經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教案

廣東培正學(xué)院

GUANGDONGPEIZHENGCOLLEGE

課程教案

課程名稱：［Gen221］經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué):

授課教師：.....數(shù)學(xué)教.研室……….

授課班級：2010級，001班

本/專科：?？?/p>

人文學(xué)科與基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室

2012至2013學(xué)年第一學(xué)期

目錄

第一章函數(shù)......................................................................2

函數(shù)的概念...................................................................2

第一章函數(shù)......................................................................6

初等函數(shù).....................................................................6

第一章函數(shù).....................................................................10

利息貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)....................................................10

第二章極限與連續(xù)...............................................................14

極限的概念..................................................................14

第二章極限與連續(xù)...............................................................18

兩個重要極限................................................................18

第二章極限與連續(xù)..............................................................22

無窮小與無窮大.............................................................22

第二章極限與連續(xù)..............................................................26

函數(shù)的連續(xù)性...............................................................26

第二章極限與連續(xù)..............................................................30

函數(shù)的間斷點(diǎn)...............................................................30

第三章導(dǎo)數(shù)與微分..............................................................34

導(dǎo)數(shù)的概念..................................................................34

第三章導(dǎo)數(shù)與微分..............................................................38

求導(dǎo)四則法則...............................................................38

第三章導(dǎo)數(shù)與微分..............................................................42

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則...........................................................42

第三章導(dǎo)數(shù)與微分..............................................................46

常用的求導(dǎo)方法，高階導(dǎo)數(shù)...................................................46

第三章導(dǎo)數(shù)與微分..............................................................50

函數(shù)的微分..................................................................50

第四章導(dǎo)數(shù)有應(yīng)用..............................................................54

函數(shù)的單調(diào)性...............................................................54

第四章導(dǎo)數(shù)有應(yīng)用..............................................................58

函數(shù)的極值及其應(yīng)用.........................................................58

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用..............................................................62

邊際分析及彈性分析.........................................................62

教案案首

授課時間2012年8月31日第1周星期五第5,6,7節(jié)

授課地點(diǎn)2401授課學(xué)時3

章節(jié)（單元、專題）第一章函數(shù)

授課內(nèi)容

內(nèi)容函數(shù)的概念

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的意義、性通過對函數(shù)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)在經(jīng)濟(jì)生活

質(zhì)及表示方法中，能夠?qū)⒂嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)模型用函數(shù)解析，

教學(xué)任務(wù)

便于掌握它們的規(guī)律

目標(biāo)

重點(diǎn)：概念的理解

難點(diǎn)：學(xué)習(xí)函數(shù)的意義，對函數(shù)系統(tǒng)性的理解

教學(xué)重點(diǎn)

與難點(diǎn)

1.簡介經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的任務(wù)及學(xué)習(xí)方法（20分鐘）

2.函數(shù)的概念（35分鐘）

3函數(shù)的性質(zhì)（50分鐘）

4.總結(jié)與練習(xí)（20分鐘）

教學(xué)內(nèi)容

5.布置作業(yè)（5分鐘）

與

時間安排

1、方法：講授

教學(xué)方法

2、教具：幾何輔助圖形

與手段

3、是否多媒體是（）否（V）課件來源

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

配合教師認(rèn)真回憶

復(fù)習(xí)導(dǎo)入

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，特

復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)知識，介紹經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，引入新課題點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法以及應(yīng)

二.講授新內(nèi)容用，并讓同學(xué)回答學(xué)

習(xí)體會

課題函數(shù)的概念

1.函數(shù)的概念

常量——只取固定值的量

變量——可取不同值的量

變域——變量的取值范圍

定義設(shè)X和'是兩個變量，〃是一給定的數(shù)集，如果對于

任意xe。，變量y按照一定法則了,總有唯一確定的數(shù)值與其

對應(yīng)，則稱y是/的函數(shù)，記作y=/(x)，數(shù)集〃稱為這個函數(shù)

的定義域，數(shù)集M={y|y=/(x),xe￡>}稱為函數(shù)的值域，x稱為對應(yīng)多個可以嗎？

自變量，y稱為因變量.

教法則的意義是什

當(dāng)自變量x取數(shù)值與時，因變量y按照對應(yīng)法則/所對應(yīng)的

么？

學(xué)數(shù)值，稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)/處的函數(shù)值，記作y=/(%).

建立函數(shù)關(guān)系的意

關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明：

過義有哪些？

(1)我們這里所講的函數(shù)是指單值函數(shù)，也就是說，對于

程每一個x值只能對應(yīng)變量y的一個值.

(2)符號“f”的意義表示函數(shù)對應(yīng)法則的符號也常常用“g”、

“F”等表示，這時函數(shù)就記作y=g(x)、y=F(x)等.

(3)確定函數(shù)的兩個要素——定義域和對應(yīng)法則

只要兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，那么，這兩個函數(shù)就什么才是真正相同

的函數(shù)？

相同；如果定義域或?qū)?yīng)法則有一個不相同，那么這兩個函數(shù)就

不相同

(4)函數(shù)定義域的求法

有代數(shù)式子與具體問題兩種情況，請同學(xué)們分別舉例說明。從函數(shù)的定義同學(xué)

們能看出數(shù)學(xué)研究

(最后)老師總結(jié)歸納：a.代數(shù)式中分母不能為零

問題的特點(diǎn)嗎？(規(guī)

b.偶次根式內(nèi)表達(dá)式非負(fù)律性)

C.基本初等函數(shù)要滿足各自的定義要求

d.對于實(shí)際問題，還應(yīng)符合實(shí)際意義

今后常遇到的函數(shù)：

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

（1）分段函數(shù)（例如郵政發(fā)信，請同學(xué)們再舉出例子，并總結(jié)同學(xué)們總結(jié)出求函

數(shù)定義域的基本原

特點(diǎn)）

則

對于分段函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)：

a.分段函數(shù)是由幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是幾個

同學(xué)們各舉一例

函數(shù).

并闡述它們的主要

b.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.

用途，以及它們主要

C.在處理問題時，對屬于某段的自變量就應(yīng)用該段的表達(dá)

的應(yīng)用途徑

式

同學(xué)們總結(jié)：什么樣

（2）隱函數(shù)（同學(xué)們舉例）的函數(shù)具有反函

（3）參數(shù)方程確定的函數(shù)（同學(xué)們舉例）數(shù)？

（4）反函數(shù)

求反函數(shù)的步驟是從y=〃x）中解出x,得到x=/-'（y）,再

將x和y互換即可.

教例如求y=2x+l的反函數(shù).解由），=2*+1得力=上9,互

學(xué)換字母X,y得所求反函數(shù)為y=±l.函數(shù)對應(yīng)關(guān)系必須一一

過對應(yīng)

2.函數(shù)的幾個性質(zhì)（奇偶性與周期性因較簡單，略去）

程（1）函數(shù)的單調(diào)性

若對于區(qū)間/內(nèi)任意兩點(diǎn)斗，X2,當(dāng)王＜々時，有

f（x,）＜f（x2）,則稱/（x）在/上單調(diào)增加（如圖1—4）,區(qū)

間/稱為單調(diào)遞增區(qū)間；若/（斗）＞/（々），則稱/（X）在/上單

調(diào)減少（如圖1—5）,區(qū)間/稱為單調(diào)遞減區(qū)間.

單調(diào)增加與單調(diào)減少分別稱為遞增與遞減.單調(diào)遞增區(qū)間或

單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

（2）函數(shù)的有界性

若存在正數(shù)例,使得在區(qū)間/上|/（刈二例,則稱/（X）在/上

有界.否則稱為無界.

例如函數(shù)丁=COSX在區(qū)間（一8,+8）內(nèi)有|cOS%K1，，所以

函數(shù)y=cosx在（-8,+8）內(nèi)是有界的.

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

3函數(shù)的表示在經(jīng)濟(jì)上常用的方

法是什么？為什

常用的函數(shù)表示方法有表格法、圖像法、解析法.

么？(報表實(shí)際上就

(1)將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格以表示函數(shù)的

是表格法，因?yàn)榻馕?/p>

方法叫表格法，如三角函數(shù)表、對數(shù)表及許多的財務(wù)報表等.

式得不到)

(2)用圖像來表示自變量值與函數(shù)值的關(guān)系的方法叫圖像

法，它的特點(diǎn)是較直觀.

(3)用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)系的方法

叫解析法，如y=sinx,y=2x+l等，它的特點(diǎn)是便于推理與演

算.

教

三.小結(jié)與練習(xí)

本次課主要講述了函數(shù)的定義及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，過去同學(xué)們對

學(xué)函數(shù)的了解一是模糊，二是錯誤的認(rèn)識的太多，通過本次課的學(xué)

習(xí)主要是讓同學(xué)們知道我們?yōu)槭裁囱芯亢瘮?shù)，函數(shù)對我們生活的

過

幫助作用是什么，它的一些基本性質(zhì)是什么？

特別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用非常廣泛，如我們需求

程函數(shù)等。所以同學(xué)們要對這四個函數(shù)重點(diǎn)掌握。

求函數(shù)y=ln(x—2)+—/1的定義域解應(yīng)使

V25-X2

[x-2>0,fx>2,

便練習(xí)便指導(dǎo)

25—X”>0―5<x<5

所以此函數(shù)的定義域?yàn)椤?(2,5].

四.布置作業(yè)

課后練習(xí)P51、3、4

五.教學(xué)后記

教案案首

授課時間2012年9月7日第2周星期五第5,6,7節(jié)

授課地點(diǎn)2401授課學(xué)時3

章節(jié)（單元、專題）第一章函數(shù)

授課內(nèi)容

內(nèi)容初等函數(shù)

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

了解初等函數(shù)的內(nèi)容，以及它們的用途通過對函數(shù)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)在經(jīng)濟(jì)生活

中，能夠?qū)⒂嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)模型用函數(shù)解析，

教學(xué)任務(wù)

便于掌握它們的規(guī)律

目標(biāo)

重點(diǎn)：初等函數(shù)的特點(diǎn)

難點(diǎn)：初等函數(shù)的常用用途

教學(xué)重點(diǎn)

與難點(diǎn)

1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入（10分鐘）

2.基本初等函數(shù)的概念及特點(diǎn)（40分鐘）

3復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)（40分鐘）

4.總結(jié)與練習(xí)（25分鐘）

教學(xué)內(nèi)容

5.布置作業(yè)（5分鐘）

與

時間安排

1、方法：講授

教學(xué)方法

2、教具：幾何輔助圖形

與手段

3、是否多媒體是（）否（V）課件來源

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

—.復(fù)習(xí)導(dǎo)入配合教師認(rèn)真回憶

中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函

復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)知識，學(xué)過的基本初等函數(shù)，引入新課題

數(shù)名稱和特點(diǎn)

二.講授新內(nèi)容

課題初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

常函數(shù)：y=c（c為常數(shù)）.

幕函數(shù)：y=x〃（a為常數(shù)）.回答問題：常數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)：y=a*（a>0,且aWl,a為常數(shù)）.的定義域？圖形特

點(diǎn)？

對數(shù)函數(shù)：y=log?x（a>0,且a為常數(shù)）.

事函數(shù)的特點(diǎn)？變

三角函數(shù)：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,量在什么位置？

y=escx

教

常用募函數(shù)：

學(xué)

J

過

程

指數(shù)函數(shù)

0<av1\yT指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)上

的應(yīng)用非常廣泛，它

與對數(shù)函數(shù)有什么

o|*關(guān)系？我們經(jīng)常聽

說一些經(jīng)濟(jì)問題以

指數(shù)規(guī)律增長或降

低

對數(shù)函數(shù)

常用對數(shù)函數(shù)y=lgx,以10為底

自然對數(shù)函數(shù)y=lnx,以無理數(shù)e為底

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

2.復(fù)合函數(shù)

定義設(shè)y是〃的函數(shù)y=/(〃)，u是x的函數(shù)〃=,如

果”=儀幻的值域或其部分包含于y=/(〃)定義域中，則y通過復(fù)合函數(shù)是不是就

是基本初等函數(shù)的

中間變量"構(gòu)成x的函數(shù),稱為x的復(fù)合函數(shù)，記為y=f[??(.r)],

簡單乘枳？復(fù)合關(guān)

其中X是自變量，〃是中間變量.

系?般是嵌套關(guān)系，

例1設(shè)/(x)=e1^(x)=arccosx,求/[夕(刈，(刈,不是簡單的乘積關(guān)

教冷系

學(xué)解〃.切=M￡-2￡

(p[f(x)]=arccosf(x)=arccoseA

過

夕(：)=arccosy

程例2指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程.

(1)y=sin2-^=(2)y=ln(tane*FsM*)

Vx2+1

1-1

2

解(1)y=sin?j2是由y=,w=sinv,v=wU

W=/+1復(fù)合而成.

(2)y=ln(tane*"2smx)是由丫=卜"，?=tanv>v=eH，,

w=x2+2sinx復(fù)合而成，其中x?+2sinx是簡單函數(shù).

注意：并非任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合.例如，y=arcsin〃和

〃=/+2就不能復(fù)合，因?yàn)?+222,而丫=arcsin〃的定義域

是[-1,1].

3.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而

得到的，并且能用個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

例如，f(x)-2'+,+51n4x,y-\/\-x2,y"cot京等都是

初等函數(shù).而y=l+x+x2+d+…不滿足有限次運(yùn)算，

f(x)=[X°不是一個解析式子表示，因此都不是初等函

[-XXV0

數(shù).

一般情況下，把基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的

函數(shù)稱為簡單函數(shù).

在微積分運(yùn)算中，常把一個初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或

簡單函數(shù)的形式進(jìn)行研究，所以應(yīng)當(dāng)學(xué)會怎樣分析初等函數(shù)的結(jié)

教構(gòu).

例3設(shè)y=\lx2+tan2x,試分析它的結(jié)構(gòu)

學(xué)

三.小結(jié)與練習(xí)

過本次課主要分析了常見的函數(shù)類型，同學(xué)們對常見的基本初等函

數(shù)一定要掌握，特別是復(fù)合函數(shù)的分解過程要熟練掌握應(yīng)用

程將下列各題中的y表示成x的函數(shù).

v

1、(1)y=u—cosv,V=e;

(2)y=Inu,u=>/v，v=1+cotx；

(3)y=u2,w=Inv,v=x2-x+2.

2、分析下列函數(shù)的復(fù)合過程.便練習(xí)便指導(dǎo)

談練習(xí)后對這部分

(1)y=cos'13x+—1(2)y=\ntan2x

題目的感受

(3)y=[sin(sin(3x+l))]2(4)

四.布置作業(yè)

P12頁1、2、3、4

五.教學(xué)后記

教案案首

（總第3號）

授課時間2012年9月14日第3周星期五第5,6,7節(jié)

授課地點(diǎn)2401授課學(xué)時3

章節(jié)（單元、專題）第一章函數(shù)

授課內(nèi)容

內(nèi)容利息貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

了解常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的內(nèi)容，以及它們的通過對經(jīng)濟(jì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)在經(jīng)濟(jì)

用途生活中，能夠?qū)⒂嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)模型用函數(shù)解

教學(xué)任務(wù)

析，便于掌握它們的規(guī)律

目標(biāo)

重點(diǎn)：利息、貼現(xiàn)的算法

難點(diǎn)：經(jīng)濟(jì)函數(shù)的常用用途

教學(xué)重點(diǎn)

與難點(diǎn)

1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入（10分鐘）

2.單利、復(fù)利與貼現(xiàn)的計算40分鐘

3.需求與供給函數(shù)的分析40分鐘

4.收入、成本與利潤的計算30分鐘

教學(xué)內(nèi)容

5.布置作業(yè)（5分鐘）

與

時間安排

1、方法：講授

教學(xué)方法

2、教具：幾何輔助圖形

與手段

3、是否多媒體是（）否（V）課件來源

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

—.復(fù)習(xí)導(dǎo)入提出問題：同學(xué)們與

銀行打交道最多是

復(fù)習(xí)上次課函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，然后提出銀行存錢利息問

什么？存款與取款，

題，成本核算問題等引入新課題存款中最關(guān)心的是

二.講授新內(nèi)容什么？

P為本金，r為年利

課題利息貼現(xiàn)經(jīng)濟(jì)函數(shù)

率，學(xué)生推導(dǎo)：第一

1.利1息、貼現(xiàn)年利息不計入本金

（1）單利計算公式為單利；第一年利息

計入本金為復(fù)利

第〃年末的本利和S“為

=P（l+”r）

（2）復(fù)利計算公式：

R是n年后到期價

值，票據(jù)現(xiàn)值為P,

（3）貼現(xiàn)

教同學(xué)們能否根據(jù)復(fù)

債券或其他票據(jù)持有人，為了在票據(jù)到期以前獲得資金，從票面

利計算公式推導(dǎo)出

金額中扣除未到期間的利息后，得到所余金額的現(xiàn)金，就是貼現(xiàn)

學(xué)來

（老師總結(jié)）

過P=>-

(1+r)"需求量與價格應(yīng)該

程具有怎樣的關(guān)系？

2.需求函數(shù)與供給函數(shù)

（啟發(fā)大家）想象市場規(guī)律下需求量與價格之間存在什么樣

的關(guān)系，它們是不是函數(shù)關(guān)系呢？（老師總結(jié)）簡單地認(rèn)為

價格定了需求量就隨之確定，這樣需求量就是價格的函數(shù).供給量與價格應(yīng)該

具有怎樣的關(guān)系？

（啟發(fā)）供給，就是廠方能夠?yàn)槭袌鎏峁┒嗌佼a(chǎn)品，當(dāng)然它

也是和價格有關(guān)系的，產(chǎn)品價格高，廠方就增加生產(chǎn)，反之

供給量就減少.（老師總結(jié)）我們也可以把它簡化為一種函

數(shù)關(guān)系.需求量與價格之間的函數(shù)就稱為需求函數(shù)，供給量

與價格之間的函數(shù)就稱為供給函數(shù).

討論一種最簡單的情況，認(rèn)為需求函數(shù)和供給函數(shù)都是

線性函數(shù)（?次函數(shù)），在這種關(guān)系下通過討論看可以得到

什么性質(zhì).

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

思考問題:-

在需求函數(shù)的

qd=ap+b(a>O,b<0)

表達(dá)式中，為什

么要有b>0?

為表示需求量，P表示價格，*”表示常數(shù).答案因?yàn)楸磉_(dá)式中

的a取負(fù)值，而在合

理的價格范圍內(nèi)，需

我們?nèi)菀桌斫庑枨罅繎?yīng)隨價格的增加而減少，所以。<0,求量應(yīng)為正值，所以

有b〉0

當(dāng)然b>0.而供給量應(yīng)隨著價格的增加而增加，所以

%>0,仇<°,因?yàn)楫?dāng)價格為零時，不會有供給量.經(jīng)濟(jì)學(xué)家怎樣作

呢？一般經(jīng)濟(jì)學(xué)家

是將價格P做為豎

軸，需求量或供給量

教做為橫軸，同學(xué)們可

以自己畫出討論一

學(xué)下

過

從圖形上看，需求函數(shù)是一條單調(diào)下降的直線，供給函

程數(shù)是一條單調(diào)上升的直線.

我們把這兩條曲線放在同一個坐標(biāo)系中，就會發(fā)現(xiàn)有這

樣的關(guān)系，兩條直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)的含義是，在價格為

P。時，產(chǎn)品的需求量與供給量是相同的，即供需達(dá)到了平

衡.這一點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn).價格超過P。時，供過于求；

價格低于0。時，供不應(yīng)求.在經(jīng)濟(jì)分析中，供需平衡點(diǎn)所

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

對應(yīng)的價格，稱為市場均衡價格：它所對應(yīng)的需求量或供給量稱思考問題:是不是產(chǎn)

量越大利潤越大

為市場均衡數(shù)量.

呢？

3.成本與利潤函數(shù)

成本應(yīng)與產(chǎn)品的產(chǎn)量有關(guān)，這種函數(shù)表示為：cg=c、+c、9

這就是成本函數(shù).其中總成本以是產(chǎn)量。的函數(shù)，a與產(chǎn)量

無關(guān)，變動成本G2)也是產(chǎn)量(7的函數(shù).

我們在引入平均成本的概念：4

教這樣就得到廬q。(。)

其中0(g)是價格與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系.相應(yīng)地有平均收入函

學(xué)

數(shù)

過R=^l

q

程

￡(q)="(q)-0(g)

相應(yīng)地有平均利潤函數(shù)的概念："

(1)￡()〉0盈利，(2)￡(q)<0虧損,(3)￡(q)=0盈虧平衡

滿足￡(0=0的例稱為盈虧平衡點(diǎn)(又稱保本點(diǎn)).

便練習(xí)便指導(dǎo)

三.小結(jié)與練習(xí)談練習(xí)后對這部分

題目的感受

本次課的內(nèi)容在經(jīng)濟(jì)分析中作用較大，特別是這些基本經(jīng)濟(jì)函數(shù)

在市場規(guī)律中早以得到了驗(yàn)證，作為財會專業(yè)的學(xué)生更應(yīng)該對這

些函數(shù)了如之掌

四.布置作業(yè)

P14頁1、2、3、4

五.教學(xué)后記

教案案首

授課時間2012年9月21日第4周星期五第5,6,7節(jié)

授課地點(diǎn)2401授課學(xué)時3

章節(jié)（單元、專題）第二章極限與連續(xù)

授課內(nèi)容

內(nèi)容極限的概念

知識目標(biāo)能力目標(biāo)

通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)，理解極限的概念，通過對極限的學(xué)習(xí)，使同學(xué)理解在變化

知道極限是怎樣一個變化過程中認(rèn)識事物的本質(zhì)是怎樣的一個逼近過

教學(xué)任務(wù)

目標(biāo)程

重點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)極限的理解

難點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)極限的理解

教學(xué)重點(diǎn)

與難點(diǎn)

1.極限概念的引入20分鐘

2.數(shù)列的極限40分鐘

3.函數(shù)的極限40分鐘

4.小結(jié)與練習(xí)25分鐘

教學(xué)內(nèi)容

5.布置作業(yè)5分鐘

與

時間安排

1、方法：講授

教學(xué)方法

2、教具：幾何輔助圖形

與手段

3、是否多媒體是（否（）課件來源自制

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

三.復(fù)習(xí)導(dǎo)入提出問題：中學(xué)數(shù)學(xué)

中無窮遞縮等比數(shù)

復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列的概念，講述極限產(chǎn)生的歷史背景（割圓述和

列問題，及莊子天下

莊子語）引入新課題中提到的問題（見左

四.講授新內(nèi)容邊）

課題第一節(jié)極限的概念

1.引入

【引例1］書上用圓內(nèi)接正6x2"T邊形的面積來近似代替該圓

的面積時，得到數(shù)列4，42,……A”,……（多邊形的面

學(xué)生給出答案

積數(shù)列）

【引例2］長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進(jìn)行下去，

那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列：……—,……，通

222232"

教

項為看其變化趨勢

2"

提問：如果不唯?，

學(xué)2.總結(jié)定義：當(dāng)項數(shù)n無限增大時，通項無限接近一常數(shù)，對于

滿足極限的定義

數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的

嗎？

過那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題

有界一定收斂嗎？

3.收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：

程

定理1：（唯一性）數(shù)列X“不能收斂于兩個不同的極限。這無限逼近過程能

否一個點(diǎn)一點(diǎn)的計

定理2.（有界性）若數(shù)列x“收斂，那么它一定有界，即：對于算呢？

極限是描述函數(shù)的

數(shù)列x“，若三正數(shù)對一切"，有自變量在某個變化

過程中函數(shù)的變化

本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列乙=（-1）向趨勢，同一個函數(shù)在

自變量不同的變化

是有界的但數(shù)列不收斂。過程中，變化趨勢可

能不同，因此，在討

讓同學(xué)們舉例說明

論函數(shù)的極限時，必

4.自變量趨向有限值與時函數(shù)的極限須要知道自變量的

變化過程

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值X。時的函數(shù)極限可理

解為：當(dāng)X7寸，/（%）-?A（A為某常數(shù)），即當(dāng)X7/時，

/（X）與4無限地接近，或說|/（x）-川可任意小，

5.左、右極限

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

在函數(shù)極限的定義中，尤是既從X。的左邊(即從小于X。的請同學(xué)們模仿上面

函數(shù)極限的定義形

方向)趨于與，也從X。的右邊(即從大于X。的方向)趨于X。。

式，給出當(dāng)

但有時只能或需要X從X。的某一側(cè)趨于X。的極限。如分段X—8時極限定義

函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定情況

義

定理limf(x)=AQlimf(x)-limf(x)-A

A—?A0x—>.ro-0x-?xo+0

6.自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

函數(shù)在一點(diǎn)處有無

lira/(x)=AQlim/(x)=limf(x)=A

X~X-->+0°X>—OO極限與這一點(diǎn)的有

無定義有關(guān)嗎？

若lim/(x)=A,就稱>=4為>=/(x)的圖形的水平漸近線

(若lim/(x)=A或lim/(x)=A,有類似的漸近線)

A—>-H?X->-oo

教7.函數(shù)極限的性質(zhì)

定理1：(保號性)設(shè)lim/(x)=A,

學(xué)

過(i)若A>0(A<0),則m3>0,當(dāng)xeU(f),b)時，

程/(x)>0(/(x)<0)?

(ii)若/()N0(f(x)W0),必有420(4WO)。

[1x>0

設(shè)/(x)=:.?，求hm/(x)。

2x4-1X<0XT。

解：顯然lim/(x)=lim1=1

XTO+OX-?0+0

limf(x)=lim(2x+1)=1

x->0-0XTO-O

因?yàn)閘imf(x)=limf(x)=1,所以lim/(x)=l

XTO+OX->0-0X70

三.小結(jié)與練習(xí)

注：(1)在討論函數(shù)極限時，一定離不開自變量的變化趨勢；

(2)lim/(x)是否存在和/(x)在/點(diǎn)處有無定義無關(guān)；

XT廂

教案紙

教師活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動

（3）可以驗(yàn)證，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)處的極限都存在，

且等于該點(diǎn)的函數(shù)值；

（4）一一般地=>0;limax