醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答

醫(yī)學(xué)高等教學(xué)學(xué)習(xí)指南

行知書店

第一考而教、極限芻修鎮(zhèn)習(xí)題肱解(P27)

一、判斷題題解

1.正確。設(shè)h(x)=fix)+j(-x),則/?(-%)=式-式)t/U)=h(x)。故為偶函數(shù)。

2.錯。y=21nx的定義域(0,+oo),)=1后的定義域(-8,0)U(0,+8)。定義域不同。

3.錯。lim—―=+00o故無界。

…%2

4.錯。在的點極限存在不一定連續(xù)。

5.錯。lim-L=0逐漸增大。

X->+00X

6.正確。設(shè)lim/Cx)=A,當(dāng)x無限趨向于孫,并在沏的鄰域內(nèi)，有A-￡</(X)<A+￡。

7.正確。反證法：設(shè)FCr)=y(x)+ga)在演)處連續(xù)，則g(x)=F(X)-J(X)9在XO處F(X),於)均

連續(xù)，從而g(x)在x=xo處也連續(xù)，與已知條件矛盾。

8.正確。是復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。

二、選擇題題解

I./(X)=x2,<p(x)=2\f[<p(x)]=(2^=22r(D)

2.y=x(C)

3.limxsin-=0(A)

ZX

.1

xsin—

4.lim------=0(B)

xcosx

5.vlimf(x)=lim(3x-l)=2,limf(x)=lim(3-x)=2,z.limf(x)=2w/(I)(B)

X->FXT「XT1+XT】+XT1

6.9-d>o=Wv3(￡>)

7.畫出圖形后知：最大值是3,最小值是-10。(A)

8.設(shè)/。)=/一%—1,則/(1)=—1,/(2)=13,/(x)連續(xù)，由介質(zhì)定理可知。(。)

三、填空題題解

1.0<x—1<2=>1<%<3

2.y=arctan。')是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱。

1

工-3---O

4.1=一、5，可以寫成丁=-4。

、《.6\ii?廣一]r1+12

5.設(shè)工二/,x—>1,Z->1,lim-：---=lim工-------

?3―15產(chǎn)+/+13

jrI

6.|arctanxW—有界，lim—=0,故極限為0。

2“f20x

..%?—4.x+2

7.lim--------=lim—r----—二4

22sin(x-2)z2sin(x-2)

x—2

8.x2+ax+b=(l-x)(-x+c)=x2-(c+l)x+cnb=c,a=-(c+1)而

lim(—x+c)=5,得c=6,從而加=6,〃二一7。

A->1

I1-$inx

9.lim(l-sinx)'=lim(l-sinx)-sinA*

x^O.v^O

…..tan2x[.sin2x..sin2x5x122

10.lim---=lim------------=lim---------------------=—

x-sin5xx-^cos2x-sin5x72xsin5xcos2x55

11

11.設(shè)u=e^-l,lim-----二lim--------=---=1

“T01n(l+〃)“T°,-rIne

ln(l+〃)“

r

12.由x=0處連續(xù)定義，lim(a+x)=a=lime=1,得：a=1o

D+尤fer

四、解答題題解

1.求定義域

⑴管黑0={:器1)之0,定義域為…和戶。

⑵.同一號二建黃上定義域為[一4,5]

25-X2>0——

(3)設(shè)圓柱底半徑為r,高為h,則v=m2h,h=一二，則罐頭筒的全面積

7ir~

S-2初2+2m7z=2|71rl+—|,其定義域為(0,+8)。

(4)經(jīng)過一天細(xì)菌數(shù)為M=No+M/=No(l+r),經(jīng)過兩天細(xì)菌數(shù)為

M=M+N/=M(1+r)=%(1+r)?,故經(jīng)過x天的細(xì)菌數(shù)為N=N()(T+r)A,其定義域為

L0,+oo)o

,|x-2|01-2-21°,|々+力一2|,

2./(x)=J~/(-2)=L—^=-4,+?=J—-1(。+"—1)。

x+1-2+1。+。+1

“3?1

3.y-e,u=v,v=smt,t=-

xo

4.證明：f[x(x+i)]=Inx(x+l)=lnx+ln(x+l)=/(x)+/(x+l)。

5.令x+1=t,則./(x+l)=/(O=糕R；:mf2["1)2,l<t<2

[2(r-l),2<t<3

[(1)2,l<x<2

所以:/(x)=

[2(x-l),2<x<3

6.求函數(shù)的極限

(1)原式=lim上乂2=&。

1-1/3

后..3—(l+x+x~)..(1—x)(2+x)..2+x

(3)原式=lrim-------——-=lim---------=lim----------

—1-x(1-x)(l+x+x/)-1+x+x，7

(4)原式=lim=3o

s工v1.2sin2xsinx...sin2xsinx.……沁c一々、工…-、

(5)原式=hm----------=lim4-----------=4。(P289常見二角公式提不)

ktOx22xx

arcsinxarctanx

(6)原式=-lim令arcr臺力，則s,

2xx

arcsinx

lim=lim----=1

xsin/

人—..arctanx.t..t,1

令arctanx=/,則tan，=x,lim-------=ltim-----=lim-----cost=1,原式=一。

x->oxtant，T°sin/2

A.=lim(l+3tan2=lim(l+3tan2x)3tan

⑺|3tan2x

x->0.v^O

2x+lA2

222

(8)原式=lim1+=lim1+?liml1+—

2x+l.r—x?l2x+l2x+l

/日Y

匹,,[.xsinxcsinx?]

⑼原式二lim------；~----=21rim--------^―=1o

2>()xVl+xsinx+1

D2sin—(Jl+xsinx+1)'sin-

2I27

ea(el-1)〃

(10)令，=x-a,則％=〃+，，原式=lim--------=e(填空題11)。

1—X)t

Iaa.7TV3,

r。_1.兀2

7.S、=-ci,6fsin—=——ciS2-------sin-=—ra~

12322222---324

°\aa.7iA/3

3a=----77Sin——二——C2T,…，

322222326

S=&2(；+/+…+/)=W2f*/(〃f8)

1---

4

8.指出下列各題的無窮大量和無窮小量

(1)lims-x=0,為無窮小量。

X1+cosx

arctanx

⑵lim=0,為無窮小量。

XT81+x2

(3)lime"?sinx=0,為無窮小量。

X+]

(4)lim------=oo,為無窮大量。

zsinx

9.比較下列無窮小量的階

1_Y11-r1

lim—,lim------------=1,當(dāng)x-1時，IT與IT3是同階無窮小。IT與一(1—Y)

Ji-13fl”“2、2

2(1)

是等階無窮小。

X2—1

10.當(dāng)X-0時，f是無窮小量，當(dāng)X-8時，X2是無窮大量；當(dāng)Xf±l時，一L是無窮小

x

X2—1

量，當(dāng)X-0時，——「是無窮大量；當(dāng)Xf+8時，e-是無窮小量，當(dāng)冗->一8時，?r是無窮

X

大量。

11.Ay=/(3)-/(I)=(2-32+1)-(2-I2+1)=19-3=16o

X

12.lim^--1,limfxsin—+Z7|=bf/(0)=a+2=l,:.a=-\

xMXx)

13.lim%*—=(lim[l+(x-l)]n[=e2,limf(x)=/(I),e2=ekk=2

%->】IX->1LJXT1

14.設(shè)/(x)=e*-2,/(0)=-l<0,f(2)=e2-2>0,由介值定理推論知：在(0,2)

上至少存在一點xo使得/(玉))=0,即e"—2=0。

15.設(shè)/(x)=asinx+〃一x,它在[0,。+夕上連續(xù)，且/(0)=方>0,/(a+Z?)=a[sin(a+/?)-1]<0,

若/(a+b)=O,則q+b就是方程/(x)=0的根。若/(。+與＜0,由介值定理推論知：至少存在

一點云(0,a+8),使得了(9=0,即J是./Xx)=O的根。綜上所述，方程x=asinx+〃至少且

個正根，并且它不超過“+瓦

,小2626..26”

16.(1)w(0)=-=—(g);(2)wmax=lim--------37=26(g);

l+30e31^*°l+30e5

(3)—=―"F=/=”30,5(周)。

21+30”'2

17.設(shè)F(x)=/(x)-g(x),則尸(x)在［a用上連續(xù),F(a)=/(a)-g(d)>0,F(b)=f(b)-g(b)<0,

由介值定理推論知：至少存在一點型(a,h),使得F?=0。即/?-g?=0=>/G)=g?。

所以y=f(x)與y=g(x)在3力)內(nèi)至少有一個交點。

第二章一石留謝1微分孽習(xí)巡巡解(P66)

一、判斷題題解

1,正確。設(shè)y=^W,則limAy=lim.Ar]=(lim”](limAx)=y'?()=0。

J&D,2()(AxJ3.OAXJAD

2.正確。反證法。假設(shè)E(x)=/(x)+g(x)在xo點可導(dǎo)，則g(x)=F(x)—/(x)在沏點

也可導(dǎo)，與題設(shè)矛盾。故命題成立。，

3.錯。極值點也可能發(fā)生一階導(dǎo)數(shù)不存在的點孫

4.錯。如圖。

5.錯。拐點也可能發(fā)生二階導(dǎo)數(shù)不存在的點上。

6.錯。不滿足拉格朗日中值的結(jié)論。

7.錯。設(shè)/(x)=x,g(x)=l,則：F(x)=/(x)/

X

顯然/(x)在X二0點的導(dǎo)數(shù)為1,g(x)在x=0點的導(dǎo)數(shù)不存在，而尸(x)在工=0點的導(dǎo)數(shù)為0。

是可導(dǎo)的。

8.錯。設(shè)y=d和)，=盯，顯然它們在(-co,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，但在x=0點y的導(dǎo)數(shù)

為0,y=我的導(dǎo)數(shù)不存在。

二、選擇題題解

1.設(shè)切點坐標(biāo)為(%,%),則切線的斜率女=y[=2x),切線方程為：了-為過

(0,-1)得1+%=2h，又有為=片，解方程組?+2匯得：%=1,/=±1,切線方程為：

、%=/

y=±2x-lo(A)

2.可導(dǎo)一定連續(xù)。(O

3.連續(xù)但不可導(dǎo)。(0

4.因為《6(々,%1)^(。,歷。(B)

5.y]=^,y2=\[x,在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但yi在x=0處切線不存在，R在x=0處切線

存在。(D).

,..sin(O+Ax)-0..sinAx,(0+Ax)-0,/

6./''(0)=1101--------=hm-----=1,/；(0)=hm--------=1可導(dǎo)。(C)

以句Ax以劣Ax以劣Ax

7.f'(x)=5x4,f'(ex)=5e4\(A)

(0+Ax)2sin—--0.

8.lim----------—=limAxsin—=0,(B)

-Ax-Ax

三、填空題題解

1.,r(-2)=-4====-7=?

N2g——k2|必百2V3

2.(cscx)'=-cscxcotx

「?/vi，/、，/、/，、i，，”。$(孫)一1

3.[sin(xy)]v=(x+y)Y=>COS(A)0\y+xy)=l+y,y=----------

l-xcos(孫)

4.d(冽,)=*,<0$/.2址。

5./*(%)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3),當(dāng)一2<x<3時,f'(x)<0,單調(diào)調(diào)減小。

山>=4Mf(x)-Ing(x)]n2?

6.

2y,2(/(x)g(x〃，27^(%)l/W

52r*)=|j—|小=擊位—叫當(dāng)x=g時,

7.f(x)=x3—x3/(x)由減變增,

取得極小值。

dvdx11

8.—=lt+ex,—=—=----

dxdydyl+ex

dx

四、解答題題解

10(l+A0-1^(l+Ar)2j-l10-1^

1.Sz(l)=lim=則110——"加)=1°一g

A/->0△t

（0+Ar）sin-------0.

2.（l）lim---------旺至一二limsin」-不存在，/（x）在x=0不可導(dǎo)。

Ax->0ArAx->0zkr

（0+Ax）2sin^----0/］、

（2）lim----------吐至一=UrnAx-sin—=0,/（x）在x=0可導(dǎo)，且

Ar—oA%AITO<AV）

r（o）=0o

°（O+Axf-Or1=丁匕

3.lim-----------=lim——二=oo不可導(dǎo)。

Ar->0NT。A%一。

4-1）

4.過（1,1）與（2,4）兩點的割線斜率為*=—=3,拋物線y=V過*點的切線斜率為

2—1

30A39、

/=2x,故2x=3,得x=—,y=一,二,一即為所求點。

*24<24；

2

5.過（%,%）點作拋物線y=—的切線，設(shè)切點為（X,/）,應(yīng)滿足上二兇=2x方程，若

X-Xf,

方程有兩個不等的實根X,則說明過（％,%）點可作拋物線的兩條切線。整理方程得：

2

x-2xox+yo=0,當(dāng)A=4$-4%>0時，方程有兩個不等的實根。也就是要滿足為<工；即

可。

6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(1)yf=(%〃+axy=nxn~l+優(yōu)Ina

⑵y=(x+lnx+5),=1+—

x

⑶yf=(x"sinx+cosx+x)'=sinx+x"cosx-sinx+1

,tanx、,x2sec2x-2xtanx112tanx1

z--------------|

(4)y=(——+arctanx)+

x%41+7x2cos2xx3---l+x2

(5)yr=(—sin2x-lnx/=cos2xlnx+'詁、'

22x

",\secxi/、、(1+x)secxtanx-secx

(6)廣卷+皿+〃)卜』)2-

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(1)y=n(l+爐)1.(1+￡)'=〃(1+xny-]?卅-1=n2xn-](1+/嚴(yán)

(2)/=(x2)'tan3x+x2(tan3x)r=2xtan3x+3x2sec23x

(3)y，=[Insinx-ln(l+x2)]r-——=cotx——

sinx1+xl+x-

,=[ln(2x+l)匚1(2x+l)；2

ln(2x+l)ln(2x+l)2x+l(2x+l)ln(2x+l)

,nni八.、】，cosxcosx2cosx個

(5)y-[ln(l+sinx)-In(l-smx)]----------+-----------=———=2secx

l+sinx1-sinxcos-x

(6)

，[i2/13Jci3\nn3、[，ci“3'(In、)’3、3(ln2_r)(inx)'.31n2x61n(ln3x)

y=lln(Inx)\=21n(nlnx)[ln(lnx)J=21n(lnx)—；-=21nn(lnx)--------；--------=21n(ln3x)———=-------------

InxInxxlnxxlnx

iff，需貨"

9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(1)Iny=sinxlnx,—y=cosxlnxd--------,y=xcosxlnx+--------

VxI%

Iny=g[in2+ln(x+1)+ln(x+3)-Insin2x]

⑵

11+12cos2x?

y2(x+lx+3sin2x)

y=il2(.n)(^3)O+^_2cot2^=kx+l)(x+3)Q+^_2cot2%

2vsin2x(x+1x+3)V2sin2x\x+lx+3

ix-i(Iny)y

(3)]ny=x,Ininj=xlnx,——-=lnx+l,—=ln)?(lnx+1)

Inyy

y'=ylny(lnx+l),y'=/?三(111工+1)

y,xi

(4)Iny=xlna月,—=lnarctanx+------------------

yarctanxl+x

/、

x

y=(arctanx)vln(ai*ctanx)H--------------------

、(1+廠)arctanx,

10.求下列函數(shù)的〃階導(dǎo)數(shù)。

(1)(=5、y'=5*ln5,/=5xln25,嚴(yán)=5、In”5

(2)y=acQsbx,y=-absinhx=abcodbx-\--

I2j

yn=-ab2sin^/?x+yj=ab1cos(0x+/+/)

n

y,n=-ab3sin(/?x+^)=ab3cosfZ7x+-|,;，'”=abcosfbx+n?—|

(3)y=In%,=—=x-11,<=--，葉=2/，…，嚴(yán)=(-1產(chǎn)-(〃-1)!廣

X

11.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2

(1)(/+>3-3。孫)；=0,3j?+3y2y3a(y+R)=0,y'=

ax-y

/、，/、/八i「ycos(xy)-l

(2)同填空題3。[sin(xy)]；:二Q+y)r=>cosQy)?(y+“)=l+y,y=;。

1一NCOS(孫)

xyfxyxyf

(3)(y+xeSx=(cosy)xny'+e+xeXy+xy)=_siny?y'n.

i2)

；「)+.,.l-y+xy-

(4)[arctan(q)+y]'x=(x)ny-iny-12i

1+(孫)l+x+xy

12.求下列函數(shù)的微分。

(1)dy=d(esinx)=esinjJ(sinx)=esinxcosxdx

d-)_e2xd(2x)_2e2xdx

⑵dy="(arcsine")

yll-(e2x)2~Jl-e”，~yl\-e4x

⑶

(

dy=J[sin(x+arccosx)]=cos(x+arccosx)J(x+arccosx)=cos(x+arccosix)1-dx

yll-x~>

?2arctanx

(4)dy=J(e2arc,anr)=/arc-z(2arctanx)=e2arcanxdx=—~—dx

I+X1+X

13.求石、sin3r近似值。

2

⑴設(shè)/(x)=4x,則f\x)=—,取x0=2.2=4.84,Ar=0.16,則

2y1x

r(%)=1=0.227

/(曲)=J4.84=2.2故

°27484

45=/(/+Ar)?/(x0)+/'(%)Ar=2.2+0.227x0.16=2.2

7TA[o冗

⑵設(shè)f(x)=sinx,則ff(x)=cOK,取x=30°=—Ax=1=—則

06180

r(Xo)=cos300=#

/(Xo)=sin3O。=g故

In

sin31°=/(x0+Ax)?/(%())+=-+—x=0.515

22lot)

14.證明下列不等式。

(1)設(shè)/(x)=x-tanx,則/'(x)=l-sec2x=-tan2x?o,/(x)在上單調(diào)遞減。當(dāng)

一；K0>寸，/(x)>/(0),即工〉tnx,當(dāng)xe°，3時，/(X)</(0),即工<tnx,當(dāng)x=0

XE,

【2

乃n

時，/(x)=/(O),即工=1加工，綜上所述，當(dāng)二￡時，網(wǎng)4忖1^。

\22；

x1

(2)設(shè)/(x)=----ln(l+x)=l-----+ln(l+x),當(dāng)x>0

1+x1+x

11—YY

時,r(x)=-~~2--—="、2<0，有/(x)</(o)，即六<ln(l+x)；設(shè)/(x)=x-ln(l+x),

(1+x)-1+x(1+x)-]+x

1Y

當(dāng)x>0時，f'Cx)=l----=一>0,有/(x)>f(0),即x>ln(l+x)：綜上所述，當(dāng)x>0時，

1+x1+x

x

有----<ln(l+x)<xo

1+x

⑶設(shè)/⑴=e'-l—x,則r(x)=e=1,當(dāng)x>0時，(。)〉0,有/(x)>/(0),即

ex-l-x>0；當(dāng)工<0B寸，/'(x)<0,有/(打>/(0),即e*—lr>0；綜上所述

e'>1+工(]。0)。

15.求下列函數(shù)的極限。

-5sin5x

In(cos5x)一「eq35T.5sin5x2xcos2x25

(1)lim-------=lime=-hm------------------------

xf。ln(cos2x)io-2sin2x2工"25xsin2xcos5x4

cos2x

(2)

1必吐宴w

limxpIn"尤=lim——1m

Pp2P

x->0+XTO+X~x->o+-px―0+(-p)X

lim蚓T)…("〃+1加‘七=。

3,(-pYx'P

（分子和分母分別求n階導(dǎo)數(shù)，使〃>q)

limsinA-Inx

⑶limxsinv=lim***=夕"+=?

1

..Inxsin2x..2sinxcosx八

limsinxlnx=lim---=lim——-——=lim--------=lim------------------=0

+

xW1XT。'-COSXX->0XCOSXcosx—xsinx

sinxsin2x

_L叱.也liml-L

(4)limx}~x=lime]~x=e^i{~x=ex^x(-1)=^-1

X->1X->1

xcosx-sinx

lim

2

XTO2xsinx

xcosx-sinx..cosx-xsinx-cosx-sinx

limlim-----------------7--------lim

x->02x2sinx?x4xsinx+2xcosxx4sinx+2xcosx

-cosx

lim

e4cosx+2(cosx-xsinx)6

1IncoixInCO*

lim-------------

1,1AInx0XTO+cotx—^v->0+sinVCOSV--]

(6)lim(cotx)mx=Umee

x->0+10-

16.證明下列不等式。

(1)令/(x)=sinx-x,因為fr(x)=cosx-l<0(x<0),所以當(dāng)x<0時段)\,凡以次0)=0=>

sinx>x;

令g(x)=sinx-x+f/6,則:/(X)=COSX-1+X2/2,g〃(x)=-sinx+x,gf,,(x)=-cosx+l>0(x<0),

有g(shù)'G)/

ng"。)<g"(0)=0ng'(x)、，g'a)>g'(O)=O=>ga)/=>ga)<g(0)=0=>Sinx<x-x3/6o綜上所述：

x<sim<r-x3/6

⑵令/（》）=/+（17）匕於）在［o』］連續(xù)且的）于⑴=i,1a）=p3M-（1一尸］，令〃a）二o得

x=l/2為駐點。

f〃(犬)=〃(p-l)W-2+(1_工廣2]>0,有極小值

/，/，

=>^r<X+(l-X)<1

17.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(1)y=x3-6x,定義域(-8,+8),y'=3x2-6=3(x2-2),令y'=0,解得x=±J^,增減

性如下表:

(V2,+00)

X(-00-V2)-V2(-72,72)V2

y'+0一0+

y/X/

(2)y=x+sinx,定義域(-oo,+oo),/=1+cosx>0,令y'=0,解得

112

(3)y=x+-,定義域(—8,0)U(0,+8),/=1--,y=—,令y=0,解得x=±l,

xxx'

/(-I)=-2<0有極大值X-l)=-2,/(I)=2>0有極小值y(l)=2。

19.求下列函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。

(1)/(%)=丁5-4元是上的連續(xù)函數(shù)，/'(X)=［<0減函數(shù)且無駐點,但有

V5-4x

一個不可導(dǎo)點X=：>1,它不在［7,1］上，故7max(T)=3,7mhi⑴=1。

4

(2)/(X)=|X2-3X+2|是［-10,10］上的連續(xù)函數(shù)，此函數(shù)可用分段函數(shù)表示

，-3x+2),l<x<2-2x+3,l<x<23

=<f\x)=,令/。)=0,得:X~2r

/w?-3x+2,其它2/一3,x〈l或工>2

/(l)=/(2)=0./(-10)=132,40)=72,比較得：/max=132,加=0。

M,x<2

⑶f(x)=2是［-5,5］上的連續(xù)函數(shù)，此函數(shù)可用分段函數(shù)表示/(x)

,x>2

吃無駐點。"27,",比

分段點為x=2,分2)=1,f\x)=<

較得：加=128,源=1。

20.y=ax'+bx1,y'=3ax2+2bx,y"-6ax+2h,因為(1,3)為曲線的拐點，所以有

j6a+2b=0J,b9

,解之得:

人=322

x—1，-x2+2x+1”2(x+1)(x2-4x+l)人”八以成j

2Ly=77Ty二(41)2,》=一命而一‘令,二°,解傳％=T,

—1iV3

x=2+43

2i弘=T>23=—4可驗證

([V\(_[+加

(-1,-1),2-V3,———,2+V3,———是曲線的三個拐點。下面論證此三點在一條

I4)[4}

直線上。只要證明過任意兩點的直線的斜率相同即可。

-1-V3,3-73-1+V3,3+73

)_%一必_4_4_1,葭_%f_4_4」，

々-X12-,y/3+13-V34~Xj-X|2+V3+13+V34

k1=k2得證。

ktkrkrf

22.w-^-bew=w0(l+/?),w=/(l?)兩端對t求導(dǎo)數(shù)：w+b(-ke~w+e~w)=0

1+be

ktkt

bke~w_bkwQ(l-vb)e~

l+be*-(1+尻一”2

23.將r看作常數(shù)，兩端對f求導(dǎo)數(shù)，得：—=^--,

dt2初dt

包=4為7x0.02x2xQi=8x103(cffl2/min)?

24.(1)求出現(xiàn)濃度最大值的時刻：C(f)=i22(^-01f!,-e-,),C,(Z)=122(—().18e《⑶+e-'),

令C'(f)=O,解得唯一駐點￡=二1n0」8C"Q)=122(0.182/⑶一/),

0.82

-In0.18-In0.18

,,-ln0.18-0.18x

)=122(0.18^0.820。?82)

0.82

、—In0.18—In0.18、——

=122(0.182e41-e41)=122(0.182x0.1841-0.1841)=122(0.1841-0.184l)<0有極大

值。也為最大值。

_innio

(2)求出現(xiàn)濃度變化率最小值的時刻：令C"(f)=0,解得唯一駐點f=^—。

0.41

-InO18,如8*小處-心理

C"Q)=122(—O.lgZRW+e-'),C"(—^)=122(-0.18%。,力+e0-41)=

嗎nO.I8181no.18

122(〃-0.183)

10018100141

=122(0.18萬-0.183,0.1聲)=122(0.18萬-0.18否>0有極小值。也為最小值。

341.5

25.求卬'何時達(dá)最大值。Inw-ln(34l.5-w)=k(t-l.66)w=]_-|_-g-K…(1.(二X>—_?八)…①,

1_1L-

—-wz--------------w=k=>w=---------(341.5vv—w2)…②，

卬341.5-vv341.5

wn=--—(341.5vv'—2w?w')=--—(341.5—2w)wr,令w"=0,得：

1

，八345

w=0,w=-------o

2

由H/=On(341.5—vv)w=0,而vvw0nvv=341.5,由①得=0無解。

由卬=網(wǎng)q=*小=1

得：t=\.66是唯一駐點。

2

-_—1_3］在向―2(yr')?-2vv?"

34153415

當(dāng)f=1.66時，卬=三工w'=^±±k,"=0,”<0有極大值。也為最大值。

24

26.討論下列函數(shù)的凹凸性和拐點

a(備宕a(合田)

X-73正

n

y+0-04-

拐點拐點

y凹凸凹

3/43/4

_2a-/)

(a2+x2)3

a3

/=0,得x=±y=—,列表討論。

為’.4

(2)y=x+sinx,定義域(一oo,+8),/=l+cosx,y"二一sinx，令y"=0，得

x—kjr,(k—0,±1,±2,…)，當(dāng)

xG((2火一1)肛2左乃)時,y">0,曲線是凹的。當(dāng)xwQki,Qk+1)1)時,y"<0,曲線是凸的。

拐點為：(4萬,4萬)。

27.討論下列函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點和漸進(jìn)線，并畫出它們的大致圖形。

(1)y=e~x,定義域(-8,+oo),是偶函數(shù)，lim=0,有水平漸進(jìn)線y=0,/=-2xe~x2,

XTOO

7=-2[e~x2+xe*(-2x)]=