集中趨勢的度量

集中趨勢的度量第三章集中趨勢的度量

（Measuresofcentraltendency）第一節(jié)平均數(shù)（Themean）

第二節(jié)中位數(shù)（Themedian）

第三節(jié)眾數(shù)（Themode）

第四節(jié)分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)（Themean,median,andmodeofgroupeddata）

第五節(jié)平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的相對位置（Therelativepositionsofthemean,median,andmode）第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)平均數(shù)（Themean）

一、總體平均數(shù)（Thepopulationmean）

二、樣本平均數(shù)（Thesamplemean）

三、算術(shù)平均數(shù)的特點（Thepropertiesofthearithmeticmean）

四、加權(quán)平均數(shù)（Theweightedmean）

五、幾何平均數(shù)（Thegeometricmean）

第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

(Centraltendency)

1.一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度

2.測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值

3.不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值

4.低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，反過來，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)

5.選用哪一個測度值來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類型來確定第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天用總體中各單位某一數(shù)量標(biāo)志值之和除以單位總數(shù)一、總體平均數(shù)（Thepopulationmean）

（一）概念第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、設(shè)一組數(shù)據(jù)為：X1，X2，…

，XN,簡單均值的計算公式為（二）計算方法

Anymeasurablecharacteristicofapopulationiscalledaparameter.第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天用樣本中各單位某一數(shù)量標(biāo)志值之和除以樣本容量二、樣本平均數(shù)（Thesamplemean）

（一）概念第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…

，xn,簡單均值的計算公式為（二）計算方法

Anymeasurebasedonsampledataiscalledastatistic.第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天原始數(shù)據(jù):

4 4 5 7 10 第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三、算術(shù)平均數(shù)的特點（Thepropertiesofthearithmeticmean）

1、變量值與其均值的離差之和等于零。即：2、各變量值與其均值的離差平方和為最小值。即：第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四、加權(quán)平均數(shù)（Theweightedmean）權(quán)數(shù)除用總體各組單位數(shù)即頻數(shù)的形式外，還可以用比重即頻率的形式表示。因此，便有另一種加權(quán)均值的形式，就是將各組的變量值乘以相應(yīng)的比重（即頻率），然后求和，即得加權(quán)均值。其計算公式為（僅以樣本為例，總體以次類推）。第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例假設(shè)附近的一家餐廳分別以0.9元，1.25元和1.5元出售小杯、中杯和大杯飲料，某天共賣出100杯，其中30小杯，40中杯和30大杯。這100杯的均價。第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天五、幾何平均數(shù)（geometricmean）（一）概念要點

1、集中趨勢的測度值之一

2.N個變量值乘積的N次方根

3、適用于特殊的數(shù)據(jù)

4、主要用于計算平均發(fā)展速度

ExcelGEOMEAN（二）計算方法第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

例一位投資者持有一種股票，2003年、2004年、2005年和2006年收益率分別為4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天六、調(diào)和平均數(shù)

（harmonicmean）（一）概念調(diào)和是被研究對象中變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。因此，又稱為倒數(shù)的平均數(shù)。一般用H表示。（二）計算方法根據(jù)所掌握資料的不同也有簡單式和加權(quán)式兩種。ExcelHARMEAN

第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、根據(jù)未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)計算調(diào)和平均數(shù)，采用簡單式。總體調(diào)和平均數(shù)和樣本調(diào)和平均數(shù)的計算公式為：（二）計算方法第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)分別為：第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天在社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例1有三種蔬菜，甲每千克1元，乙每千克0.8元，丙每千克0.5元，現(xiàn)各買1元，求平均價格。第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例2有三種蔬菜，甲每千克1元，乙每千克0.8元，丙每千克0.5元，現(xiàn)甲買2元，乙買4元，丙買5元，求平均價格。第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價格(元)

Xi成交量(公斤)Fi成交額(元)XiFi甲乙丙1.200.500.801500025000800018000125006400合計—4800036900【例題】某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表4-2，計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天切尾均值（trimmedmean）第22頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)、中位數(shù)（median）

（一）概念要點1、集中趨勢的測度值之一2、排序后處于中間位置上的值Me50%50%3、不受極端值的影響4、主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)5、各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、未分組數(shù)據(jù)：（二）位置的確定二、中位數(shù)第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

(三)計算方法

第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)計算方法舉例1、5個數(shù)據(jù)的算例原始數(shù)據(jù):

2422212620排序:

2021222426位置:

12345中位數(shù)

22

第26頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

2、6個數(shù)據(jù)的算例原始數(shù)據(jù):105 91268排序:56891012位置:123456位置

N+126+123.5中位數(shù)

8+928.5

第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)眾數(shù)（mode）（一）概念:眾數(shù)是一組出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，一般用M0來表示。（二）確定方法：根據(jù)掌握資料的不同，眾數(shù)的確定方法兩種：方法一:根據(jù)未分組數(shù)據(jù)或單項變量數(shù)列計算眾數(shù)，只需找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值即為眾數(shù)。第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)（Themean,median,andmodeofgroupeddata）一、平均數(shù)二、中位數(shù)三、眾數(shù)第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一、平均數(shù)設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1，X2，…

，XK,相應(yīng)的頻數(shù)為：F1，F(xiàn)2，…

，F(xiàn)K,加權(quán)均值的計算公式為第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天某車間50名工人日加工零件均值計算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計—506160.0【例題】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的均值第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(1)根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組(2)采用下列近似公式計算：二、中位數(shù)

第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天某車間50名工人日加工零件均值計算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）累計頻數(shù)i105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064381630404650合計—50—【例題】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三、眾數(shù)1、眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)4、該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布2、相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)Mo3、相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計算MoMo第35頁,共42頁，2024年2月25日，星期天等價公式：式中，U表示眾數(shù)組的上限值，其他符號與上同。第36頁,共42頁，2024年2月25日，星期天某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計50—【例題】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)第37頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第五節(jié)平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的相對位置（Therelativepositionsofthemean,median,andmode）（一）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系從分布角度看，對同一組數(shù)據(jù)計算眾數(shù)、中位數(shù)和均值，三者之間有以下關(guān)系：

1、如數(shù)據(jù)具有單一眾數(shù)，且分布是對稱的。

2、如數(shù)據(jù)是左偏的分布，則

3、