2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練專題05 利用導函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓練) 含解析

2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練專題05利用導函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.二、典型題型1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是.【點睛】恒成立問題方法指導：方法1：分離參數(shù)法求最值(1)分離變量．構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．(2)恒成立?；恒成立?；能成立?；能成立?.方法2：根據(jù)不等式恒成立構造函數(shù)轉化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)t的取值范圍．6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.(1)求的值；(2)若對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.7．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【點睛】方法點晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.三、專項訓練一、單選題1．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）已知，且恒成立，則k的值不可以是（）A．－2 B．0 C．2 D．42．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知，為實數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1二、多選題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·海南·模擬預測）若時，關于的不等式恒成立，則實數(shù)的值可以為（

）（附：）A． B． C． D．三、填空題7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．8．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、問答題9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．10．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)a，b的值；(2)若，對任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．11．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若當時，，求的取值范圍．12．（2023·北京西城·北師大實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)當時，求的零點；(2)討論在上的最大值；(3)是否存在實數(shù)，使得對任意，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．專題05利用導函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.二、典型題型1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式等價于即，原命題等價于存在實數(shù)，，對任意實數(shù)不等式恒成立，等價于存在實數(shù)，，不等式成立，記，則，（1）當時，對任意，恒成立，即在上單調(diào)遞減①當，即時，，②當，即時，，從而當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（2）當時，令，解得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，①當時，此時，當即時，，當即時，，從而當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以；令，則，，記，則，當時，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，即；②當時，此時，當即時，，當即時，，從而當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；（3）當時，對任意，恒成立，即在上單調(diào)遞增，①當，即時，，②當，即時，，從而當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，，所以.故選：A【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當時，，則，不符合題意；

當時，，恒成立，即恒成立，設，令，得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故當時，取得最大值，所以，解得，故選：C．3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知得：，由，得即，可得．令，，則，求導得，，解得；，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時；當時，，函數(shù)圖像如圖所示．

，，，由及的圖像可知，恒成立，即成立，而，，實數(shù)的取值范圍是.故選：C．4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】對于任意的，都有，即，令，則，且對于任意的，都有.①當時，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；②當時，令，則，令，得.當時，則，所以當時，在上單調(diào)遞減，所以當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，不符合題意；當時，則，所以當時，，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】恒成立問題方法指導：方法1：分離參數(shù)法求最值(1)分離變量．構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．(2)恒成立?；恒成立?；能成立?；能成立?.方法2：根據(jù)不等式恒成立構造函數(shù)轉化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)t的取值范圍．【答案】【詳解】因為時，恒有，所以，即恒成立.設，則，且，令，則，所以當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；所以，所以在恒成立，故在單調(diào)遞增，所以恒成立，即，所以恒成立，令，則，，所以當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；所以.所以.故答案為：.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.(1)求的值；(2)若對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，，在中，，在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.∴即，，，當時，在上單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞減.當時，在時有極小值.故符合題意，即為所求.（2）由題意及（1）得，，在中，，即對任意實數(shù)恒成立，設，則.當時，，則，故在上單調(diào)遞增；當時，，則，故在上單調(diào)遞減；當時，，則，故時有極小值，也就是的最小值，故即為所求.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)的求導，導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，導數(shù)法解決函數(shù)恒成立問題，構造函數(shù)法，考查學生的計算能力和邏輯思維能力，具有很強的綜合性.7．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【詳解】（1）當時，，則，由，得到，又，當時，，時，，所以在處取到極小值，極小值為，無極大值.（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，又，所以恒成立，令，則，令，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以當時，，時，，即時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，即，所以，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.三、專項訓練一、單選題1．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）已知，且恒成立，則k的值不可以是（）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】D【詳解】由，知，，則，即，令，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，從而，令，則，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因此在時取得最小值2，即，所以，即可取，不能取4.故選：D2．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤舨坏仁皆谏虾愠闪ⅲ瑒t實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】不等式在上恒成立，兩邊同除得在上恒成立，令，則，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，令，，即在上恒成立，所以只需即可，令，則，令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，故選：B3．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知，為實數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】C【詳解】設，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，在不恒成立，不合題意當時，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在時取得最大值，由題意不等式在恒成立，只需即，所以，，設，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在取得最小值為，所以最小值為，故選：C二、多選題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】已知，當時，成立；當時，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.設單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.當時，成立或成立；當時，成立或無解；當時，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最小值.設單調(diào)遞減；無最小值.當時，恒成立或成立；當時，成立；或無解；所以.故選：BD.5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】，故恒成立，轉化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當時，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD6．（2023·海南·模擬預測）若時，關于的不等式恒成立，則實數(shù)的值可以為（

）（附：）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由題意知：當時，恒成立；令，則，令，則，當時，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增，，，即實數(shù)的取值范圍為.，，，.故選：BD.三、填空題7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】易知，由可得，即，則有，設，易知在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解之得．故答案為：.8．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】，則，則時，，單調(diào)遞增.時，恒成立，即恒成立，則在上恒成立，則即在上恒成立，令，，則則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.則當時取得最小值，則則實數(shù)的取值范圍是故答案為：四、問答題9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）當時，則．記，則．令，得．當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當時，恒成立，即恒成立．①當時，，此時．②當時，，即記，，則．當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為．10．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)a，b的值；(2)若，對任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，由曲線在處的切線方程為，得，解得，，所以，.（2）當時，函數(shù)，求導得，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設，則，，不等式恒成立，即恒成立，則恒成立，設，于是，恒成立則在上單調(diào)遞增，于是在上恒成立，即在上恒成立，，當且僅當時取等