2021-2022學年吉林省長春市寬城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（解析版）

2021-2022學年吉林省長春市寬城區(qū)九年級第一學期期末數(shù)學試

卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.如圖，點4是數(shù)軸上一點，則點力表示的數(shù)可能為（）

一.............1

-3-2-10123

A.-2.5B.-1.5C.-0.5D.1.5

2.第七次全國人口普查結果顯示，我國人口受教育水平明顯提高，具有大學文化程度的人

數(shù)約為218360000,將218360000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.21836X109B.2.1836X107

C.21.836X107D.2.1836X108

3.如圖是一個小正方體的表面展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“黨”字一面的相

對面上的字是（）

A.喜B.迎C.百D.年

4.如圖，某學校有一塊長35米、寬20米的長方形試驗田，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開

辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為600平方米.設小道的寬為x米，根據題

意可列方程為（）

A.(35-x)(20-2x)=600

B.35X20-35%-20x+2x2=600

C.(35-2x)(20-x)=600

D.35x+2X20x-2x2=600

5.圖①是第七屆國際數(shù)學教育大會（/CME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三

角形，恰好能組合得到如圖②所示的四邊形。ABC.若AB=8C=1,NAOB=a,則tan

A

心

NBOC的值為（）

-7C0。

圖①圖②

A.sinaB.cosaC.tanaD.——

sina

6.如圖，在圓內接五邊形ABCCE中,/C+NCDE+/E+NEAB=425°,則NCDA的度數(shù)

為（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

7.如圖，△A5C中，A、B兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標是（1,0）,以點C位似

中心，在x軸的下方作△A8C的位似圖形△4'EVC,并把AABC的邊長放大到原來的

2倍，設點8的橫坐標是a,則點8的對應點B'的橫坐標是（）

A.-2aB.la-2C.3-2aD.2。-3

8.在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=+2r+3的圖象在j1軸上方的部分沿X軸翻折后,

所得新函數(shù)的圖象如圖所示（實線部分）.若直線y=匕與新函數(shù)的圖象有3個公共點,

則b的值是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.分解因式：2a2-4必+2房=.

'x+l〉O

10.不等式組</的解集為

2x<3

11.已知關于X的方程N-4x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么根的取值范圍是.

12.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有井徑五尺，不知其深，立

三尺木于井上，從木末望水岸，入徑五寸.問井深幾何？”意思是：如圖，井徑AB=5

尺，立木高8。=3尺，BE=5寸=05尺，則井深AC為尺.

13.如圖，矩形ABCD的對角線AC、8。相交于點。，分別以點A、C為圓心，A。長為半

徑畫弧，分別交A8、8于點E、F.若AC=6,NCAB=35°,則圖中陰影部分的面積

為,（結果保留TT）

14.如圖，在平面直角坐標系中，A、8兩點的坐標分別為（0,3）、（4,3），點C是線

段AB的中點，將線段AC繞點C順時針旋轉90°得到CD,過三點作拋物線.當

xWl時，拋物線上最高點的縱坐標為

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.解方程：3x2-4x-2=0.

16.如圖，甲、乙兩個完全相同的轉盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相

應的數(shù)字，同時轉動兩個轉盤（當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉動轉盤），

當轉盤停止后，記下甲、乙兩個轉盤中指針所指的數(shù)字.請用畫樹狀圖或列表的方法,

求這兩個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.

17.圖①、圖②均是6X6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂

點稱為格點.△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按

下列要求畫圖，保留適當?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出畫法.

（1）在圖①中的線段A8上找一點，連結CZ）,使N￡>CB=NOBC.

（2）在圖②中的線段AB上找一點E,連結CE,使N4CE=NAEC.

18.某校為了增強學生的疫情防控意識，組織全校600名學生進行了疫情防控知識競賽.從

中隨機抽取了〃名學生的競賽成績（滿分100分，每名學生的成績記為x分），分成四

組：A組60Wx<70；3組70Wx<80；C組80<x<90；。組90Wx<100,并繪制了如

圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據圖中信息，解答下列問題：

（1）求”的值.

（2）補全頻數(shù)分布直方圖.

（3）若規(guī)定學生競賽成績x290為優(yōu)秀，請估計全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

19.某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋.如

圖，河旁有一座小山，山高BC=80%,點C、A與河岸從尸在同一水平線上，從山頂B

處測得河岸E和對岸尸的俯角分別為NOBE=45°,ZDBF=31°.若在此處建橋，求

河寬EF的長.（結果精確到1機）

[參考數(shù)據：sin310弋0.52,cos310弋0.86,tan31°g0.60]

20.如圖，在AABC中，以BC為直徑的。。交A8于點。，點E是AC上一點，連結CQ、

DE,NADE=NBCD.

（1）判斷OE所在直線與。。的位置關系，并說明理由.

（2）若乙8=50°,。0的半徑為6,求命的長.（結果保留7T）

21.某商場以每件20元的價格購進一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示.設該商場銷售這種商品每

天獲利卬（元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式.

（2）求叩與x之間的函數(shù)關系式.

（3）該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進價，又不高于36元，當每件商品的售價定

為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少？

22.【問題原型】如圖①，在。。中，弦8c所對的圓心角/8OC=90°,點A在優(yōu)弧BC

上運動（點4不與點8、C重合），連結AB、AC.

（1）在點A運動過程中，NA的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由.

（2）若BC=2,求弦4c的最大值.

【問題拓展】如圖②，在△ABC中，BC=4,ZA=60°.若M、N分別是48、8c的中

點，則線段MN的最大值為

A

23.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3.點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的

速度沿4C-C8-B4運動，到點4停止.當點P不與AABC的頂點重合時，過點P作其

所在邊的垂線，交△ABC的另一邊于點Q.設點P的運動時間為f秒.

(1)邊AC的長為.

(2)當點P在AABC的直角邊上運動時，求點P到邊4B的距離.(用含f的代數(shù)式表

示)

⑶當點。在aABC的直角邊上時，若PQ得，求/的值.

(4)當△APQ的一個頂點到的斜邊和一條直角邊的距離相等時，直接寫出/的值.

24.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/-2x-3,拋物線上不重合的兩點A、8的橫坐

標分別為2〃-1,“+3.

(1)求這條拋物線的頂點C的坐標.

(2)若A、8兩點的縱坐標相等，求”的值.

(3)當點A在對稱軸左側時，將拋物線上A、8兩點之間(含A、8兩點)的圖象記為

L,設圖象L的最高點與最低點的縱坐標之差為4,求d與〃之間的函數(shù)關系式，并直接

寫出”隨〃的增大而減小時n的取值范圍.

(4)當點4在點8的左側時，過A、8兩點分別向拋物線的對稱軸作垂線，垂足分別為

點M、N(點M、N不與頂點C重合).若點M、N、C中其中一點到另兩點距離相等，

直接寫出〃的值.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.如圖，點A是數(shù)軸上一點，則點A表示的數(shù)可能為（）

一7.......................,

-3-2-10123

A.-2.5B.-1.5C.-0.5D.1.5

【分析】利用有理數(shù)與數(shù)軸的關系可得答案.

解：根據圖示可得點A表示的數(shù)在-2和-I之間，四個選項中只能是-1.5,

故選：B.

2.第七次全國人口普查結果顯示，我國人口受教育水平明顯提高，具有大學文化程度的人

數(shù)約為218360000,將218360000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.21836X109B.2.1836X107

C.21.836X107D.2.1836X108

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中1＜間＜10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值210時，"是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負整數(shù).

解：218360000=2.1836X108,

故選：D.

3.如圖是一個小正方體的表面展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“黨”字一面的相

對面上的字是（）

【分析】根據正方體的表面展開圖的特征進行判斷即可.

解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，

“黨”與“迎”是對面，

故選：B.

4.如圖，某學校有一塊長35米、寬20米的長方形試驗田，為了便于管理，現(xiàn)要在中間開

辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為600平方米.設小道的寬為x米，根據題

意可列方程為()

A.(35-x)(20-2x)=600

B.35X20-35%-20x+2x2=600

C.(35-2x)(20-x)=600

D.35x+2X20x-2%2=600

【分析】若設小道的寬為x米，則剩余部分可合成長(35-2%)米，寬(20-x)米的長

方形，根據使種植面積為600平方米，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

解：若設小道的寬為x米，則剩余部分可合成長(35-20米，寬(20-尤)米的長方形,

依題意得：(35-2x)(20-x)=600.

故選：C.

5.圖①是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME)會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三

角形，恰好能組合得到如圖②所示的四邊形O4BC.若AB=BC=1,ZAOB=a,則tan

【分析】在中，sina=-,可得08的長度，在Rtz^OBC中，tan/BOC=弛,

OB0B

代入即可得出答案.

解：,：AB=BC=\,

AR

在Rt/\OAB中，sina=——

OB

???OB=1

sinCI.

_1

在RtAOBC中，tanZBOC=—=-]=sina.

OB

sinCl

故選：A.

6.如圖，在圓內接五邊形A8CQE中，NC+NCDE+NE+NEAB=425°,則NCD4的度數(shù)

C.55°D.45°

【分析】先利用多邊的內角和得到NE48+N8+NC+NCDE+NE=540。，則可計算出N

3=115。，然后根據圓內接四邊形的性質求NCD4的度數(shù).

解：???五邊形A8COE的內角和為(5-2)X1800=540°,

AZEAB+ZB+ZC+ZC￡>E+ZE=540°，

?.?NE4B+NC+NCOE+NE=425°,

：.ZB=540°-425°=115°,

?/四邊形ABCD為。。的內接四邊形,

???N8+NC￡>A=180°，

???NCDA=180°-115°=65°.

故選：B.

7.如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（1,0），以點。位似

中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△?!'B'C,并把aABC的邊長放大到原來的

2倍，設點8的橫坐標是m則點6的對應點夕的橫坐標是（）

C.3-2aD.2a-3

【分析】設點B'的橫坐標為x,然后表示出BC、B'C的橫坐標的距離，再根據位似比

列式計算即可得解.

解：設點夕的橫坐標為x,

則B、C間的橫坐標的長度為a-1,B'、C間的橫坐標的長度為-x+1,

：△ABC放大到原來的2倍得到B'C,

.*.2(a-1)=-x+\,

解得：x=-2a+3,

故選：C.

8.在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后,

所得新函數(shù)的圖象如圖所示（實線部分）.若直線與新函數(shù)的圖象有3個公共點,

C.-4D.-5

【分析】由圖可知，當y=b與新函數(shù)有3個交點時，y=b過新函數(shù)的頂點。，求出點。

的坐標，其縱坐標即為所求.

解：原二次函數(shù)y=-N+2X+3=-(x-1)2+4,

，頂點C（1,4）,

翻折后點C對應的點為D（1,-4）,

當直線y=b與新函數(shù)的圖象有3個公共點，直線y=b過點D,

此時6=-4.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.分解因式：2a2-4而+2〃=24-6)2.

【分析】原式提取2變形后，利用完全平方公式分解即可.

解：原式=2(a2-lab+h2')=2(a-b)2.

故答案為：2(a-b)2

'x+l>O3

10.不等式組《,的解集為-.

[2x<3--------2-

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

解：由x+l>0,得：x'>-1>

由2x<3,得：無<—,

2

...不等式組的解集為

2

故答案為：

2

11.已知關于X的方程N-4"機=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么m的取值范圍是〃?<4.

【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根結合根的判別式即可得出A=16-4山>0,解之即

可得出結論.

解：???關于x的方程N-4x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，

△=(-4)2-4m=16-4〃2>0,

解得：m<4.

故答案為：m<4.

12.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有井徑五尺，不知其深，立

三尺木于井上，從木末望水岸，入徑五寸.問井深幾何？”意思是：如圖，井徑AB=5

尺，立木高BO=3尺，BE=5寸=0.5尺，則井深AC為27尺.

【分析】根據題意可知根據相似三角形的性質可求AC,進一步得到井

深.

解：'JAC//BD,

：.AACESABDE,

.AC_AE

??麗—麗’

即AC—5-0.5

~3OTB-'

解得4C=27,

故井深AC為27尺.

故答案為：27.

13.如圖，矩形ABC。的對角線AC、相交于點O,分別以點A、C為圓心，AO長為半

徑畫弧，分別交AB、C。于點E、F.若4c=6,NCAB=35°,則圖中陰影部分的面積

為二一.（結果保留Tt）

-4

【分析】由圖可知，陰影部分的面積是扇形AEO和扇形CTO的面積之和.

解：：四邊形ABCO是矩形,

：.AC=BD=6,OA=OC=OB=ODfAB//CD,

：.OA=OC=3fZACD=ZCAB=35°,

...圖中陰影部分的面積為：2x35-x32='兀

3604

故答案為：--71.

4

14.如圖，在平面直角坐標系中，A、8兩點的坐標分別為(0,3)、(4,3),點C是線

段AB的中點，將線段4c繞點C順時針旋轉90°得到CZ),過4、8、￡＞三點作拋物線.當

xWl時，拋物線上最高點的縱坐標為

【分析】根據題意求得頂點坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，根據

圖象上點的坐標特征即可求得拋物線上最高點的縱坐標.

解：8兩點的坐標分別為(0,3)、(4,3),點C是線段48的中點，

；.A8〃x軸，C(2,3),

；.AC=2,

將線段AC繞點C順時針旋轉90°得到CD,

；.AC=C。，OCJ_x軸，

二頂點。為(2,5),

二設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+5,

代入A(0,3)得，3=4a+5,

.\a-~-

2

.,.y--—(x-2)2+5,

2

???拋物線開口向下，

.?.當xWl時，在x=l時，函數(shù)有最大值為：尸-《(1-2)2+5=馬，

22

...當xWl時，拋物線上最高點的縱坐標為

故答案為：

三、解答題(本大題共10小題，共78分)

15.解方程：3/-4x-2=0.

【分析】先計算判別式的值，然后利用求根公式解方程.

解：△=(-4)2-4X3X(-2)=40>0,

^_4±V40_2±V10

2X3-3~—

所以x尸”叵，恕:2.

33

16.如圖，甲、乙兩個完全相同的轉盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相

應的數(shù)字，同時轉動兩個轉盤(當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉動轉盤)，

當轉盤停止后，記下甲、乙兩個轉盤中指針所指的數(shù)字.請用畫樹狀圖或列表的方法，

求這兩個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.

乙轉盤

【分析】畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據概率公式

求解即可.

解：畫樹狀圖如下:

和3474587811

由樹狀圖知，共有9種等可能結果，其中兩個數(shù)字之和是偶數(shù)的有4種結果，

：.P(兩個數(shù)字之和是偶數(shù))=《.

17.圖①、圖②均是6X6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂

點稱為格點.△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按

下列要求畫圖，保留適當?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出畫法.

(1)在圖①中的線段AB上找一點。，連結CD,使NDCB=N3BC.

(2)在圖②中的線段AB上找一點E,連結CE,使/ACE=/AEC.

【分析】（1）利用網格特征取AB的中點。，連接8即可;

（2）取格點T,連接CT交AB于點E,點E即為所求.

解：（1）如圖①中，點。即為所求；

（2）如圖②中，點E即為所求.

18.某校為了增強學生的疫情防控意識，組織全校600名學生進行了疫情防控知識競賽.從

中隨機抽取了〃名學生的競賽成績（滿分100分，每名學生的成績記為x分），分成四

組：A組60Wx<70；B組70WxV80；C組80Wx<90；。組90WxW100,并繪制了如

圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據圖中信息，解答下列問題：

（1）求"的值.

（2）補全頻數(shù)分布直方圖.

（3）若規(guī)定學生競賽成績x190為優(yōu)秀，請估計全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

?頻數(shù)

【分析】（1）根據B組的頻數(shù)和所占的百分比，可以求得”的值；

（2）根據（1）中〃的值和頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據，可以計算出。組的頻數(shù)，從而可

以將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（3）根據直方圖中的數(shù)據，可以計算出全校成績達到優(yōu)秀的人數(shù).

解：（1）〃=12+24%=50；

（2）。組學生有：50-5-12-18=15（人），

50

答：估算全校成績達到優(yōu)秀的有180人.

19.某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋.如

圖，河旁有一座小山，山高BC=80，w,點C、A與河岸￡、尸在同一水平線上，從山頂B

處測得河岸E和對岸尸的俯角分別為/O8E=45°,NO8F=31°.若在此處建橋，求

河寬EF的長.（結果精確到1m）

[參考數(shù)據：sin31°七0.52,cos310弋0.86,tan31°g0.60]

在RtABCF中，由三角函數(shù)的定

義求出C尸的長，根據線段的和差即可求出E尸的長度.

解：在RtZ\BCE中，8c=80m,NBEC=NDBE=45°,

：.ZCBE=45°,

:.NBEC=NCBE=45°,

.?.CE=BC=80〃i.

在RtZXBC/中，BC=80m,ZBFC=ZDBF=3\°,tanZBFC=—,

CF

QA

???若~0.60.

/.CF^133.3.

，EF=CF-CE=133.3-80=53.3弋53(/?).

答：河寬EF的長約為53%

20.如圖，在aABC中，以BC為直徑的。0交4B于點。，點E是AC上一點，連結CD、

DE,/ADE=/BCD.

(1)判斷。E所在直線與。。的位置關系，并說明理由.

(2)若乙8=50°,。0的半徑為6,求俞的長.(結果保留7T)

【分析】(1)如圖，連結。力.根據圓周角定理得到NBZ)C=90°,得到乙4OE+/EOC

=180°-90°=90°,根據等腰三角形的性質得到NOOC=NOC。，得到

90°,根據切線的判定定理即可得到結論;

(2)根據圓周角定理得到NO￡>B=N3=50°,求得乙8。。=180°-2X50°=180°-

100°=80°,根據弧長公式即可得到結論.

解：(1)所在直線與O。相切.

理由如下：

如圖，連結。。.

???8C為。。的直徑，

.\ZBDC=90°,

AZADE+ZEDC=\S00-90°=90°,

OC=OD,

：.ZODC=ZOCD,

丁/ADE=/BCD,

：.ZODC=NADE,

：.ZODC+ZEDC=90°,

即NOOE=90°,

丁點。在OO上，

???DE所在直線與O。相切；

(2)，：OB=OD,

：.ZODB=ZB=50°,

AZBOD=180°-2X50°=180°-100°=80°,

?1^的1/%80兀X6_8

??BD的長為—西九.

21.某商場以每件20元的價格購進一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示.設該商場銷售這種商品每

天獲利w（元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式.

(2)求卬與x之間的函數(shù)關系式.

(3)該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進價，又不高于36元，當每件商品的售價定

為多少元時，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據“每件利潤義銷售量=總利潤”即可列出w與x之間的函數(shù)關系式；

(3)根據(2)卬與x之間的函數(shù)關系式，配方成頂點式，利用二次函數(shù)性質求解可得.

解：(1)設y與x之間的函數(shù)關系式為)，=入+/>(kWO),

由所給函數(shù)圖象可知：］25k+b=70,

I35k+b=50

?fk=-2

解A得ZBV,

lb=120

故y與x的函數(shù)關系式為^=-2x+120；

(2)-2x+120,

w=(x-20)y=(.x-20)(-2x+120)

=-2^2+160x-2400,

即w與x之間的函數(shù)關系式為w=-2x2+160x-2400：

(3)w=-2x2+160x-2400

=-2(x-40)2+800,

；-2<0,20?6<40,

當x=36時,w取得最大值，

卬最大=-2X(36-40)2+800=768.

答：當每件商品的售價定為36元時，每天銷售利潤最大，最大利潤是768元.

22.【問題原型】如圖①，在。。中，弦3c所對的圓心角/8OC=90°,點A在優(yōu)弧

上運動(點A不與點8、C重合)，連結AB、AC.

(1)在點4運動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由.

（2）若BC=2,求弦4c的最大值.

【問題拓展】如圖②，在△A8C中，BC=4,ZA=60°.若M、N分別是A3、BC的中

點，則線段MN的最大值為包③.

一3一

【分析】（1）根據圓周角定理可知/A=45°；

（2）當AC為。0的直徑時，AC最大，由△BOC是等腰直角三角形，求出OC的長，

可知直徑AC的長；

【問題拓展】畫△ABC的外接圓00,連接OB,OC,ON,首先利用三角函數(shù)求出0B

_BN_____2_^/3芯

=sin60°-e-3，可知AC為直徑時，AC最大,此時4。=2。8=」1立，再根

V3

據三角形中位線定理即可解決問題.

解：【問題原型】（1）NA的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：

ZA-|ZBOC./B0C=9（r,

ZA-1x90°=45°:

（2）當AC為。。的直徑時，AC最大，

在RtZXBOC中，NBOC=90°,

根據勾股定理，得0"+0G=BG,

'：OB=OC,

0C率BC*x2=V2'

AAC=20C=2V2-

即AC的最大值為2&；

【問題拓展】如圖，畫△ABC的外接圓o。，連接08,OC,ON,

則ONLBC,NBON=60°,BN=—BC=2,

2

BN二2二電

.?.O8=sin60°V33，

T

■M、N分別是A8、BC的中點，

，MN是△ABC的中位線，

：.MN=—AC,

2

，AC為直徑時，AC最大，此時47=2。8=月退，

_3

最大值為士西，

_3

故答案為：

3

23.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AB=5,BC=3.點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的

速度沿AC-CB-8A運動，到點A停止.當點P不與△ABC的頂點重合時，過點尸作其

所在邊的垂線，交△48C的另一邊于點。.設點P的運動時間為f秒.

(1)邊AC的長為4.

(2)當點P在AABC的直角邊上運動時，求點P到邊A8的距離.(用含f的代數(shù)式表

示)

(3)當點。在△ABC的直角邊上時，若「。=多求r的值.

(4)當△4PQ的一個頂點到AABC的斜邊和一條直角邊的距離相等時，直接寫出，的值.

【分析】(1)由勾股定理即可得出AC的長;

(2)設點P到邊AB的距離為h.分兩種情況，①當點P在AC邊上運動時，②當點P

在8c邊上運動時，由銳角三角函數(shù)定義分別求解即可；

(3)分兩種情況，①當點。在AC邊上時，②當點。在BC邊上時，由銳角三角函數(shù)定

義分別表示出尸Q,列出方程，求解即可；

(4)分情況討論：①P在AC上，P到A8的距離=「到8。的距離，②P在BC上，P

到A8的距離=「到AC的距離，③P在AB上，。到AB的距離=Q到AC的距離，④P

在A8上，。到4B的距離=Q到BC的距離，分別求出/的值即可.

解：(1)VZC=90°,AB=5,BC=3,

???AC=dAB?-BC2r52-32=%

故答案為：4；

(2)設點P到邊AB的距離為歷

①當點P在AC邊上運動時，過P作于”，如圖1所示:

，PH=h=APsinA=2txHt；

55

②當點尸在5C邊上運動時，過P作于"，如圖2所示:

?*.P//=h=BPfcsinB=(7_2t)t

555

綜上所述，點P到邊AB的距離為之或-當+孥;

AC4

(3)tanA=—=—,tanB=-J

AC4BCT

如圖3所示:

圖3

Q

則PQ=5=AP?tanA,

SUy=(12-2t)X-1,

解得：f=5.

解得：tH'；

16

綜上所述，若?，/的值為5或黑;

216

（4）分情況討論：

①P在AC上，P到AB的距離=/＞到2（^的距離,

則PM=PC,

由（2）得：PM=—t,

5

VPC=AC-AP=4-2r,

：.—t=4-2t,

5

解得：f=g;

4

②尸在BC上，P到AB的距離=P到AC的距離,

則PM=PC,

由（2）得：PM=--,

55

?.*PC=2r-4,

解得：

③尸在A8上，Q到AB的距離=Q到AC的距離，如圖7所示:

貝ijQP=QC,

QP.LABt

???NAPQ=90°=ZACP,

-：AQ=AQ,

???RtzXAP。也RtAAC。QHL）,

：.AP=ACf

即12-2t=4,

解得：f=4；

④P在48上，。到48的距離=。到B