《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級奧數(shù)》第30講 用還原法解題（附答案）

《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級奧數(shù)專題》第30講用還原法解題

一、專題簡析：

“一個數(shù)加上3,乘3,再減去3,最后除以3,結(jié)果還是3,這個數(shù)是幾？”

像這樣已知一個數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果，求原來的數(shù)，我們通常把它叫做

“還原問題”。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。

解答還原問題，我們可以根據(jù)題意，從結(jié)果出發(fā)，按它變化的相反方向一步步

倒著推想，直到問題解決。同時，可利用線段圖表格幫助理解題意。

二、精講精練

例1：一個減24加上15,再乘8得432,求這個數(shù)。

練習(xí)一

1、一個數(shù)加上3,乘3,再減去3,最后除以3,結(jié)果還是3。這個數(shù)是幾?

2、一個數(shù)的4倍加上6減去10,再乘2得88,求這個數(shù)。

例2：一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩8米。這段

布原來長多少米？

練習(xí)二

1、某水果店賣西瓜，第一次賣掉總數(shù)的一半，第二次賣掉剩下的一半，這時還

剩10只西瓜。原有西瓜多少只？

2、某人乘船從甲地到乙地，行了全程的一半時開始睡覺，當(dāng)他睡醒時發(fā)現(xiàn)船又

行了睡前剩下的一半，這時離乙地還有40千米。甲、乙兩地相距多少千米？

例3:甲、乙、丙三人各有一些連環(huán)畫，甲給乙3本，乙給丙5本后，三人的

本數(shù)同樣多。乙原來比丙多多少本？

練習(xí)三

1、小松、小明、小航各有玻璃球若干個，如果小松給小明10個，小明給小航6

個后，三人的個數(shù)同樣多。小松比小航多多少個？

2、甲、乙、丙三個組各有一些圖書，如果甲組借給乙組13本后，乙組又送給

丙組6本，這時三個組的圖書本數(shù)同樣多。原來乙組和丙組哪組的圖書多，多

幾本？

例4：李奶奶賣雞蛋，她上午賣出總數(shù)的一半多10個，下午又賣出剩下的一半

多10個，最后還剩65個雞蛋沒有賣出。李奶奶原來有多少個雞蛋？

練習(xí)四

1、竹籃內(nèi)有若干個李子，取它的一半又1枚給第一人，再取余下的一半又2枚

給第二人，還剩6枚。竹籃內(nèi)原有李子多少枚？

2、王叔叔拿工資若干元，從工資中拿出一半多10元存入銀行，又拿出余下的

一半多5元買米、米，剩下80元買菜。王叔叔拿工資多少元？

例5：小紅、小青、小寧都喜愛畫片，如果小紅給小青11張畫片，小青給小

寧20張畫片，小寧給小紅5張畫片，那么他們?nèi)说漠嬈瑥垟?shù)同樣多。已知他

們共有畫片150張，他們?nèi)嗽瓉砀饔挟嬈嗌購垼?/p>

練習(xí)五

1、三筐蘋果共放90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出20

千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時三筐蘋果就同樣重。甲、乙、

丙筐原來各有蘋果多少千克？

2、三年級三個班共有學(xué)生156人，若從一班調(diào)5人到二班，從二班調(diào)8人到三

班，從三班調(diào)4人到一班，這時每個班的人數(shù)正好相同。三個班原來各有學(xué)生

多少人？

三、課后作業(yè)

1、一個數(shù)縮小2倍，再縮小2倍得80,求這個數(shù)。

2、有一箱蘋果，第一次取出全部的一半多1個，第二次取出余下的一半多1個,

箱里還剩下10個。箱里原有多少個蘋果？

3、甲、乙、丙三個小朋友各有年歷卡若干張，如果甲給乙13張，乙給丙23張,

丙給甲3張，那么他們每人各有30張。原來3人各有年歷卡多少張？

4、媽媽買來一些橘子，小明第一天吃了一半多2個，第二天吃了剩下的一半少

2個，還剩下5個。媽媽買了多少個橘子？

5、小林、小方、軍軍、小敏四個好朋友都愛看書，如果小林給小方10本書，

小方給軍軍12本書，軍軍給小敏20本，小敏再給小林14本，四個人書的本數(shù)

同樣多。已知他們共有112本書，他們4人原來各有多少本書？

答案

第三十周用還原法解題

專題簡析：

“一個數(shù)加上3,乘3,再減去3,最后除以3,結(jié)果還是3,這個數(shù)是幾？”

像這樣已知一個數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果，求原來的數(shù)，我們通常把它叫做

“還原問題”。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。

解答還原問題，我們可以根據(jù)題意，從結(jié)果出發(fā)，按它變化的相反方向一

步步倒著推想，直到問題解決。同時，可利用線段圖表格幫助理解題意。

例題1一個減24加上15,再乘8得432,求這個數(shù)。

思路導(dǎo)航：我們可以從最后的結(jié)果432出發(fā)倒著推想。最后是乘8得432,

如果不乘8,那應(yīng)該是432:8=54；如果不加上15,應(yīng)該是54—15=39；如果不

減去24,那應(yīng)該是39+24=63。

因此，這個數(shù)是63。

練習(xí)一

1,一個數(shù)加上3,乘3,再減去3,最后除以3,結(jié)果還是3。這個數(shù)是幾？

答案

解：(3X3+3)+3—3

=4—3

=1

答：這個數(shù)是L

故答案為：

1

解析

從后向前來推算，①“除以3,結(jié)果還是3”，則前一個數(shù)是3X3=9；②“減去3等于9”，則前一

個數(shù)是9+3=12；③“乘以3等于12”，則前一個數(shù)是12+3=4；④“加上3,等于4”,則原來的數(shù)是4-3=1.

此題考查了逆推的思想，即從后向前一步步推出.本題已知一個數(shù)加上3,乘以3,再減去3,最后除

以3,結(jié)果還是3,所以可列出算式：(3X3+3)+3—3.

2,一個數(shù)的4倍加上6減去10,再乘2得88,求這個數(shù)。答案

解：設(shè)這個數(shù)為X,可得方程：

(4x+6-10)X2=88.

8x+12-20=88,

8x=96,

x=12.

答：這個數(shù)是12.

解析

提示1：本題可列方程解答，設(shè)這個數(shù)為x,則其4倍為4x,4x加6的和為4x+6,它們的和減去10

的差為4x+6-10,它們的差乘2的積為(4x+6-10)X2,則可得方程：(4x+6-10)X2=88.

提示2：完成本題要注意分析條件中“加上、減去、乘”此類體現(xiàn)數(shù)據(jù)之間關(guān)系及運(yùn)算順序的詞語.解:

設(shè)這個數(shù)為X,可得方程：

(4x+6-10)X2=88.

8x+12-20=88,

8x=96,

x=12.

答：這個數(shù)是12.

3,一個數(shù)縮小2倍，再縮小2倍得80,求這個數(shù)。答案

這個數(shù)=80X2X2=320

例題2一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩8米。

這段布原來長多少米？

思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出線段圖。

從上面的線段圖可以看出：剩下的8米和余下的一半同樣多，那么原長的

一半是：8X2=16米，原來長：16X2=32米。

練習(xí)二

1,某水果店賣西瓜，第一次賣掉總數(shù)的一半，第二次賣掉剩下的一半，這

時還剩10只西瓜。原有西瓜多少只？答案

40個

2,某人乘船從甲地到乙地，行了全程的一半時開始睡覺，當(dāng)他睡醒時發(fā)現(xiàn)

船又行了睡前剩下的一半，這時離乙地還有40千米。甲、乙兩地相距多少千米？

答案160千米

3,有一箱蘋果，第一次取出全部的一半多1個，第二次取出余下的一半多

1個，箱里還剩下10個。箱里原有多少個蘋果？答案46個

例題3甲、乙、丙三人各有一些連環(huán)畫，甲給乙3本，乙給丙5本后，三

人的本數(shù)同樣多。乙原來比丙多多少本？

思路導(dǎo)航：因?yàn)橐医o丙5本后，兩人同樣多，可知乙比丙多5X2=10本,

而這10本中又有3本是甲給的，所以原來乙比丙多10—3=7本。

練習(xí)三

1,小松、小明、小航各有玻璃球若干個，如果小松給小明10個，小明給

小航6個后，三人的個數(shù)同樣多。答案

解：10—6=4（個）

6—4=2（個）

答：小明原來比小航多2個.

故答案為：

2個

解析

小松給小明10個，小明得到10—6=4個，小航得到6個，6—4=2；小航多得到2個后兩人一樣多，

所以小明原來比小航多2個.

2,甲、乙、丙三個組各有一些圖書，如果甲組借給乙組13本后，乙組又

送給丙組6本，這時三個組的圖書本數(shù)同樣多。原來乙組和丙組哪組的圖書多，

多幾本？答案

解：依據(jù)題意得：甲組借給乙組3本后，等于甲組減少3本，乙組增加3本又送給丙組6本，等于

乙組現(xiàn)在是比原來少了3本，而丙組則在原來的總數(shù)上加了6本，三組的圖書才同樣多，所以：原來乙組

的圖書比丙組的多；

多的本數(shù)為：6+3=9（本）

答：原來乙組的圖書比丙組的多；多9本.

故答案為：

乙組；9本.

解析

根據(jù)題目中的信息可知：甲組借給乙組3本后，等于甲組減少3本，乙組增加3本又送給丙組6本,

等于乙組現(xiàn)在是比原來少了3本，而丙組則在原來的總數(shù)上加了6本，三組的圖書才同樣多，據(jù)此即可解

答.

本題主要考查了推理的相關(guān)問題；解答此題的關(guān)鍵是：理清三個小組現(xiàn)在的本數(shù)分別是在原來本數(shù)

的基礎(chǔ)上多了多少本還是減少了多少本.

3,甲、乙、丙三個小朋友各有年歷卡若干張，如果甲給乙13張，乙給丙

23張，丙給甲3張，那么他們每人各有30張。原來3人各有年歷卡多少張？答

案

甲40張，乙40張，丙10張

解析

可以用倒推的策略來解決這個問題。甲乙丙三個各有30張，因?yàn)椤氨o甲3張”，所以甲將3張還

給丙，這時甲有27張，丙有33張。因?yàn)椤耙医o丙23張”，所以丙將23張還給乙，這時丙有10張，乙

有53張。因?yàn)椤凹捉o乙13張”，所以乙將13張還給甲，這時，乙有40張，甲有40張。

例題4李奶奶賣雞蛋，她上午賣出總數(shù)的一半多10個，下午又賣出剩下

的一半多10個，最后還剩65個雞蛋沒有賣出。李奶奶原來有多少個雞蛋？

思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出線段圖。

從圖上可以看出，最后剩下的65個雞蛋加上10個正好是余下的一半，余

下的一半為65+10=75個，所以上午賣出后余下75X2=150個；150個加上10個

就是總數(shù)的一半，所以總數(shù)的一半是150+10=160個，總數(shù)為：160X2=320個。

練習(xí)四

1,竹籃內(nèi)有若干個李子，取它的一半又1枚給第一人，再取余下的一半又

2枚給第二人，還剩6枚。竹籃內(nèi)原有李子多少枚？答案

解：由剩余的李子數(shù)量和第二人得到的李子數(shù)，可倒推出第一人取走李子后的剩余數(shù)的一半就是6+2

枚，則可求出剩余數(shù)為

(6+2)X2=16(枚)，在由第一人取得的的李子數(shù)可推出籃子中的李子樹為(16+1)X2=34(枚)

綜合算式為：[(6+2)X2+1]X2=34(枚)

答：竹籃內(nèi)原有李子34枚.

故答案為：

34枚

解析

先讀懂題意后，再結(jié)合題中的已知條件，運(yùn)用倒退和替換這兩種解決問題的策略來列式計(jì)算.

2,王叔叔拿工資若干元，從工資中拿出一半多10元存入銀行，又拿出余

下的一半多5元買米、米，剩下80元買菜。王叔叔拿工資多少元？答案

解：（80+5）X2=170（元）

（170+10）X2=360（元）

答：王叔叔領(lǐng)到工資360元.

故答案為：

360元

解析

先通過80+5求出余下的一半，再求出余下的部分，余下部分加10元就是工資的一半，據(jù)此解答即

可.

本題考查學(xué)生對應(yīng)用題的掌握情況，拿出余下的一半多5元買米、油，那么剩下的加5元剛好是余

下的一半，這是本題解題的關(guān)鍵，乘以2即可求出余下的部分，據(jù)此進(jìn)一步解答即可.

3,媽媽買來一些橘子，小明第一天吃了一半多2個，第二天吃了剩下的一

半少2個，還剩下5個。媽媽買了多少個橘子？答案

解：

[（5-2）X2+2]X2

=[3X2+2]X2

=[6+2]X2

=8X2

=16（個）

答：媽媽一共買了16個橘子.

故答案為：

16個.

解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵找到題里的已知條件和問題，由問題入手，抓住最后得到的數(shù)量，運(yùn)用逆運(yùn)

算思維從后向前逐步推算，得出結(jié)果.

解析

此題應(yīng)從后向前推算，由“第二天吃了剩下的一半少2個，這時還剩下5個，也就是說5個-2個正

好是第一天吃完剩下的一半，所以第一天吃完剩下的個數(shù)為（5-2）X2=6（個）；由“第一天吃了一半多

2個，剩下6個”可知，6個加上2個正好是這些橘子總數(shù)的一半，所以總頁數(shù)為（6+2）X2,計(jì)算即可.

例題5小紅、小青、小寧都喜愛畫片，如果小紅給小青11張畫片，小青

給小寧20張畫片，小寧給小紅5張畫片，那么他們?nèi)说漠嬈瑥垟?shù)同樣多。已

知他們共有畫片150張，他們?nèi)嗽瓉砀饔挟嬈嗌購垼?/p>

思路導(dǎo)航：三人畫片進(jìn)行交換，其總張數(shù)是不會改變的。交換以后三人張

數(shù)相等，那每人應(yīng)有：150?3=50張。再對照題中條件，把各人的畫片還原，便

可得到他們?nèi)嗽瓉懋嬈膹垟?shù)。

小紅:50+11=61張;

小青：50—11+20=59張；

小寧：50—20+5=35張。

練習(xí)五

1,三筐蘋果共放90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出

20千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時三筐蘋果就同樣重。甲、

乙、丙筐原來各有蘋果多少千克？答案

解：后來每筐各有：90+3=30（千克）

甲筐原有：30—（17—15）=28（千克）

乙筐原有：30+（20—15）=35（千克）

丙筐原有：30—（20—17）=27（千克）

答：甲筐原有28千克，乙筐原有35千克，丙筐原有27千克.

故答案為：

28千克；35千克；27千克

解析

經(jīng)過三次取放以后，這時三筐蘋果的重量相等，也就是每筐90+3=30（千克），根據(jù)“從甲筐中取出

15斤放入乙筐，從乙筐中取出20斤放入丙筐”，可以求出乙筐減少了20—15=5（千克），原來有30+5=35（千

克），依次類推.

此題采用了逆推的方法，關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，看是增加了還是減少了額，然后從后先前進(jìn)

行推理，根據(jù)加減乘除的逆運(yùn)算思維進(jìn)行解答.

2,三年級三個班共有學(xué)生156人，若從一班