人教版初二上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題帶解析(一)

人教版初二上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題帶解析（一）1．操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，D是等邊△ABC邊BA上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，易證AF=BD（不需要證明）；類比猜想：①如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí)，其它作法與圖1相同，猜想AF與BD在圖1中的結(jié)論是否仍然成立。深入探究：②如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′你能發(fā)現(xiàn)AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系，并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。③如圖4，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí)，其它作法與圖3相同，猜想AF，BF′與AB在上題②中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立，請(qǐng)給出你的結(jié)論并證明。2．請(qǐng)按照研究問題的步驟依次完成任務(wù)．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數(shù)為；【拓展延伸】（4）在圖4中，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，點(diǎn)B(0，b)，已知a，b滿足．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A在第二象限作，且，連接BF交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；：（3）在（2）的條件下，如圖2，過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)P，M是EP延長線上一點(diǎn)，且，連接MO，作，ON交BA的延長線于點(diǎn)N，連接MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．4．已知，．（1）若，作，點(diǎn)在內(nèi)．①如圖1，延長交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，垂直平分，點(diǎn)在上，，求的值；（2）如圖3，若，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的度數(shù)．5．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以的速度運(yùn)動(dòng),且滿足關(guān)系式,連接,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí)，(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn),使,求.6．如圖1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y軸于點(diǎn)B，CD⊥x軸于點(diǎn)D．（1）求證：△AOB≌△COD；（2）如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為AC中點(diǎn)；（3）如圖3，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，點(diǎn)G為AF中點(diǎn)．連接EG，EO，求證：∠OEG＝45°．7．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號(hào)）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長BA、CD交于點(diǎn)E，記BC＝m，DC＝n，求證：．8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，設(shè)，且．（1）直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形APQ，連接DQ并延長交x軸于點(diǎn)M，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖3，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)B作，且，連接AF交BC于點(diǎn)P，求的值．【參考答案】2．①成立，證明見詳解；②AF+BF′=AB，證明見詳解；③不成立，AF=AB+BF′，證明見詳解.【分析】類比猜想：①通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；深入探究：②AF+BF′=解析：①成立，證明見詳解；②AF+BF′=AB，證明見詳解；③不成立，AF=AB+BF′，證明見詳解.【分析】類比猜想：①通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對(duì)應(yīng)邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB；③結(jié)論不成立．新的結(jié)論是AF=AB+BF′；通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′．【詳解】解：類比猜想：①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質(zhì)）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；深入探究：②如圖示AF+BF′=AB；證明如下：由①條件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，∴同理可證△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；③結(jié)論不成立．新的結(jié)論是AF=AB+BF′；如圖示：證明如下：∵等邊△DCF和等邊△DCF′，由①同理可知：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；又由②知，AF=BD；∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.3．（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結(jié)論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據(jù)題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結(jié)合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y(tǒng)+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據(jù)題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結(jié)合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結(jié)論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程組的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．4．（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4，從而得OH=2，即可得點(diǎn)F坐標(biāo)；通過證明，推導(dǎo)得HD=OD=1，即可得到答案；（3）過點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長線于點(diǎn)G，再分別過點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S，根據(jù)余角和等腰三角形的性質(zhì)，通過證明等腰和等腰，推導(dǎo)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，得等腰，再通過證明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．（2）如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°，∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE，在和中∴∴AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2，4)∵OA=BO，∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1，0)∴D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）如圖，過點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長線于點(diǎn)G，再分別過點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S∴∴，∴∴∴∴等腰∴NQ=NO，∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴，∴∵，∴∵點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP，∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO∵，∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴．∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO，∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4，MS=OE=2∴N(-6，2)．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、絕對(duì)值、乘方的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．5．（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證解析：（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證明三角形，利用面積比等于等高的三角形的底邊的比，結(jié)合已知條件即可解得．（2）構(gòu)造等邊，通過證明，等邊代換，得出等腰三角形，代入角度計(jì)算即得．【詳解】（1）①連接ＡＥ，在，因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．②過Ｃ作交ＤＦ延長線于Ｇ，連接ＡＥＡＤ垂直平分ＢＥ，，，，，故答案為：；（2）以AB向下構(gòu)造等邊，連接DK，延長AD，BK交于點(diǎn)T，，，，，，，等邊中，，，，，在和中，，等邊三角形三線合一可知，BD是邊AK的垂直平分線，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形的方法證明全等，全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用很關(guān)鍵，熟記幾何圖形的性質(zhì)和判定是解決圖形問題的重要方法依據(jù)．6．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-1：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-2：（3）過作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是本題的關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，得出，由平行線的性質(zhì)得，由軸得，由得，故可得，從而得出，推出，根據(jù)證明，得出即可得證；（3）延解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，得出，由平行線的性質(zhì)得，由軸得，由得，故可得，從而得出，推出，根據(jù)證明，得出即可得證；（3）延長到，使，連接，，延長交于點(diǎn)，根據(jù)證明，得出，，故，由平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而推出，根據(jù)證明，故，，即可證明．【詳解】（1）軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，，，，；（2）如圖2，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，，，軸，，，，，，，，在與中，，，，即點(diǎn)為中點(diǎn)；（3）如圖3，延長到，使，連接，，延長交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用做輔助線作全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．8．(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)N，則DH=DN,則，由此即可得出結(jié)論．（1）根據(jù)菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過A作，交CB的延長線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為1