2023-2024年高中人教A版必修一強基與技法專題01基本不等式原卷版

第一講20232024年人教A版強基與技法專題基本不等式一、知識考點強基1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時，等號成立).說明：(1)公式在實數(shù)范圍內適用；(2)當且僅當a=b時，等號成立；(3)公式來源于a?b2.如果a>0,b>0,則a+b≥2ab,(當且僅當推論：a2變形：2(調和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術平均數(shù)≤平方平均數(shù)，簡記為“調幾算方”).這個也被叫做基本不等式鏈，也可以拓展為多元形式：a+b+c說明：(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù).(2)“當且僅當”的含義：①當a=b時,a+b2≥ab②僅當a=b時,a+b2≥ab(3)口訣：一正二定三相等.3.基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”或將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍.如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進行轉化，然后通過解不等式進行求解.例如:當x>0,y>0時,(1)如果和x+y=N,則當x=y時,積xy有最大值1(2)如果積xy=M,則當x=y時,和x+y有最小值2簡記為“和定積最大，積定和最小”.4.常用技巧：利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代換：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，.二、典型例題技法【題型1】基礎型例1.求函數(shù)y=x+1【題型2】湊項型例2.求函數(shù)y=x+1例3.若x>0,則函數(shù)y=x+12x+1的最小值為【題型3】“1”的妙用型例4.若正數(shù)x,y滿足3x+1例5.已知a>0,b>0,a+b=4,則ab的最大值是,1a+4例6.已知a>0,b>0,且a+b=1,則3aba+4bA.310B.38例7.已知.x>0,y>0,且.2x+8y?xy=0,求:(1)xy的最小值;2x+y【題型4】和積互推型例8.已知x>0,y>0.若x+y+xy=8,則xy的最大值為.例9.已知x,y∈R,x2?xy+9y2=1,則x+3y的最大值為.例10.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30.求:(1)xy的最大值;(2)x+y的最小值.三、技法運用1．若，則有（

）A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值2.已知，則的最小值為（）A. B. C.20 D.43.若正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．94．已知x＞2，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C．2 D．5.若正實數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為6.已知，且，則的最小值為__________.7.已知，則的最小值為__________.8.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________.9.正數(shù)a，b滿足，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________.10．正數(shù)x，y滿足（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．11．已知，