云南省昆明市學(xué)區(qū)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

云南省昆明市學(xué)區(qū)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為了有效管理學(xué)生遲到問題，某校專對各班遲到現(xiàn)象制定了相應(yīng)的等級標(biāo)準(zhǔn)，其中D級標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10天，每天遲到不超過7人”，根據(jù)過去10天1、2、3、4班的遲到數(shù)據(jù)，一定符合D級標(biāo)準(zhǔn)的是A．1班：總體平均值為3，中位數(shù)為4 B．2班：總體平均值為1，總體方差大于0C．.3班：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D．4班：總體平均值為2，總體方差為3參考答案：D2.若三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為(

) A．64π B．16π C．12π D．4π參考答案：A考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圓O′的半徑，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．解答： 解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半徑R=4，∴球O的表面積S=4πR2=64π．故選：A．點評：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題的關(guān)鍵．3.已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）﹣x2，若對?p，q∈（0，1），且p≠q，有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，18） B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（18，+∞）參考答案：C【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因為f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因為p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因為x∈（0，1）時，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故選：C．4.已知sinαcosα=,且α∈，則sinα-cosα等于

（

）A. B.

C.

D.參考答案：D5.已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則=A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B由題意，對于①，當(dāng)兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設(shè)平面平面，，，∵平面平面，∴當(dāng)時，必有，而，∴，而在平面內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與垂直，故一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當(dāng)兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，當(dāng)兩個平面垂直時，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面，這是面面垂直的性質(zhì)定理，故④正確；故選B．7.已知函數(shù)數(shù)列滿足,且是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍（

）

A.

B．

C．

D．參考答案：C略8.奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，滿足不等式，，為坐標(biāo)原點，則當(dāng)時，的取值范圍為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D9.直線l是拋物線在點(－2,2)處的切線，點P是圓上的動點，則點P到直線l的距離的最小值等于（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先由題意求出直線的方程，再求出圓的圓心到直線的距離，減去半徑，即為所求結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此拋物線在點處的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又圓可化為，所以圓心為，半徑；則圓心到直線的距離為又因點是圓上的動點，所以點到直線的距離的最小值等于.故選C10.已知函數(shù)，則下列結(jié) 論正確的是 （A）兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點（—，0）成中心對稱 （B）淤的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，再向 右平移個單位即得于 （C）兩個函數(shù)在區(qū)間（—，）上都是單調(diào)遞增函數(shù) （D）兩個函數(shù)的最小正周期相同參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角坐標(biāo)系xOy中，M是曲線：(t為參數(shù))上任意一點，N是曲線：(為參數(shù))上任意一點，則的最小值為 .參考答案：12.

.參考答案：13.已知的展開式各項系數(shù)之和為256，則展開式中含x2項的系數(shù)為

．參考答案：28

14.若集合，集合,,,,，則

.參考答案：由得，即，所以，即，所以。15.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________.參考答案：2略16.某三棱錐的三視圖如下圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為___

________．參考答案：17.若實數(shù)，滿足條件則的最大值為___________。參考答案：9略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足（Ⅰ）證明：點P在C上；

（II）設(shè)點P關(guān)于O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上。參考答案：解：（I）F（0，1），的方程為，代入并化簡得

…………2分設(shè)則由題意得所以點P的坐標(biāo)為經(jīng)驗證，點P的坐標(biāo)為滿足方程故點P在橢圓C上。

…………6分

（II）由和題設(shè)知，PQ的垂直一部分線的方程為

①設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為

②由①、②得的交點為。

…………9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上

…………12分19.已知⊙O：x2+y2=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．參考答案：【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關(guān)系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．（3）設(shè)⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化簡可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故當(dāng)a=時，線段PQ取得最小值為．（3）若以P為圓心所作的⊙P的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故當(dāng)a=時，PO取得最小值為，此時，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．故半徑最小時⊙P的方程為+=．【點評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．20.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是邊長為3的正方形，我們可得DE⊥AC，AC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DE方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是線段BD上一個動點，設(shè)M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程，即可確定M點的位置．【解答】證明：（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz如圖所示．因為BE與平面ABCD所成角為600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．則A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．設(shè)平面BEF的法向量為=（x，y，z），則，即．令，則=．因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，．所以cos．因為二面角為銳角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值為．…（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，設(shè)M（t，t，0）．則．因為AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此時，點M坐標(biāo)為（2，2，0），即當(dāng)時，AM∥平面BEF．…21.（本小題滿分14分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的左右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：當(dāng)點在橢圓上運動時，恒為定值.參考答案：解：（1）由題意可知，，

……………1分而，

……………2分且.

……………3分解得，

……………4分所以，橢圓的方程為.

……………5分（2）.設(shè)，，