高考數列試題大全

全國歷年高考數列試題大全

2011年高考題

1（天津理4）已知｛""｝為等差數列，其公差為-2,且%是生與%的等比中項，S“為

｛%｝的前〃項和，則Sio的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.（四川理8）數列｛%｝的首項為3,也｝為等差數列且勿=。用一。"（〃￡'*）.若則

么=一2,%=12,則4=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知或=2〃_8，％+i=2”-8,由疊加法

（出一%）+（%-出）~*---卜（%—%）=—6+—4+—2+0+2+4+6=0=>〃8=。1—3

3.（全國大綱理4）設S"為等差數列｛%｝的前〃項和，若4=1,2差d=2,S/+2-S*=24,

則&=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知數列｛“"｝的前n項和S”滿足：S"+S",=5"+“，且q=i.那么"=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理12）設S”是等差數列｛《J（〃eN"）,的前〃項和，且《=1,4=7,

則、9=

【答案】25

6.（重慶理11）在等差數列｛mJ中，%+“7=37,則“2+4+&+“8=

【答案】74

7.（北京理11）在等比數列｛an｝中，al=2,a4=-4,則公比q=；

a+a+...+a=

}2n_____o—2

2"T_1

【答案】2

8.(廣東理11)等差數列.」前9項的和等于前4項的和.若4=1，4+4=°,則

k=.

【答案】10

9.江蘇13)設14%…期！4”03，。5，。7成公比為4的等比數列，。2，。4，。6

成公差為1的等差數列，則q的最小值是

【答案】、

三、解答題

10.(江蘇20)設M部分為正整數組成的集合，數列}的首項q=1,前n項和為S”，

已知對任意整數kCM,當整數〃〉"時，S“+￡+S,T=2(S,+S?)都成立

(I)設"={1}，。2=2,求知的值；

⑵設M={3,4},求數列{%}的通項公式

本小題考查數列的通項與前〃項和的關系、等差數列的基本性質等基礎知識，考查考生分析

探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：⑴由題設知，當〃22時,S,“|-S“_|=2⑸+S)

即⑸+「S,,)—⑸一S,i)=2￡,

從而4+i-%=2%=2,又做當時’n>2,an=a2+2("2)=2"2.

所以的的值為8。

(2)由題設知,當上￡用={3,4},且畦位n+k+Sn_k=2Sn+2Sk

且S〃+]+丈+Sn+"k=2S〃+]+2Sk,

+a

兩式相減得〃〃+1+&n+\-k=2%,即a〃+]+k-an+]_k=atl+}-an+x_k

所以當n-8時，%-6，an-3，4，4+3，4+6成等差數列，且4-6，4-2，%+2，4+6也成等差數

列

從而當〃28時，2%=an+3+atl_3=an+6+an_6.(*)

且4+6+%-6=4+2+4,-2，所以當畦8,1an=an+2+an_2,

aaafla

gpn+2—n~n~4-2?于T小燈9,d?_3,%_],n+l?n+3成等差數列,

從而%+3+%-3=。川+4』，

故由（*）式知2""=an+\+4-1，即%+1―怎=怎一“"-「

當〃29時，設1=4"_4"+1.

當24機W8時,，"628,從而由（*）式知2限=4+。,向2

故2aM+7=","+i+

從而2（。，"+7-am+6）=am+\~a>n+（4+13-。/?+12）,于是Um+l~4-2d-d-d.

因此，"N一%="對任意〃22都成立，又由S,i+S,T-2s*=2S"e{3,4}）可

知（S,M—S“）—⑸一S〃_*）=2&,故岫=2s31d42s4,

d_

a,=-d,從而a,

解得22

因此，數列僅〃｝為等差數列，由％=1知"=2.

所以數列的通項公式為氏=2〃—L

11.(北京理20)

A

若數列"=.，啊…，“〃22)滿足|?n+1-aj=Kk=1,2,...,〃一1),數列An為E數列,

記S(4)=%+。2+…+

(I)寫出一個滿足6=%=°,且S(A,)〉0的E數列4,；

(II)若4=12,n=2000,證明：E數列4是遞增數列的充要條件是%=2011；

(III)對任意給定的整數n(n>2),是否存在首項為0的E數列4，使得，(4,)句？

如果存在，寫出一個滿足條件的E數列4，；如果不存在，說明理由。

解：(1)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數列A5)

(II)必要性：因為E數列A5是遞增數列，

所以％+i-4=1也=1,2,…,1999)

所以A5是首項為12,公差為1的等差數列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于a2000—alOOgl,

a2000—alOOC^l

a2—a1W1

所以a2000—a<19999,即a200CKa1+1999.

又因為al=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故an+i-an=1〉0(A=1,2,…,1999),即多是遞增數列.

綜上，結論得證。

(IH)令=ak+\~ak=1>°色=1,2,…、〃-1),則以=±1.

因為%=為+臼+%=%+J+c2

%=%+j+。2+…+%+i，

所以S(4,)=+(n—l)c,+(n—2)C2+(n-3)c3-+----Fcn_1

n(n-1)rz,、

=-~[(1-G)(〃-1)+0-c2)(n-2)+-??+(1-c“_1)].

因為c*=±1,所以1—ck為偶數(k=1,…，〃一1).

所以*1一。)(〃一1)+(1-°2)(〃一2)+3+(1-，")為偶數，

S(A“)=0,必須使他二2

所以要使2為偶數，

即4整除〃(〃—1),亦即〃=4m或〃=4m+l(meN*)

當〃=4m+l(meN*)時,E數列的項滿足4==。的=0,*=T%*=1

(女=1,2,…,加)時,有q=O,S(A“)=O;

&軟=1伏=12…,加),。伏+1=。吐有q=O,S(A“)=O;

當〃=4加+1(用eN*)時,E數列A,,的項滿足，a4i_,=6-=。必皿=T

當〃=4，〃+2或〃=4加+3(加eN)時,〃(m-1)不能被,整除，此時不存在E數列An(

使得。?=O，S(A〃)=O.

12.(廣東理20)

an=〃b*-2)

設b>0,數列滿足al=b,”,i+2〃—2.

(1)求數列("J的通項公式；

a“V—~+1.

(2)證明：對于一切正整數n,2"

解：

q=b>0,知a“=——0———>0,-=-+2上11

(1)由??-i+2/J-2anbb%

.n1

4=一，4=~

令生，b,

12

n>2^,A=-+-A_

當nhhnl

122n~22'i

=17+…-I----d-----A.

bb2方h'-'1

122"~22"T

=1-+…H----d----.

bb2尸b"

①當bw2時，

&=20'J",A?=—.

②當2

〃川S-2)

,b^2

?bn-T

2,b=2

n+l?口差八/一2"

nb"(b-2)b+

(2)當力02時，(欲證"”,k+L八而證〃匕_2

h"-T)

//_?n

(2,,+|+bn+i)-~—=(2,,+1+b"+i)(//-+2bn-2+…+2'-')

b-2

+12222nn+i

+2"b'-+---+2"+b"+2b"-'+...+2-'b

=25(二，...+二+工+”+…+2)

bb2b"2"2"T2

>2"b"(2+2+???+2)=2〃-2nb"=〃?2n+lb"

nb"(b-2)bn+l,

a=---------

〃b"_2n<-2"-【+1.

b=2時,。=2=——-+1.

當“2n+,

綜上所述2n+l

13.（湖北理19）

已知數列｛""｝的前"項和為

S"且滿足：41=4（。*°）dn+1—rSn(〃N*,

rwR,r工-1)

（I）求數列｛"”｝的通項公式;

（H）若存在k6N*,使得&+i,Sk,5L+2成等差數列，是判斷：對于任意的機WN*,

且m22,a,“+i,a,“,成，+2是否成等差數列，并證明你的結論.

本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。（滿分13分）

解：（I）由已知「+i=rS”,可得?！?2=內向,兩式相減可得

4+2一%+1=「(S.+|-S“)='4+],

即氏+2=（r+1）。向，

又出=嗎=肛所以時，

數列｛《，｝為：a,0,0,…；

當r#0,rw—l時，由已知aR°5所以％Y0（neN*）

9=r+l(〃eN*)

于是由=(「+可得a

""+2l)4+i，n+i

+…成等比數列,

.?.當必2

n2an=r(r+l)"~a.

綜上，數列｛為｝的通項公式為"[r（r+\）"-2a,n>2

（H）對于任意的機eN*,且機22,a,e,%,a,,/成等差數列，證明如下:

a,n-\,

當r=0時，由⑴知，町Q,,〃n一>2“

???對于任意的加且機成等差數列,

eN*,22,am+l,am,am+2

當rw-l時，

,1+2=Sk+ak+i+"?+2,Sk+｝+ak+].

若存在kwN*,使得1+i，S”Sh2成等差數列，

則

S*+i+S*+2=2Sk,

,-2S*+2a?+]+ak+2=2Sk,E|Jat,+2=-2ak+l,

由⑴知，“2，/，％…的公比r+l=-2,于是

對于任意的且加，從而

meN*,N2,a,“+]=_2aHia,“+2=44“，

a

,,m+l+°M+2=2aM，即4+1，%，%+2成等差數列,

綜上，對于任意的mwN*,且“22,%”|,。,“,（+2成等差數列。

14.（遼寧理17）

已知等差數列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

（I）求數列｛an｝的通項公式；

（II）求數列的前n項和.

q+d=C

*

(D設等差數列的公差為d,由已知條件可得12%+124=-10,

。［二L

解得〔"d一—_1.

故數列他"｝的通項公式為%=2-〃...........§分

⑴)設數列受的前頊和為s■,」/+>??+占，故5=1

&=幺+”+.-+區(qū)

2242"

所以，當〃〉1時,

+???+氏一%4

2"~'2"

12-n

=1)

2-幾

1-(1---

2"-'2”

n

'T'

s=JL

所以"2-

n

｛—、｝的前項和

s.2^

綜上，數列..........12分

15.(全國大綱理20)

設數列｛"J滿足q=o且1一0同

(I)求｛"/的通項公式；

”=上尹,記$陰龍4,

S“<1.

(II)設7n*=i

解：

(I)由題設1—4+1

1

即1一%是公差為1的等差數列。

1,,,1

----=1,故"-----=n.

又l-ql-an

%,=i-L

所以〃

（ii）由（I）得

S“=5）=1-<]?

k=ik=iyfky/k4-1+1.......12分

16.（山東理20）

等比數列｛"J中，％32，。3分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且％，/，。3中的任

何兩個數不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（I）求數列3"｝的通項公式;

（II）若數列也｝滿足：2=a"+（T）In%,求數列也｝的前n項和.

解：（I）當％=3時，不合題意;

當q=2時，當且僅當％=6,4=18時，符合題意;

當q=10時，不合題意。

因此％=2,電=6,%=18,

所以公式q=3,

故%=2”

(II)因為"，=%+(T)"lna“

=2.3"T+(_1)"(2-3"T)

=2?3”T+(-I)n[ln2+(n-l)ln3]

=2-3"-'+(-1)"(In2-ln3)+(-l)"nIn3,

所以

2n-12,,,,

S2n=2l(+3+---+3)+[-l+l-l+---+(-l)](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)n]ln3,

所以

。n1-3"〃1c

Sfl—2x-----1—In3

當n為偶數時，1-32

=3"+為3-1;

1-3"n-\

S=2x------(ln2-ln3)+(-——〃)ln3

當n為奇數時，1-32

n—\

=3"--In3-ln2-l.

2

綜上所述，

3"+-ln3-l,〃為偶數

S?=2

fl—I

3"—-ln3Tn為有激

2

17.(上海理22)已知數列?和｛—｝的通項公式分別為%=3〃+6,b“=2〃+7

(〃wN*),將集合

｛xIx=%〃eN"｝U｛xIx=6",〃eN*｝中的元素從小到大依次排列，構成數歹ij

C],。2，。3，…，C"，…

(J)求，。2，。3，。4；

(2)求證：在數列｛C，J中.但不在數列｛么｝中的項恰為。2，。4,…，。2"，

(3)求數列忙”｝的通項公式。

解：⑴。=9,。2=12?=13；

⑵①任意九設4〃7=3(2〃_1)+6=6〃+3=%=2%+7,則女=3〃—2,即

i-2

②假設%,=6，?+6=4=2k+7=k=3，L5eN(矛盾)...%把電｝

在數列｛'J中.但不在數列｛也J中的項恰為“2,。4,…，%，…。

⑶4-2=2(34-2)+7=6k+3=々J,

b3k7=6k+5a2k=6k+6b3k=6^+7

?.?6k+3<6氏+5<6氏+6<6k+7

...當&=］時，依次有4=q=q,%=仃2，出=。3，&=。4,......

6k+3(〃=42-3)

6氏+5(〃=4k-2)*

c-<,ksN

n64+6(n=4k—l)

.6k+7(n=4k)

??1O

18.(天津理20)

,,nL3+(—1)"

已知數列與電｝滿足：MU+"“一’"一2,〃eN*,||

%=2,a,=4

(I)求"3M4M5的值；

(II)設C"=%,1+%+”〃6"，證明：｛%｝是等比數列；

*好<"*)

(HI)設&一生+。4H證明：*=146

本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜

合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.

,3+-1)"...

或=---，〃eN,

(I)解：由2

1,〃為奇數

b.二

2,n為偶數

可得

又々4+《+1+”+1q+2=°，

當n=l時,al+a2+2a3=|^a=冬a招『得a3=-3;

當n=2時,2a2+a3+a4<,Wa4=-5;

當n=3時,a3+a4+2a5<,^>a4=4.

（II）證明：對任意〃eN”,

a2n-\+a2n+2a2"+1=。，①

2a2"+&2"+1+“2"+2=°，②

°2〃+1+a2n+2+2a2.+3=°，③

aa

?~?,得2n=2n+3-④

aa+

將④代入①,可得“2"+1+2n+3=~（2n-l。2"+1）

即明=-c“（〃eN*）

又q=q+4=T,故c“HO,

==-1,所以{%}

因此是等比數列.

（III）證明：由（II）可得%=（一1）”，

于是，對任意女eN*且上22,有

4+〃3=-1,

一（4+%）=T

a5+%=-1,

將以上各式相加，得q+（T）%2I=-（女一1）,

即知-i=（-l）t+l（k+1）,

此式當k=l時也成立.由④式得見人=（-1產（4+3）.

從而S2*=（。2+%）+（%+4）+…+（為"2+%*）=一女，

S

2k-i=S2k~a4k=k+3.

所以，對任意〃eN*,〃N2,

4nc

豆(^4tn-3+^4m-2+

aaa

Ik，〃=14m-34ni-2〃4，H-1

2m+22m-12m+32m、

>(z---------------------+------)

M2m2m+22機+12m+3

y(+-------------)

念2m(2m+1)(2m+2)(2〃?+2)

2。53

2x3占2機(2m+1)(2〃+2)(2〃+3)

153

<—F/-----------1------------

3占(2〃？一1)(2〃？+1)(2〃+2)(2”+3)

15I11I,11、、3

=-+一?[r(----)+(----)+???+(-------------)1+--------------

3235572n-l2n+l(2n+2)(2n+3)

15513

=—I---------H------------

3622/1+1(2〃+2)(2〃+3)

7

6

對于n=l,不等式顯然成立.

所以，對任意”cN*,

a\a2a2n-\。2n

（1一片）+（1一J-------_—)+…+(i--!---------)

4242-(42-1)4"(4"-1)

4124242(42-1)4"4"(4"-1)

1

<n-(—H--)=n——

4123

（浙江理已知公差不為的等差數列的首項為為

19.19）0｛6Ja（4G），設數列的前

J_J_J_

項和為S",且",“2,%成等比數列

(1)求數列的通項公式及S”

1111瓦」+—+...+」1

A.一+—+一+...+—

S.%aaa5,當〃時,試比較

⑵記S[S2S322i22A

與紇的大小.

本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。

滿分14分。

11

(—)2

(1)解：設等差數列｛q｝的公差為d,由%

%aA

得(%+4)2=?((?]+3J)

an(n+1)

,S"=

因為d/0,所以d=。所以2

1__21

)

(II)解：因為S"an"+1,所以

1111

----1--------1--------F???4----=-(1-)

4〃

S]S2S3s“a+1

因為％"T=2"，Cl,所以

Y),21

B=+111

-ati4---------F…H---------

a,1a2"

1-----

2

當〃>2時\2"=C：+C：+C：+…+C：>〃+1

1———<1--

即?+12"

所以，當。＞。時,

當。<0時,>Bn.

20.(重慶理21)

設實數數列S"｝的前n項和S”，滿足S"+i=%+|S“(〃eN')

(I)若％，§2—24成等比數歹|J,求$2和的；

.一4

k>3W0<ak+l<ak<-

(II)求證：對3

得.=_2邑

(I)解：由題意S=3=。必2,

由S2是等比中項知,2豐。因此S?=-2.

由§2+q=邑=@3§2解得

(II)證法一:由題設條件有S"+4+1=4+3"，

Hl.a且a,=—―S=a',+'.

從而對左23有

aa1[3

r,Li-k-i+=(%-彳)？+彳>0月晨一；0>0

因24,由①得％-U

4a\4

以《一~2-7―T，

要證3,由①只要證ak-i-ak-\+13

即證3a；T<4(。3-為_]+D,即(4_1-2)2>0.

此式明顯成立.

4

ak<-(k>3).

因此3

d、

%+1—_7〉心，

最后證%+1-%.若不然/_%+1

ak>0,故馳芻——>1,(4-<0.

a：一。.+1

因此4+i<ak(k>3).

證法二：由題設知s，，+i=s“+=%+R,

故方程爐-SQ+s?+1=。有根和%(可能相同).

因此判別式△=S3-4S“+]>0.

S.+2=S“+]+an+2=。“+25“+I得用*2。1S“+i=

又由%+2—1

之°，即3a3-<0

因此(a,,+2-1)4+2T,

4

0a

-,,+2-T-

解得3

4

0<?.<—(k>3).

因此3

j>0(%23)

SjT

=-------------=---------------su.

s：_-九+i(q_景+1”

因此"《+i4%*—3).

2010年高考題

一、選擇題

c

1.(2010浙江理)⑶設S“為等比數列｛《,｝的前〃項和，8%+。5=0,則也=

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通過8%+%=0,設公比為q，將該式轉化為8a2+=0,解得q=-2,帶入所

求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式，

屬中檔題

2.(2010全國卷2理)⑷.如果等差數列｛《,｝中，%+%+%=12,為陷％+%+...+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查等差數列的基本公式和性質.

【解析】a+a+a=3a=12,a=4,/.a+a-i---+-a=7%=28

34544t27，

3.(2010遼寧文)(3)設S“為等比數列｛&｝的前幾項和，已知3s3=%-2,352=a3-2,

則公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

解析：選B.兩式相減得,3a3=%-%，%=4%,二q=幺=4.

4.(2010遼寧理)(6)設｛aj是有正數組成的等比數列，S”為其前n項和。已知a2a4=1,S3=7,

則S5=

,、15313317

(A)—(B)—(C)—(D)—

2442

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能

力。

【解析】由a2a4=1可得a"4=],因此q=±,又因為邑=%(1+4+(?2)=7,聯力兩式

q~

111

有(±+3)(上—2)=0,所以q=L,所以Ss=------1-=」31，故選B。

qq2、J4

2

5.(2010全國卷2文)(6)如果等差數列｛%｝中，％+。4+。5=12,那么。]+〃2+”????+%二

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本題考查了數列的基礎知識。

,I.44+凡+…+d=1x7xm+。7)=7。4=28

12*7

..4+。4+。5=12,.a4=42

6.(2010安徽文)⑸設數列｛《,｝的前n項和S“=n2,則%的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】a8=S8-S7=64-49=15.

［方法技巧】直接根據an=S“—S“_|(〃>2)即可得出結論.

7.(2010浙江文)(5)設s“為等比數列｛4｝的前〃項和，84+%=。則/=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通過84+/=0,設公比為q,將該式轉化為8。2+。2/=0,解得4=2帶入所

求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式

8.(2010重慶理)(1)在等比數列｛為｝中，4010=840。7，則公比q的值為

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

解析：%幽=/=8.“=2

〃2007

9.(2010廣東理)4.已知｛4｝為等比數列，Sn是它的前〃項和。若。2?。3=2囚，且％與

2%的等差中項為:，則55=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：設｛｝的公比為q,則由等比數列的性質知，2=。1,g=2。］,即%=2。由4

與2%的等差中項為1知，為+2%=2x；,即%=g(2x1—%)=g(2x；-2)=；.

q3=生=—,即q==qq3=qx=2,即4=］6?

%828

10.(2010廣東文)

4.已知數列瓦｝為等比數列，S.是它的前”項和.若gq=的且4與

25的等差中項為：，則邑=

A.35B.33C.31D.29

:

解：a2-a3=qg?axq=2al=4=2

…35142

==-

a4+2qq'=2=>一+4q=-=>9=/"|=16

3一r

,16(1-^-)1

故：S,=-------^—=32(1--)=32-1=31,選C

1132

1----7-

11.(2010山東理)

(9)設｛仇｝是等比數列，則“先<位<先”是數列｛4｝是遞噌數列的

(A)充分而不必要條件(B:，必要而不充分條件、

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若已知a1.嵇，則設數列｛aj的公比為q,因為a］〈a2<a3，所以有aiVaiqVa/,解得q>l,

且%>0,所以數列｛aj是遞增數列，反之，若數列｛%｝是遞增數列，則公比q>l且a-0,所以

2

a1<a1q<a1q>即a［<a2<a3，所以a］〈a2<a3是數列｛aj是遞噌數列的充分必要條件.

【命題意圖】本題考查等比數列及充分必要條件的基礎知識，屬保分題.

12.(2010重慶文)(2)在等差數列｛4｝中，％+為=1。，則%的值為

(A)5(B)6

(C)8(D)10

【答案】A

解析：由角標性質得q+為=2%，所以。5=5

二、填空題

1.(2010遼寧文)(14)設5“為等差數列｛《,｝的前八項和，若$3=3,56=24,則

「o3x2」c

S,=3a,H-----a=3

312，解得7；

解析：填15./.a()=q+8d=15.

S6—6al+—J=24

2.（2010福建理）11.在等比數列｛aJ中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數列的通

項公式an=

【答案】4n-'

【解析】由題意知q+4q+16q=21,解得q=l,所以通項%=4m。

【命題意圖】本題考查等比數列的通項公式與前n項和公式的應用，屬基礎題。

3.（2010江蘇卷）8、函數y=x2（x>0）的圖像在點3，才）處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+l,k

為正整數，fl/=16,則。/+。3+。5=

解析：考查函數的切線方程、數列的通項。

在點處的切線方程為：y-aj=2%（》一4）,當y=0時，解得x=]-,

所以4+]—+%+%—16+4+1—21o

三、解答題

1.（2010上海文）21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小

題滿分8分。

已知數列｛4.｝的前〃項和為S“，且S“=/i—5a“—85,nwN*

（1）證明:｛與-1｝是等比數列；

（2）求數列｛，｝的通項公式，并求出使得5?+1>S“成立的最小正整數n.

解析：⑴當〃=1時，。尸-14；當后2時，%=S“-S"T=-5a“+5a“.|+l,所以％-1=之5--1）,

6

又知，所以數列｛冊-1｝是等比數列；

（2）由⑴知：=,得%=1一15?閉，從而

+〃一90(〃wN*)；

由S"+i>S“，得（工]<—,n>log,—+1?14.9,最小正整數"=15.

⑹5125

2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分）

已知｛恁｝是公差不為零的等差數列，田=1,且田，6,劭成等比數列.

（I）求數列｛%｝的通項；（H）求數列｛2""｝的前”項和

解（I）由題設知公差d邦，

由。i=l,a],。3,即成等比數列得匕衛(wèi)=匕細，

11+2d

解得d=l，d=0（舍去），故｛斯｝的通項斯=1+（72—1）xl=n.

（II）由（I）知2〃"=2〃，由等比數列前n項和公式得

23nn+l

Sm=2+2+2+...+2=卻-2）=2-2.

1-2

3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）

已知｛4｝是各項均為正數的等比數列，且

C/11、,"111、

"l+=2（---1---）,%+=64（---1----1---）

a

qa2%。45

（I）求｛4｝的通項公式；

（n）設a=（%+—）\求數列也,｝的前n項和Tn。

【解析】本題考查了數列通項、前〃項和及方程與方程組的基礎知識。

（1）設出公比根據條件列出關于％與d的方程求得可與d,可求得數列的通項公式。

（2）由（1）中求得數列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分

成兩個等比數列分別求和即可求得。

4.（2010江西理）22.（本小題滿分14分）

證明以下命題：

（1）對任一正整4都存在整數b,c（b<c）,使得及cZ成等差數列。

（2）存在無窮多個互不相似的三角形△“，其邊長b?C,為正整數且a：,b：cj

成等差數列。

【解析】作為壓軸題，考查數學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

(1)考慮到結構要證/+，2=2。2,;類似勾股數進行拼湊。

證明：考慮到結構特征，取特值F,52,72滿足等差數列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整

數a均能成立。

結合第一問的特征，將等差數列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角

形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當a；,b：c；成等差數列,則以

分解得：(％+%)血-。,)=(%+)(c“一2,)

選取關于n的一個多項式，4〃(〃2—1)做兩種途徑的分解

4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)(2n+2)4n(n2-1)

2

an-n-2n-\

對比目標式，構造，包=〃2+1(n>4),由第一問結論得，等差數列成立，

2

cn=n+2//-1

考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數m,n,若相似：則三邊對應成比例

m2-2m-1_m2+1_m2+2m-1

n2-2n-1n2+1n24-2H-1

由比例的性質得：也■=膽土=m=",與約定不同的值矛盾，故互不相似。

-1n+\

5.(2010安徽文)(21)(本小題滿分13分)

設G,。2，…，G,，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸匕且都與直線

y=相切，對每一個正整數〃，圓G都與圓。向相互

外切，以表示G的半徑，已知｛/；｝為遞增數列.

(I)證明：｛「｝為等比數列；

第(21)題圖

n

（II）設4=1,求數列｛3｝的前”項和.

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位和減法求和等基本方法，考察抽象概括

能力以及推理論證能力.

【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設C,,的圓心為（4,,0）,得4,=2/;,同理得

4出=2*1，結合兩圓相切得