弧度制學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教學(xué)目標(biāo)：1.了解弧度的角、弧度制的定義；2.正確熟練的進(jìn)行角度與弧度的換算；3.會推導(dǎo)弧度制下的弧長公式、扇形面積公式.重點：了解弧度制，并能進(jìn)行弧度與角度的換算.難點：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.二、知識回顧1．角的概念的推廣2.象限角3．終邊相同的角三、預(yù)習(xí)自學(xué)（=1\*ROMANI）弧度制的概念叫做1弧度的角.2.一般地，正角的弧度數(shù)是一個，負(fù)角的弧度數(shù)是一個，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為，那么，角的弧度數(shù)的絕對值是，這里，的正負(fù)由決定.（=2\*ROMANII）角度與弧度的互化周角的弧度數(shù)是,即:由此得:＝弧度注意：弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去。(III)在弧度制下,角的集合與實數(shù)集之間建立起的一一對應(yīng)關(guān)系:每一個角都有(即:)與它對應(yīng);反過來,每一個實數(shù)也都有(即:)與它對應(yīng).探究合作與典型例題例1:（1）把化成弧度（結(jié)果用精確值表示）；（2）將換算成角度（精確到0.001）思考：在求角的近似值時，如何用計算器求解？你能用計算器比較與的大小嗎？練習(xí):填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：度弧度例2:利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的弧長和面積公式：（1）（2）（3）其中是,是,是,是五、檢測反饋（比一比，看誰做得又對又快?。?.下面四個選項中，正確的是（）A1弧度是1度的圓心角所對的弧B1弧度是長度為半徑的弧C1弧度是1度的弧與1度的角之和D1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位2.下列各式中，成立的是（）ABCD1＝3．若＝4.70，則是（）角A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限4、把下列各角化成弧度，弧度化成度：5.已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1B．4C．1或4D．2或46.已知半徑為120mm的圓上，有一條弧的長是144mm，求該弧所對的圓心角的弧度數(shù).制寫出（1）第一、二、三、四象限角的集合.;（·2）終邊在x軸上的角的集合；（3）終邊在y軸上的角的集合；8.已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長為6，(1)求eq\x\to(AB)的弧長；(2)求弓形OAB的面積．課時作業(yè)一、選擇題1．在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為()A.eq\f(40,3)πB.eq\f(20,3)πC.eq\f(200,3)πD.eq\f(400,3)π2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)3．時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3,4)πB．－2πC．πD．－π5．若1弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于()A．sineq\f(1,2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(1,sin\f(1,2))D．2sineq\f(1,2)二、填空題6．若三角形三內(nèi)角之比為4∶5∶6，則最大內(nèi)角的弧度數(shù)是____________．7．如果一扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，則該扇形的面積為原扇形面積的________．8．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，則α的集合是______．9．若2π<α<4π，且α與－eq\f(7π,6)角的終邊垂直，則α＝________________.三、解答題10．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示)．11．把下列角化為2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：(1)eq\f(16π,3)；(2)-25π4（3）－315°（4）930°12．已知一個扇形的周長為a，求當(dāng)扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值．13.一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為__________．導(dǎo)學(xué)案檢測反饋答案5.C解析設(shè)扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6,\f(1,2)αr2＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2,α＝1)).6.7.略8．解(1)∵α＝120°＝eq\f(2π,3)，r＝6，∴eq\x\to(AB)的弧長為l＝αr＝eq\f(2π,3)×6＝4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，S△ABO＝eq\f(1,2)r2·sineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×62×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9eq\r(3).課時作業(yè)答案A解析240°＝eq\f(240,180)π＝eq\f(4,3)π，∴弧長l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，故選A.CB解析顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了兩周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.A解析∵－eq\f(11,4)π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))＝2×(－1)π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))，∴θ＝－eq\f(3,4)π.5.C6.答案eq\f(2,5)π7.答案eq\f(3,4)由于S＝eq\f(1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f(1,2)R，則S′＝eq\f(1,2)l′R′＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f(3,4)S.8.答案(－π，－π)∪π，2]解析∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，當(dāng)k＝－1時，－＜α＜－π，當(dāng)k＝0時，＜α≤2，當(dāng)k為其他整數(shù)時，滿足條件的角α不存在．eq\f(7,3)π或eq\f(10,3)π解析α＝－eq\f(7,6)π－eq\f(π,2)＋2kπ＝2kπ－eq\f(5,3)π，k∈Z，∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝eq\f(7,3)π；或者α＝－eq\f(7,6)π＋eq\f(π,2)＋2kπ＝2kπ－eq\f(2,3)π，k∈Z，∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝eq\f(10,3)π.綜上，α＝eq\f(7,3)π或eq\f(10,3)π.(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ－\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ＋\f(π,6)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(1)eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).∵0≤eq\f(4π,3)＜2π，∴eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).(2)-(3)∵－315°＝－315×eq\f(π,180)＝－eq\f(7π,4)＝－2π＋eq\f(π,4)，∵0≤eq\f(π,4)＜2π，∴－315°＝－2π＋eq\f(π,4).(4)4設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4)))2＋eq\f(a2,16).∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<eq\f(a,2)，∴當(dāng)r＝eq\f(a,4)時，Smax＝eq\f(a2,16).此時，l＝a－2·eq\f(a,4)＝eq\f(a,2)，∴α＝eq\f(l,r)＝2.故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時，扇形的面積最