2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊學(xué)案：第五章函數(shù)的應(yīng)用二

第五章的數(shù)的應(yīng)用r二)

4.5o3的數(shù)模型的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會利用已知函教模型解決實際問題.

2o能建立函教模型解決實際問題.

3o了解擬合法教模型并解決實際問題.

4o通過本節(jié)內(nèi)袞的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識函教模型的作用，提高學(xué)生

教學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析的能力.

重點難點

重點:利用給定的改教模型或建立確定性法教模型解決實際問

題.

難點：利用給定的法教模型或建立確定性法教模型解決實際問

題，并對給定的函教模型進(jìn)行簡單的分析評價.

知識梳理

L常見法教模型

常(1)~次函

y=kx+b(k,匕為常教，片0)

用教模型

逸/(2)二次函

y=ax2+bx+c(a,b,c為常教,

教教模擬

模(3)指教函y=bax+c(a,b,c為常教力#),〃〉0

型教模型且a豐1)

⑷對教函y=mlogaX+n（m,a,n為常教，加大0,

教模型Q〉0且。彳1）

(5J暴函教

11

y=ax+b（af。為常教,存0）

模型

2o建立函教模型解決問題的基本過程

收集數(shù)據(jù)

畫散點圖

用函數(shù)模型解釋實際問題

學(xué)習(xí)過程

我們知道，函數(shù)是描述參觀世界變化規(guī)律的教學(xué)模型，不

同的變化規(guī)律需要用不同的函教模型來刻畫.面臨一個實際問

題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？

典例斛折

例3。人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題、認(rèn)識人口教

量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在

1978年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)彖馬東薩斯(T.R.Malthas,1766—1834)

就提出了自然狀忠下的人口增長模型y=y。"，其中t表示經(jīng)過

的時間，出表示t=。時的人口教，r表示人口的年平均增

長率.下表是1950?1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料

年份1950195119521953195419551956195719581959

人口數(shù)/萬55196563005748258796602666145662828645636599467207

(1J如梟以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口

增長率(精確到Oo0001J,

用馬東薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長

模型，并檢驗所得模型與實

際人口數(shù)據(jù)是否相符；

(2)如梟按上表的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人

口數(shù)達(dá)到13億？

事實上,我國1989年的人口數(shù)為11。27億，直到2005

年才突破13億,對由

法教模型所得的結(jié)果與實際情況不符，你有何看法?

因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)

生了較大矛盾，所以我國從20世紀(jì)70年代逐步實施了

計劃生育政策.因此這一階段的人口增長條件并不符合馬東薩

斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果

與實際不符的情況、

例4。2010年，考古學(xué)彖對前諸古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建

筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14

的戌留量約為初始量的55o2%,能否以此推斷此水壩大概是

什么年代建成的？

例5o假設(shè)你有一邕資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選

擇,這三種方去的回報如下：

方嗓一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一夭多回報10元；

方案三：第一天回報0。4元，以后每天的回報比前一天翻一

番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

①問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？

投資天數(shù)、回報金額

②如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？

假如票公司每天給你投資1萬元，共投資30天。公司要求你給

他的回報是：第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以

后每天給的錢都是前一天的2售，共30天，你認(rèn)為這樣的交易對

你有利嗎？

解答如下:公司30天內(nèi)為你的總投資為：30萬元

2

禰30天內(nèi)給公司的回報為：0.01+0.01x2+0o01x2+...+0o

29、

01x2=10737418o23^1074（萬元）

上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到,不同的曲

數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異

例6.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵

銷售人員的獎勵方去：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤

進(jìn)行獎勵，且獎金y（單核:萬元）陵銷售利潤x（單住:萬元）的

增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤

X

的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0o25x,y=log7x+l,y=lo002,

其中哪個模型能符合公司的要求？

①例6涉及了哪幾類的數(shù)模型？

一次翦數(shù)，對數(shù)型函數(shù)，指數(shù)曲數(shù)。

②你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎？

達(dá)標(biāo)檢涮

1.一輛汽車在某段路程中的行跛路程s關(guān)于時間1變化的圖象如

圖所示，那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是（）

A,分段舀教B,二次函教

C.指教函教D.對教函教

2.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95o76%,設(shè)質(zhì)量為1的

鐳經(jīng)過％年后剩留量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系是（）

100%

A、y=0o9576錯誤！B.y=（0。9576）

C.y=錯誤！D,y二1一0.0424錯誤！

3.若一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm,則燃燒剩下的

高度/z(cm)與燃燒時間*h)的函教關(guān)系用圖象表示為()

產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單住產(chǎn)品，成本增加

10萬元.又知總收入K是單優(yōu)產(chǎn)品教。的函教，K(Q)=40。

-4。2,則總利潤L(0)的最大值是_________萬元。

5,已知A,5兩地相距150km,某人開通車以60km/h的速度從

A地到達(dá)B地，在B地停曾1小時后再以50km/h的速度返回A

地.

(1J杷訖車離開A地的距離S表示為時間彳的函數(shù)r從4地出發(fā)

時開始)，并畫出函數(shù)的圖象；

(2)把車速v(km/h)表示為時間t(h)的法教，并畫出函數(shù)的圖象.

課堂小結(jié)

I用函數(shù)模型解釋實際問題I

參考答余:

-、知物梳理

二、學(xué)習(xí)過程

例3。分析:用馬東薩斯人口增長模型建立具體人口增長模

型，就是要確定其中的初始量處和年平均增長率八

解：r1)設(shè)1951?1959年我國各年的人口增長率分別為

r1(r2,.../9、由55196(1+a)=56300,

可得1951年的人口增長率r^Oo0200.

同理可得，r~0o聲。。

20210,r3~0.0229,00250,y00197,

「6=0.0223,r7~0o0276,「廣0。0222,中0.0154.

于是，1951?1959年期間，我國人口的年平均增長率為：

T=(r1+r2+…％)+9-0,0221令%=55196,則我國左1950?1959年期間的

人口增長模型為

y=55196e00221t,t€N、

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出舀數(shù)y=55196e。。221t(t€N)

的圖象由圖可以看出，所得模型與1950?1959年的實際人

口數(shù)據(jù)基本吻合.

例4。分析：因為死亡生物機(jī)體內(nèi)碳/4的初始量按確定的

衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)丫二卜收k€R,且

#0；a＞。，且?7)建立教學(xué)模型.

解：設(shè)樣本中碳/4的初始量為k,衰減率為pr0VpV

/),

經(jīng)過“年后，戌余量為y.根據(jù)問題的實際意義，

可選擇如下模型:y=k(l-p)x(k€R,且k^0；0vpv7；

X20)、

由碳14的半衰期為5730年,得k(l-p嚴(yán)。=|k

于是(一)=飛，所以尸做飛尸

由樣本中碳14的戌余量約為初始量的55o2%可知，即

0.552k=k(%尸

解得X=log573050.552由討算工具得上4912.

2

因為2010年之前的4912年是公元前2902年，

所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的.

例5。分折：我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的法教模型，

再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)

解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y=

40(%GN*)選行描述；

方案二可以用函數(shù)y=10x(%eN*)進(jìn)行描述；

方案三可以用函教y=o.4x2x_1(xew*)

進(jìn)行描述.三個模型中，第一個是常教函教，后兩個都是

增法教.

要對三個方去作出選擇,就要對它們的增長情況進(jìn)行分析.

我們先用信息技術(shù)計算一下三種方去所得回報的增長情況

三種方嗓每天回報表

方案一方案二方案三

X

y增加量/元y增加量/元y增加量/元

140100.1

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.13.2

6400601012.86.4

7400701025.612.8

8400801051.225.6

94009010102.151.2

1040010010204.8102.4

???…???.?????.?????

3040030010214748364.8107374182.4

方去~的函教是常教法教，

方去二、方案三的函教都是增函教，但方案三的函數(shù)與

方案二的函數(shù)的增長情況很不相同.可以看到,盡管方案

一、方案二在第/天所得回報分別是方去三的100售和25

僖，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，

其“增長量''是成售增加的，從第7天開始，方素三比其

他兩個方去增長得快得多，這種增長速度是方案一、方去二

所無法企及的.從每天所得回報看，

在第7?3天，方案一最多；

左第4天，方嗓一和方嗓二~樣多，方案三最少;

在第5?8天,方嗓二最多；第9天開始,方嗓三比其他

兩個方

去所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.

下面再看累計的回報教、通過信息技術(shù)列表如下

天數(shù)

方案

1234567891011

一4080120160200240280320360400440

二103060100150210280360I3550660

三0.4L22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

投資1?6天，應(yīng)選擇方案

投資7天，應(yīng)選擇方案一或方去二；

投資8?10天，應(yīng)選擇方去二；

投資11夭（含11夭）以上，應(yīng)選擇方去三。

例6.分析：本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型，按要

求選擇其中一個函教作為刻畫

獎金總數(shù)與銷售利潤的關(guān)系.由于公司總的利潤目標(biāo)為1000

萬元，所以銷售人員的銷售

利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區(qū)間［10,

1000］上,尋找并驗證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：

第一，獎金總數(shù)不超過5萬元，即最大值不大于5;

第二，獎金不超過利潤的25%,即Y<0.25X.不妨先畫出

法教圖象，

通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計算，確

認(rèn)結(jié)梟.

解：借助信息技術(shù)畫出函教y=5,y=0o25x,y=log7x+l,

x

y=1.002的圖象.觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1000J上,

x

模型y=0o25x,y=1.002的圖象都有一部分在直線y=5的上

方，只有模型y=log7x+l的圖象始終在y=5的下方，這說

明只有按模型y=log7x+l進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求.

下面通過討算確認(rèn)上述判斷.

先討算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.

對于模型y=0.25x,它在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)的增，

而且當(dāng)x=20時，y=5,

因此，當(dāng)x>2。時，y>5,所以該模型不符合要求;

x

對于模型，y=lo002,由函數(shù)圖象，

并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間C805,806)

內(nèi)有~個點比滿足1.002&=5,由于它在區(qū)間110,1000］上

單調(diào)的增,

因此當(dāng)x>%。時，y>5,所以該模型也不符合要求；

對于模型y=log7x+l,它在區(qū)間flO,1000］上單調(diào)的增，

而且當(dāng)x=1000時，y=log71000+l-4o55<5,所以它符合獎

金總教不超過5萬元的要求.

再計算按模型y=log7x+l獎勵時，獎金是否不超過利潤的

25%,

即當(dāng)x€flO,1000］時,是否有y<0o25x,即y=log7x+l

<0.25x成立.

令f(x)=y=log7x+l-0.25x,x€fl0,1000J,利用信息

技術(shù)畫出它的圖象

由圖象可知舀教f(x)在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)遹減，

因此