數值分析、計算方法試題庫及答案

x~x學年第1學期《計算方法》課程考試試卷（A）開課二級學院：理學院，考試時間：x年__月_日時考試形式：閉卷√□、開卷□，允許帶計算器入場裝訂線考生姓名：學號：專業(yè)：裝訂線題序一二三四五六七總分得分評卷人一、填空（每個空3分，共27分）1，設，則有__________位有效數字2，是經四舍五入得到的近似值，則其相對誤差___________3，設，則___________，___________4，設,則由梯形公式計算的近似值T和定積分的值的大小關系為___________5,設，___________6,對點擬建立模型，則滿足的正規(guī)方程組為______________________7，若滿足的正規(guī)方程組為：則之間的關系式為______________________8，對冪法迭代公式當充分大時有常數使，則的按模最大的特征值________寂涯網絡xx~~~xx學年第1學期《計算方法》課程試卷A第1頁共4頁二、設，求使,；又設，則估計余項的大小。（15分）三、設，，（1）計算，（2）估計截斷誤差的大?。?2分）寂涯網絡xx~~~xx學年第1學期《計算方法》課程試卷A第2頁共4頁四、設方程在[]內有實根，試寫出迭代公式使，并說明迭代公式的收斂性。（10分）裝裝訂線五、設有線性方程組，其中（1）求分解;(2)求方程組的解(3)判斷矩陣的正定性（14分）寂涯網絡xx~~~xx學年第1學期《計算方法》課程試卷A第3頁共4頁六、設有線性方程組，其中，試討論Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。（14分）七、設是階實對稱正定矩陣，經過一次高斯消元計算變?yōu)?，其中為行向量，是零列向量，試證明是對稱正定矩陣（8分）xx~xx學年第1學期《計算方法》課程考試試卷（B）開課二級學院：理學院，考試時間：xx年_12__月_31_日時考試形式：閉卷√□、開卷□，允許帶計算器入場裝訂線考生姓名：學號：專業(yè)：裝訂線題序一二三四五六七八總分得分評卷人一、填空（每空3分，共27分）1，牛頓—柯特斯求積公式的系數______________________2,設的相對誤差為，則的相對誤差為___________3,設是經四舍五入得到的近似值，則___________4,設，則___________，___________5，對實驗數據擬建立模型，則滿足的正規(guī)方程組為______________________________6,若滿足的正規(guī)方程組為：則之間的關系式為______________________7，若是的按模最大的特征值，則的按模最小的特征值為___________8，對冪法迭代公式當充分大時有常數使六、設方程在[]內有實根，試寫出迭代公式使。（10分）七、設是非奇異矩陣，矩陣序列滿足，若，證明：（8分）xx~xx學年第1學期《計算方法》課程試卷（A）參考答案及評分標準開課二級學院：理學院，學生班級：07數學,07信算1,2教師：何滿喜一、填空（共27分，每空3分）1，32，3，1164，5，6，7，8，二（共15分）、由公式得三（共12分）、根據給定數據點的個數應該用復化simpson公式計算由公式得=若用其它公式計算正確，且誤差比以上的誤差大時只給過程分數8分，扣除方法分數4分。四、（10分）把方程等價變?yōu)橐韵路匠蹋骸队嬎惴椒ā氛n程試卷A參考答案及評分標準第1頁共3頁即迭代公式收斂于方程在區(qū)間內根上。五、（14分）因為（1）=LU=(2)方程組的解為;（3）由于A==所以矩陣A是對稱正定的六（14分）、所以，由定理可知簡單（Jacobi）迭代法收斂。所以，由定理可知Seidel迭代法不收斂?！队嬎惴椒ā氛n程試卷A參考答案及評分標準第2頁共3頁七（8分）、證：的元素為，因此為對稱矩陣。記，則對任意n-1維非零向量，作，記，則，而，從而為正定矩陣?！队嬎惴椒ā氛n程試卷A參考答案及評分標準第3頁共3頁課程編號：12000044北京理工大學2010-2011學年第一學期xx級計算機學院《數值分析》期末試卷A卷班級學號姓名成績注意：①答題方式為閉卷。②可以使用計算器。請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。填空題（20×2′）設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有位有效數字。設，‖A‖∞＝_______，‖X‖∞＝_______，‖AX‖∞≤_______(注意：不計算‖AX‖∞的值)。非線性方程f(x)=0的迭代函數x=(x)在有解區(qū)間滿足，則使用該迭代函數的迭代解法一定是局部收斂的。若f(x)=x7－x3＋1，則f[20,21,22,23,24,25,26,27]=，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=。區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數S(x)在[a,b]上具有直到階的連續(xù)導數。當插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的（填寫前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的（填寫前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估計結果的舍入誤差，應該選用插值公式中的。拉格朗日插值公式中f(xi)的系數ai(x)的特點是：；所以當系數ai(x)滿足，計算時不會放大f(xi)的誤差。要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取位有效數字。對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是。由下列數據所確定的插值多項式的次數最高是。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛頓下山法的下山條件為。線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri(i=0,1,…,n)來實現的，其中的殘差ri＝，(i=0,1,…,n)。在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導數不變號，則初始點x0的選取依據為。使用迭代計算的步驟為建立迭代函數、、迭代計算。判斷題(在題目后的()中填上“√”或“×”。)（10×1′）若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。()解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX＝b的高斯——塞德爾迭代法一定收斂。()樣條插值一種分段插值。()如果插值結點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()從實際問題的精確解到實際的計算結果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。()解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX＝b。()迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差。()數值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差＝舍入誤差。()10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。()計算題（5×8′+10′）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計算時小數點后保留5位)。2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x)，并寫出其截斷誤差的表達式(設f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導數)。xi012f(xi)1-13f’(xi)153、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。4、設y=sinx，當取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式計算x=1.75的函數值時，函數值y0,y1,y2應取幾位小數?5、已知單調連續(xù)函數y=f(x)的如下數據：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法計算，x約為多少時f(x)=1。(計算時小數點后保留5位)。6、應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式，并用此公式求的值。（計算時小數點后保留4位)。課程編號：12000044北京理工大學xx-2010學年第二學期xx級計算機學院《數值分析》期末試卷A卷班級學號姓名成績注意：①答題方式為閉卷。②可以使用計算器。請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。填空題（20×2′）設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數字。設，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。非線性方程f(x)=0的迭代函數x=(x)在有解區(qū)間滿足|’(x)|<1，則使用該迭代函數的迭代解法一定是局部收斂的。若f(x)=x7－x3＋1，則f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數S(x)在[a,b]上具有直到2階的連續(xù)導數。當插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結果的舍入誤差，應該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。拉格朗日插值公式中f(xi)的系數ai(x)的特點是：1；所以當系數ai(x)滿足ai(x)>1，計算時不會放大f(xi)的誤差。要使的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取4位有效數字。對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是(B)<1。由下列數據所確定的插值多項式的次數最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri(i=0,1,…,n)來實現的，其中的殘差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導數不變號，則初始點x0的選取依據為f(x0)f”(x0)>0。使用迭代計算的步驟為建立迭代函數、選取初值、迭代計算。判斷題（10×1′）若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX＝b的高斯——塞德爾迭代法一定收斂。(×)樣條插值一種分段插值。()如果插值結點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()從實際問題的精確解到實際的計算結果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。()解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX＝b。(×)迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差。(×)數值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差＝舍入誤差。()10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。(×)計算題（5×10′）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化為：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x)，并寫出其截斷誤差的表達式(設f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導數)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。解答：交換第二和第四個方程，使系數矩陣為嚴格對角占優(yōu)：雅克比迭代公式：4、設y=sinx，當取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式計算x=1.75的函數值時，函數值y0,y1,y2應取幾位小數?5、已知單調連續(xù)函數y=f(x)的如下數據：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法計算，x約為多少時f(x)=1。(計算時小數點后保留5位)。6、應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式，并用此公式求的值。（計算時小數點后保留4位)。華南農業(yè)大學期末考試試卷（A卷）2007學年第二學期考試科目：數值分析考試時間：120分鐘學號姓名年級專業(yè)題號一二三四總分123456得分評閱人一、判斷題（每小題2分，共10分）用計算機求時，應按照從小到大的順序相加。（）為了減少誤差,應將表達式改寫為進行計算。（）用數值微分公式中求導數值時，步長越小計算就越精確。（）采用龍格－庫塔法求解常微分方程的初值問題時，公式階數越高，數值解越精確。（）用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數矩陣及其演變方式有關，與常數項無關。（）二、填空題（每空2分，共36分）已知數a的有效數為0.01，則它的絕對誤差限為________，相對誤差限為_________.設則_____，______，_____.已知則,.為使求積公式的代數精度盡量高，應使，，，此時公式具有次的代數精度。階方陣A的譜半徑與它的任意一種范數的關系是.用迭代法解線性方程組時，使迭代公式產生的向量序列收斂的充分必要條件是.使用消元法解線性方程組時，系數矩陣可以分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，即若采用高斯消元法解，其中，則_______________，______________；若使用克勞特消元法解，則____；若使用平方根方法解，則與的大小關系為_____（選填：>，<，=，不一定）。以步長為1的二階泰勒級數法求解初值問題的數值解，其迭代公式為___________________________.三、計算題（第1～3、6小題每題8分，第4、5小題每題7分，共46分）以為初值用牛頓迭代法求方程在區(qū)間內的根，要求證明用牛頓法解此方程是收斂的；給出用牛頓法解此方程的迭代公式，并求出這個根（只需計算計算結果取到小數點后4位）。給定線性方程組分別寫出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組的迭代公式；試分析以上兩種迭代方法的斂散性。已知函數在如下節(jié)點處的函數值-10121430建立以上數據的差分表；根據后三個節(jié)點建立二階牛頓后插公式，并計算的近似值；采用事后估計法計算（2）中近似值的截斷誤差（結果保留四位小數）。已知如下數據表，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項式。x-1012y1250已知函數在以下節(jié)點處的函數值，利用差商表求和的近似值。x134y218寫出前進歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構造一個預估－校正公式求解下列常微分方程的數值解。四、（8分）已知n+1個數據點，請用多種方法建立這些數據點之間的函數關系，并說明各種函數的適用條件。華南農業(yè)大學期末考試答案及評分標準（A卷）2007學年第二學期考試科目：數值分析一、判斷題：（每小題2分，共10分）1.×2.√3.×4.×5.×二、填空題：（每空2分，共36分）1.或，2.3.4.5.6.7.8.或三、解答題（第1～4小題每題8分，第5、6小題每題7分，共46分）（1）證明：，由于即在上不變號，對于初值，滿足所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的。………4分（2）解：牛頓迭代法的迭代公式為………2分取初值進行迭代，得………1分………1分解：（1）Jacobi迭代公式為……………2分Gauss-Seidel迭代公式為……………2分（2）Jacobi迭代矩陣的特征方程為，展開得，即，從而得，（或由單調性易判斷必有一個大于1的特征根，）因此迭代矩陣的譜半徑等于必大于1，所以Jacobi迭代法發(fā)散?！?分Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程為，展開得，解得迭代矩陣的譜半徑小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收斂?！?分解：（1）建立差分表………2分（2）建立牛頓后插公式為則所求近似值為………3分（3）根據前三個節(jié)點建立牛頓后插公式為則根據事后誤差估計法故截斷誤差………3分解：設所求二次最小平方逼近多項式為根據已知數據，得……………2分則……………1分建立法方程組為……………2分解得……………1分從而得所求一次最小平方逼近多項式為……………1分解：設為已知節(jié)點數據的插值二次多項式。構造如下差商表：一階差商二階差商……………2分因為二次多項式的二階差商為常數，又是的插值函數，故有……………2分而，因此得，……………1分由于，從而得……………2分解：前進歐拉公式：…………1分后退歐拉公式：……1分預估時采用歐拉公式……………1分校正時采用后退歐拉公式……………1分由初值知，節(jié)點分別為當，……………1分當.……………1分當.……………1分當.……………1分當.四、（8分）答：1、可以建立插值函數：（1）Newton基本差商公式……………1分（2）Lagrange插值多項式其中.……………1分這兩類插值函數的適用條件是：n不太大；而且要求函數嚴格通過已知數據點?！?分2、可以建立擬合函數：……………1分其中系數滿足法方程組,……………1分擬合函數的適用條件是：n比較大，而且并不要求函數嚴格通過已知數據點，或者已知數據點本身的誤差較大?！?分數值分析模擬試卷1一、填空（共30分，每空3分）1設，則A的譜半徑______，A的條件數=________.2設，則＝________,＝________.3設，是以0，1，2為節(jié)點的三次樣條函數，則b=________,c=________.4設是區(qū)間［0，1］上權函數為的最高項系數為1的正交多項式族，其中，則________，________.5設，當________時，必有分解式，其中L為下三角陣，當其對角線元素滿足條件________時，這種分解是唯一的.二、（14分）設,

（1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足，.

（2）寫出余項的表達式.三、（14分）設有解方程的迭代公式為，

（1）證明均有（為方程的根）；

（2）取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收斂階是多少？證明你的結論.四、(16分)試確定常數A，B，C和，使得數值積分公式

有盡可能高的代數精度.試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為Gauss型的？五、（15分）設有常微分方程的初值問題，試用Taylor展開原理構造形如的方法，使其具有二階精度，并推導其局部截斷誤差主項.六、（15分）已知方程組，其中，

（1）試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性.

（2）若有迭代公式，試確定一個的取值范圍，在這個范圍內任取一個值均能使該迭代公式收斂.七、（8分）方程組，其中，A是對稱的且非奇異.設A有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明.

其中和分別為A的按模最大和最小的特征值.數值分析模擬試卷2填空題（每空2分，共30分）近似數關于真值有____________位有效數字；設可微，求方程根的牛頓迭代格式是_______________________________________________；對，差商_________________；________；已知，則________________，______________________；用二分法求方程在區(qū)間[0,1]內的根，進行一步后根所在區(qū)間為_________，進行二步后根所在區(qū)間為_________________；求解線性方程組的高斯—賽德爾迭代格式為_______________________________________；該迭代格式迭代矩陣的譜半徑_______________；為使兩點數值求積公式：具有最高的代數精確度，其求積節(jié)點應為_____,_____,__________.求積公式是否是插值型的__________，其代數精度為___________。二、（12分）(1)設，其中為下三角陣，為單位上三角陣。已知，求，。(2)設為矩陣，將進行三角分解：，為單位下三角陣，為上三角陣，試寫出中的元素和中的元素的計算公式。三、（12分）設函數在區(qū)間[0,3]上具有四階連續(xù)導數,試確定一個次數不超過3的多項式，滿足，并寫出插值余項。（12分）線性方程組請寫出解此方程組的賽德爾迭代法的迭代格式，并討論收斂性。設，給定松弛因子，請寫出解此方程組的SOR方法的迭代格式，并討論收斂性。五、（7分）改寫方程為的形式，問能否用迭代法求所給方程在[1,2]內的實根？六、（7分）證明解方程求的牛頓迭代法僅為線性收斂。七、（12分）已知（1）推導以這3個點作為求積節(jié)點在[0,1]上的插值型求積公式；（2）指明求積公式具有的代數精度；用所求公式計算。八、（8分）若互異，求的值，這里數值分析模擬試卷3填空題（每空3分，共30分）設，則差商；2．在用松弛法(SOR)解線性方程組時，若松弛因子滿足，則迭代法；3．設要使求的Newton迭代法至少三階收斂，需要滿足；4.設,用Newton迭代法求具有二階收斂的迭代格式為________________；求具有二階收斂的迭代格式為___________________；5．已知，則__________,______6.若，改變計算式=___________________，使計算結果更為精確；7．過節(jié)點的插值多項式為_____________；8.利用拋物(Simpson)公式求=。二、（14分）已知方陣，(1)證明：A不能被分解成一個單位下三角陣L和一個上三角陣U的乘積；(2)給出A的選主元的Doolittle分解，并求出排列陣；(3)用上述分解求解方程組，其中。三、（12分）設函數在區(qū)間[0,3]上具有四階連續(xù)導數,試確定一個次數不超過3的多項式，滿足，并寫出插值余項。（10分）證明對任意的初值，迭代格式均收斂于方程的根，且具有線性收斂速度。（12分）在區(qū)間[-1,1]上給定函數，求其在中關于權函數的最佳平方逼近多項式。（可用數據：）(12分)(1)試導出切比雪夫(Chebyshev)正交多項式的三項遞推關系式：（2）用高斯—切比雪夫求積公式計算積分，問當節(jié)點數取何值時，能得到積分的精確值？并計算它。七、（10分）驗證對為2階格式.參考答案1一、1．，=6.2．=3，=0.3．b=－2，c=3.4．；.5．二、(1)(2)三、（1）;（2）;（3）線性收斂.四、;求積公式具有5次代數精度，是Gauss型的.五、；截斷誤差主項為.六、（1）因此兩種迭代法均收斂.（2）當時，該迭代公式收斂.參考答案2一、1．22．3．1,04．7,5．6.7.;18.是,1二、(1)(2)三、四、(1),時收斂(2),收斂五、收斂七、（1）（2）2(3)八、參考答案3一、1．42．發(fā)散3．4．,5．,496.7.8.二、(2)先交換2、3兩行，交換1、2兩行，(3)三、五、六、，已知都有6位有效數字，求絕對誤差限。（4分）解：由已知可知,n=62分2分已知求（6分）解：1分1分1分=2分1分設（6分）寫出f(x)=0解的Newton迭代格式當a為何值時，（k=0,1……）產生的序列收斂于解：①Newton迭代格式為：3分②3分給定線性方程組Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0,1……）求解Ax=b，問取什么實數，可使迭代收斂（8分）解：所給迭代公式的迭代矩陣為2分其特征方程為2分即，解得2分要使其滿足題意，須使，當且僅當2分設方程Ax=b，其中，試討論解此方程的Jacobi迭代法的收斂性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收斂1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2,3……）3分用Doolittle分解計算下列3個線性代數方程組：（i=1,2,3）其中，（12分）解：①A==LU3分由Ly=b1，即y=得y=1分由Ux1=y，即x1=得x1=2分②x2=由Ly=b2=x1，即y=得y=1分由Ux2=y，即x2=得x2=2分③x3=由Ly=b3=x2，即y=得y=1分由Ux3=y，即x3=得x3=2分已知函數y=f(x)有關數據如下：要求一次數不超過3的H插值多項式，使（6分）解：作重點的差分表，如下：3分=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=3分有如下函數表：試計算此列表函數的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項式（7分）解：由已知條件可作差分表，3分（i=0,1,2,3）為等距插值節(jié)點，則Newton向前插值公式為：=4+5x+x(x-1)=4分求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多項式，并求出平方誤差（8分）解：令2分取m=1,n=x,k=,計算得：(m,m)==0(m,n)==1(m,k)==0(n,k)==0.5(k,k)==0(m,y)==1(n,y)==0(k,y)==0.5得方程組：3分解之得（c為任意實數，且不為零）即二次最佳平方逼近多項式1分平方誤差：2分已知如下數據：用復合梯形公式，復合Simpson公式計算的近似值（保留小數點后三位）（8分）解：用復合梯形公式：=3.1394分用復合Simpson公式：=3.1424分計算積分，若用復合Simpson公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復合梯形公式達到同樣精確度，區(qū)間應分為多少等分?（10分）解：①由Simpson公式余項及得2分即，取n=62分即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過1分②對梯形公式同樣，由余項公式得2分即2分即區(qū)間分為510等分可使誤差不超過1分用改進Euler格式求解初值問題：要求取步長h為0.1，計算y（1.1）的近似值（保留小數點后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）解：改進Euler格式為：2分于是有（n=0,1,2……）2分由y(1)==1，計算得2分即y(1.1)的近似值為0.838（4分）證明：4分證明：設，為任意矩陣范數，則（6分）證明：設為A的按模最大特征值，x為相對應的特征向量，則有Ax=x1分且，若是實數，則x也是實數，得1分而2分由于1分故1分當是復數時，一般來說x也是復數，上述結論依舊成立1、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數字，并確定其相對誤差限。解因為=3.142857…==3.141592…所以（2分）這里，由有效數字的定義可知作為的近似值具有3位有效數字。（1分）而相對誤差限（2分）2、（本題6分）用改進平方根法解方程組：；解設由矩陣乘法得：（3分）由解得（3分）3、（本題6分）給定線性方程組1）寫出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的斂散性；解1）Jacoib迭代格式為（2分）Gauss-Seidel迭代格式為（2分）2）由于所給線性方程組的系數矩陣是嚴格對角占優(yōu)的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收斂的。（2分）4、（本題6分）已知方程在附近有一個根。將此方程改寫成如下2個等價形式：構造如下兩個迭代格式：1）2）判斷這兩個迭代格式是否收斂；解1）記，則，（2分）所以該迭代格式是局部收斂的。（1分）2）記，則，（2分）所以該迭代格式是發(fā)散的（1分）5、（本題6分）設（1）寫出解的牛頓迭代格式；（2）證明此迭代格式是線性收斂的。解（1）因，故，由牛頓迭代公式，（1分）得，（2分）（2）因迭代函數，，（1分）故此牛頓迭代格式是線性收斂的。（2分）6、（本題9分）給定數據x0x0235f(x)1-3-42寫出的3次Lagrange插值多項式；寫出的3次Newton插值多項式；解（1）由題意知（3分）（2分）（2）用牛頓插值公式，構造差商表010123523（3分）則有（1分）7、（本題6分）作一個5次多項式使得解構造有重節(jié)點的牛頓插商表13131322215114324320（4分）則有（2分）8、（本題6分）已知數據如下，試用二次多項式來擬合：012345615141414141516解設，則上表可化為01231000012這時，取，并設所求二次多項式為，容易得到，，，，，，（3分）得正規(guī)方程組如下：解得即（2分）回代得（1分）9、（本題5分）給定求積節(jié)點試推出計算積分的插值型求積公式解由于所以（1分）（1分）（1分）（1分）故求積公式為（1分）10、（本題6分）分別用梯形公式和辛普森公式計算積分：解（1）用梯形公式，（3分）（2）用辛普森公式（3分）11、（本題8分）求高斯型求積公式的系數解令：（1分）由得再由（2分）（1分）得所以的根為（2分）（2分）12、（本題6分）設為次多項式，為個互異點，為的次插值多項式。若，試證。解：因為為次多項式，所以，（2分）又因為，故有（2分）由插值關系可知：（2分）所以，13、（本題10分）設，求及譜半徑。解由定義得（2分）（2分）又由于，而（2分）所以，。（2分）因為所以（2分）14、（本題6分）寫出用4階經典龍格-庫塔法求解初值問題的計算公式，并取步長，計算的近似值，小數點后至少保留4位。解，于是（4分）故，由于故（2分）15、（本題9分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值，精確至5位有效數解冪法計算公式：取，作如下迭代：，，，其中表示中（首次出現的）絕對值最大的分量，則（1分）計算如下：（2分）（2分）（2分）（2分）1．（5分）測量一物體的長度為945cm，問測量數據的相對誤差限多大？（實際問題所截取的近似數，其絕對誤差限一般不超過最小刻度的半個單位。）解：x=945cm，（1分）（3分）（1分）2．（5分）已知，求，，解：=2（1.5分）=3（1.5分）==（2分）3．（5分）寫出求解下列方程組的Jacobi迭代格式=解：（5分）4．（5分）給定線性方程組：=討論用Gauss-Seidel迭代法求解時的收斂性。解：A=L+D+U=++（2分）=（2分）,Gauss-Seidel迭代發(fā)散。（1分）5．（5分）設，求解：（5分）6．（10分）用平方根法解方程組=解：=（2分）L=（2分）Ly=b（2分）（2分）（2分）7．（10分）設，寫出的牛頓迭代格式，并證明此迭代格式是線性收斂的。解：（2分）牛頓迭代格式（4分）迭代函數（2分）的精確解為，故（2分）所以該迭代格式的線性收斂的。8．（10分）用列主元Gauss消去法解下列方程組解：（2分）（2分）（2分）（2分）等價方程組，，（2分）9．（10分）設有函數值表x134679y976431試求各階差商，并寫出Newton插值多項式。解：197-146-1064-10073-100091-10000（6分）（4分）10．（10分）試用最小二乘法，求解下列超定方程組：解：將該方程組兩邊同時左乘以，得=（2分）=（2分）=（4分）解得：（2分）11．（10分）已知的函數值如下：x2.02.87.3899.02511.02313.46416.445用復合梯形公式和復合Simpson公式求的近似值解：復合梯形公式：h=（2.8-2.0）/4=0.2=9.0858（5分）復合Simpson公式h=(2.8-2.0)/2=0.49.0557（5分）12．（15分）確定下列公式中的待定參數，使其代數精度盡量高，并指出代數精度的次數。解：當=1時，左=2，右==2，左=右（2分）當=x時，左=0，右=（2分）當=時，左=，右=（2分）要使所給求積公式至少具有2次代數精度當且僅當，滿足（2分），（2分）（1）（1分）（2）（1分）當=時，左=1（1）（2）的右邊均1（1）（2）的代數精度均為2（3分）

一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.3.142和3.141分別作為的近似數具有（）和（）位有效數字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求積公式，則＝（）A．

B．

C．

D．3.通過點的拉格朗日插值基函數滿足（

）

A．＝0，

B．＝0，

C．＝1，

D．＝1，4.設求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（

）斂速。

A．超線性

B．平方

C．線性

D．三次5.用列主元消元法解線性方程組

作第一次消元后得到的第3個方程（

）.

A．

B．

C．

D．單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得分評卷人

二、填空題（每小題3分，共15分）

1.設,則

，

.

2.一階均差

3.已知時，科茨系數，那么

4.因為方程在區(qū)間上滿足

，所以在區(qū)間內有根。5.取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式

.填空題答案1.

9和2.

3.

4.

5.

得分評卷人

三、計算題（每題15分，共60分）1.已知函數的一組數據：求分段線性插值函數，并計算的近似值.計算題1.答案1.

解，

，所以分段線性插值函數為

2.已知線性方程組（1）

寫出雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式；（2）

對于初始值，應用雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式分別計算（保留小數點后五位數字）.計算題2.答案

1.解原方程組同解變形為

雅可比迭代公式為

高斯－塞德爾迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德爾迭代公式得3.用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應取2？（2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案

3.解，，，，，故取作初始值迭代公式為，，，，

方程的根4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.計算題4.答案4解

梯形公式

應用梯形公式得

辛卜生公式為

應用辛卜生公式得

得分評卷人

四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數，并證明確定后的求積公式具有3次代數精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有兩次代數精確度。

又由于

故具有三次代數精確度。

一、

填空（共20分，每題2分）1.設，取5位有效數字，則所得的近似值x=

.2.設一階差商，

則二階差商3.設,則

，

。4．求方程

的近似根，用迭代公式，取初始值，那么

5．解初始值問題近似解的梯形公式是

6、，則A的譜半徑＝

。7、設

，則

和

。

8、若線性代數方程組AX=b的系數矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都

。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為

。

10、為了使計算的乘除法運算次數盡量的少,應將表達式改寫成

。填空題答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收斂9、

10、二、計算題

（共75分，每題15分）1．設

（1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足以升冪形式給出。

（2）寫出余項的表達式計算題1.答案1、（1）

（2）2．已知的滿足，試問如何利用構造一個收斂的簡單迭代函數，使0，1…收斂？計算題2.答案2、由，可得，

3．試確定常數A，B，C和a，使得數值積分公式

有盡可能高的代數精度。試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為Gauss