓練了利用空間向量求解空間角及

點到面的距離，考查運算求解能力，屬難題.

20.答案：解：(1)由莖葉圖知4類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)為123,

由頻率分布直方圖，估計B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)為

xD=115x0.04+125x0.36+135x0.4+145x0.2=4.6+45+54+29=132.6；

(2)由(1)及所給數(shù)據(jù)得能力與培訓的2x2列聯(lián)表如下：

短期培訓長期培訓合計

n9nlln

能力優(yōu)秀

1020~20

3n3n9n

能力不優(yōu)秀

201020

n3n

合計n

4~4

.n3n3n215n

由上表得k=Mgggg==^>16828,

4420204X4X20X20

解得n>357.324,又人數(shù)必須取整，

??.n的最小值為360.

解析：(1)由莖葉圖求A類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，

由頻率分布直方圖計算B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)；

(2)由題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值結(jié)合題意得出n的最小值.

本題考查了莖葉圖與頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基

礎(chǔ)題.

21.答案：(I)證明：如圖，取SC的中點G,連接DG,EG,

vE是SB的中點，

.??EG是△SBC的中位線，

B

EG//BC,EG=^BC.

5LDF//BC,DF=\BC,

：.EG//DF,EG=DF,

二四邊形EGDF是平行四邊形，

EF//DG.

又EFC平面SCD,DGu平面SCD,

EF〃平面sm

（U）解：如圖，連接AC,B。交于點0,連接E0,

???BO=OD,￡

EO//SD,EO=|SD=2./：

又SDJ_平面4BCC,/：A

EO_L平面ABCD./V/