專題01 角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用（專項訓(xùn)練）（原卷版）

專題01角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，（1）求D點到直線AB的距離．（2）求AC．2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，∠BPC＝40°．（1）求∠BAC；（2）證明：點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；（3）求∠CAP．3．（1）如圖①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么點D到AB的距離是cm（2）如圖②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC．4．四邊形ABCD中，DA＝DC，連接BD，∠ABD＝∠DBC．（1）如圖1，求證：∠BAD+∠BCD＝180°；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)∠DAC＝45°時，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的長；（3）如圖3，在（2）的條件下，把△ADC沿AC翻折，點D的對應(yīng)點是點E，AE交BC于點K，F(xiàn)是線段BC上一點，連接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面積．5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個性質(zhì)是（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．6．如圖，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC＝16，BC＝9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．97．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．8．閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個有關(guān)角平分線的問題：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的長．小聰思考：因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．請完成：（1）求證：△BDE是等腰三角形；（2）求BC的長為多少？9．閱讀材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．小明的想法：因為CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”來解決該問題．即在BC邊上取點E，使EC＝AC，并連接DE（如圖2）．（1）如圖2，根據(jù)小明的想法，回答下面問題：①△DEC和△DAC的關(guān)系是，判斷的依據(jù)是；②△BDE是三角形；③BC的長為．（2）參考小明的想法，解決下面問題：已知：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的長．10．如圖1，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于點D．（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長線于點P，連接PB，PC．①利用尺規(guī)作圖補全圖形1，不寫作法，保留痕跡；②求證：∠BPC＝∠BAC；（2）如圖2，若Q是線段AD上異于A，D的任意一點，判斷QB+QC與AB+AC的大小，并予以證明．11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點F）．12．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．試說明∠ABC＝3∠ACB．13．如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．14．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點D．過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則△AEF的周長為（）A．12 B．13 C．14 D．1515．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AB于點M，交AC于點N．求證：MN＝MB+NC．16．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA