新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊教案：8-6-3平面與平面垂直 教案

8.6.3平面與平面垂直

課題平面與平面的垂直單元第八單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二

本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，由生活實際立體圖形導(dǎo)入，進而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教材

分析

教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象：通過將實際物體抽象成空間圖形并觀察平面與平面垂直關(guān)系。

目標2.邏輯推理：通過例題和練習逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實際的。

與核3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點是數(shù)學(xué)中的形在講解時注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力，有利

心素于數(shù)學(xué)建模中推理能力。

養(yǎng)4.空間想象：本節(jié)重點是考查學(xué)生空間想象能力。

重點平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

難點平面垂直判定、二面角、面面垂直性質(zhì)

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課豎電線桿時，電線桿所在的直線與地面應(yīng)滿足怎樣學(xué)生思考問利用生活實際引

的位置呢？為了讓一面墻砌的穩(wěn)固，不易倒塌，不

易倒塌，墻面所在的平面與地面又應(yīng)該滿足怎樣的題，引出本節(jié)出本節(jié)新課內(nèi)

位置關(guān)系呢？新課內(nèi)容。容。

講授新課1.二面角根據(jù)實例觀通過具體立體圖

定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖察空間中的形體會面面垂直

形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每面面垂直

個半平面叫做二面角的面。

記法

棱為1,兩個面分別為a、B的二面角記作a-1-B。

2.思考：二面角的平面角的大小，與角的頂點在

棱上的位置有關(guān)嗎，為什么？

答：無關(guān).如圖，根據(jù)等角定理可知，ZAOB=ZA,

O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點的位

置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).

給出二面角培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形

3.二面角的平面角的特點：特點結(jié)合思想

(1)角的頂點在二面角的棱上

(2)角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)

(3)角的兩邊都與棱垂直

4.例一：已知，如圖所示銳二面角a-1-B,A為面

a內(nèi)一點，A到B的距離為2,到1的距離為4.求

二面角a-1-B的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步驟:

(1)作二面角的平面角

(2)證明該角為平面角

(3)歸納到三角形求值

簡記：一作、二找、三求解

小

6.例二：如圖，AB是。0的直徑，PA垂直于。。所

在的平面，C是圓周上的一點，且PA=AC,求二面

角P—BC—A的大小.學(xué)生獨立思段煉學(xué)生解決問

考例二題能力

;

解:由已知PAJ_平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)/.PA±

BC

「AB是。。的直徑，且點C在圓周上，；.AC_LBC

又?/PAAAC=A,PA,AC在平面PAC內(nèi)，,BC_L平面PAC

又PC在平面PAC內(nèi),.*.PC±BC

又：BC是二面角P-BC-A的棱，.NPCA是二面角

P-BC-A的平面角

由PA=AC知aPAC是等腰直角三角形.IZPCA=45°,

即二面角P-BC-A的大小是45°

7.面面垂直定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

直二面角，就說這兩個平面互相垂直，平面a與6

垂直，記作a

P--------1

%7

8.探究：建筑工人在砌墻時，常用鉛錘來檢測所砌段煉學(xué)生獨立解

小組討論探

的墻面與地面是否垂直，如果系有鉛錘的細繩緊貼決問題能力

究一并給出

墻面，工人師傅被認為墻面垂直于地面，否則他就

答案

認為墻面不垂直于地面，這種方法說明了什么道

理？

這個方法說明，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻

面與地面垂直。

9.定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么

這兩個平面垂直。

符號語言：1在a內(nèi)，1_LB,則a

10.例三：如圖所示，在四面體A—BCD中，BD=

儂，AB=AD=CB=CD=AC=a.求證：平面ABD加深對知識的掌

學(xué)生獨立完

平面BCD.握

成例三

A

/.....\\D

\/

C

總結(jié)用定義證明兩個平面垂直的步驟

利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平

面垂直，判定的方法是：

①找出兩個相交平面的平面角；

②證明這個平面角是直角；

③根據(jù)定義，這兩個平面互相垂直.

11.練習一：如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'

中,求證：平面ABD垂直平面ACCA

Ary-c

c

A--"

證明：：ABCD-ABC'D'是正方體

.,.AA'J_平面ABCD

AAA'IBD

又BD_LAC

.*.BD_L平面ACC'A'

...平面ABDJ_平面ACC'A'

12.例四：如圖，AB是圓0的直徑，PA垂直于

段煉學(xué)生團隊協(xié)

圓。所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任意一小組討論例

作能力

點，求證:平面PACJ_平面PBC

證明：；PAL平面ABC

BC在平面ABC內(nèi)

APA±BC

???點C是圓周上不同于A,B的任意一點，AB是圓

0的直徑

/.ZBCA=90°BPBC1AC

又PACAC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC

中

ABC在平面PBC內(nèi)

二平面PAC_L平面PBC

1、

1*

4

13.練習二：如圖，棱柱ABC-AIBICI的側(cè)面

BCGBi是菱形，BiClAiB.

證明：平面ABC平面AiBCi

學(xué)生獨立思段煉學(xué)生對于新

考練習二知識的掌握

&B

證明：：四邊形BCCB為梯形，...BCiLBiC,又已

知BiClAiB,

AiBCBC產(chǎn)B,...BiCJ■平面AiBG,又；BiC在平面

ABiC內(nèi)，

平面ABiClAiBC,

學(xué)生小組探段煉其數(shù)學(xué)建模

探究：如L即，設(shè)a_LB,aGB=a,則B內(nèi)任意一條究面面垂直思想

直線上與a有什么關(guān)系？相應(yīng)的b與a有什么位置性質(zhì)

關(guān)系?

/

V

證明：顯夕生b與a平行或相交，當b〃a時，b〃a；當

b與a相及邛寸，b與a也相交。而當b垂直a時，b

也垂上Ia

14.練二習三如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面

ABCD為菱形，ZBAD=60°,側(cè)面4PAD為等邊

三角形.

⑴求證：AD1PB；

(2)若E為BC邊上的中點，能否在棱PC上找到一

點F,使平面DEF_L平面ABCD?并證明你的結(jié)論.

P

AB

證明：設(shè)G為AD的中點，連接PG,BG,如圖，

因為4PAD為等邊三角形，所以PGLAD,在菱形

ABCD中，ZDAB=60°,G為AD中點，所以BG

±ADo又因為BGCPG=G,所以AD_L平面PGB。

因為PB屬于平面PGB,所以AD1.PB。

P

AB

(2)當F為PC的中點時，滿足平面DEF,平面

ABCD如圖設(shè)F為PC的中點，連接DF,EF,DE,

則在4PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而

EF屬于平面DEF,DE屬于平面DEF,EFADE=E,

所以平面DEF//平面PGB,由(1)得ADJ_平面PGB,

而AD屬于平面ABCD,所以平面PGB_L平面

ABCD,所以平面DEF_L平面ABCD

規(guī)律方法證明兩兩垂直常用的方法：

(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二

面角.

(2）判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與

另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直

(3）性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平

面,則另一個也垂直于此平面.

15.練習四：如圖PA_L平面ABC,平面PAB_L平面

鍛煉其思考及總

PI3C,求證：ABXBC

學(xué)生獨立思結(jié)能力

p考探究二

B

16.探究二：設(shè)平面a，平面I3,點P在平面。內(nèi)，

過點P作平面B的垂線a,直3吉a與平面a有什么位

置關(guān)系？

/A

A/Jo

4I____

I'I

WLj/c/

////

證明：我們知道，過一點只能做一條直線與

已知平面垂直，因此，如果過一點有兩條直

線與平面垂直，那么這兩條直線重合。如圖，

設(shè)aCB=c，過點P在平面a內(nèi)作直線b±c,

根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，b，B,因

為過一點有且只有一條直線與平面P垂直，

所以直線a與直線b重合，因此a在a內(nèi)。

17.平面與平面垂直性質(zhì)

兩個平面垂直，如累一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交

文字語言

線，那么這條直線與另一個平面_垂直______

符號語言a±l(aca)=#_a±。______

段煉學(xué)生獨立解

置形語言B

學(xué)生獨立完決問題能力

①面面垂直C線面垂直

作用

②作面的垂線

成例五

例五：如圖，已知平面a垂直平面B,直線a_LB,

a不在a內(nèi)，判斷a與a的位置關(guān)系。

解：在a內(nèi)作垂直于a與B的直線b

a±P,AbiB

又a_L6a〃b

又a不在a內(nèi)

/.a//a

即直線a與平面a平行

例六:如圖，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC,

求證：BCJ_平面PAB

證明：如圖，過點A作AEJ_PB,垂足為E

.平面PABJ_平面PBC,平面PABA平面PBC

，AE_L平面PBC

VBC在平面PBC內(nèi)Z.AE1BC

,.?PA_L平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)

.*.PA_LBC又PACAE=A

.?.BC_L平面PAB

18.例七：如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外

的一點，四邊形ABCD是NDAB=60°且邊長為a的

菱形.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底

面ABCD.

⑴若G為AD邊的中點，求證：BG，平面PAD：

(2)求證：AD1PB.

P

a

?C

證明(1)連接BD,如圖，在菱形ABCD中，

DAB=60°AAABD為正三角形又；G是AD的中點

BG_LAD又.平面PAD_L平面ABCD,平面PADA平面

ABCD=AD,BG在平面ABCD內(nèi)，；.BG_L平面PAD

Bc

(2):△PAD為正三角形，G為AD的中點，.'.PG加強對知識的掌

±AD握