考研數(shù)學(xué)三(微積分)模擬試卷10(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷10(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，則φ(x/y)的表達(dá)式為A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分2．設(shè)y1，y2是一階線(xiàn)性非齊次微分方程y.+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1-μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分3．若f(x)不變號(hào)，且曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)A．有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)．B．無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．C．有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．D．無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)．正確答案：B涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分4．設(shè)u=e-xsinx/y,則э2u/эxэy在點(diǎn)（2,1/π）處的值________。正確答案：π2/э2涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分5．設(shè)an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，則數(shù)列{Sn}有界是數(shù)列{an}收斂的A．充分必要條件B．充分非必要條件C．必要非充分條件D．既非充分也非必要條件正確答案：B解析：解決數(shù)列極限問(wèn)題的基本方法是：求數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限;利用適當(dāng)放大縮小法(夾逼定理);利用定積分定義求某些和式的極限.知識(shí)模塊：微積分6．“對(duì)任意給定的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有｜xn-a｜≤2ε”是數(shù)列{xn}收斂于a的A．充分條件但非必要條件B．必要條件但非充分條件C．充分必要條件D．既非充分條件又非必要條件正確答案：C解析：函數(shù)與極限的幾個(gè)基本性質(zhì)：有界與無(wú)界，無(wú)窮小與無(wú)窮大，有極限與無(wú)極限(數(shù)列的收斂與發(fā)散)，以及它們之間的關(guān)系，例如，有極限→(局部)有界，無(wú)窮大→無(wú)界，還有極限的不等式性質(zhì)及極限的運(yùn)算性質(zhì)等．知識(shí)模塊：微積分7．設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是A．若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂B．若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂C．若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂D．若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂正確答案：B涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分8．函數(shù)f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分9．設(shè)f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，則當(dāng)x充分大時(shí)有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正確答案：C涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分10．設(shè)函數(shù)f(x)任(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是A．若{xn}收斂，則{f（xn）}收斂．B．若{xn}單調(diào)，則{f（xn）}收斂．C．若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂.D．符{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂．正確答案：B涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分11．設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(xo，yo)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是A．f(xo，y)在y=yo處的導(dǎo)數(shù)等于零．B．f(xo，y)存y=yo處的導(dǎo)數(shù)大于零．C．f(xo，y)在y=yo處的導(dǎo)數(shù)小于零．D．f(xo，y)在y=yo處的導(dǎo)數(shù)不存在．正確答案：D涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分12．設(shè)非齊次線(xiàn)性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有兩個(gè)不同的解y1(x)，y2(x)，C為任意常數(shù)，則該方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正確答案：B涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分13．y1，y2是一階線(xiàn)性非齊次微分方程y’+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+y2是該方程的解，λy1-μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分填空題15．當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x-sinax與g(x)=x2ln(1-bx)是等價(jià)無(wú)窮小，則a=______,b=______.正確答案：1,-1/6涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分16．已知當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)f(x)=3sinx-sin3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小，則k=_______,c=______.正確答案：3,4涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分17．設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz丨(1，0)=___________.正確答案：2edx+(e+2)dy涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分18．設(shè)z=(x+ey)x，則θz/θx丨(1，0)=___________.正確答案：2ln2+1涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分19．設(shè)函數(shù)z=(1+x/y)x/y,則dz丨(1，1)=___________.正確答案：-(2ln2+1)涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分20．設(shè)z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，則θz/θx=________.正確答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分21．設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f(0)=1/2，則z=f(4x2-y2)在點(diǎn)(1，2)處的全微分dz丨(1，2)=_________.正確答案：4dx-2dy涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分22．微分方程xy’+y=0滿(mǎn)足初始條件y(1)=2的特解為_(kāi)_________.正確答案：2/x涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分23．微分方程xy’+y=0滿(mǎn)足條件y(1)=1的解是y=________.正確答案：1/x涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解為_(kāi)_______.正確答案：ex(C1cosx+C2sinx+1)涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分25．微分方程y”-4y=e2x的通解為_(kāi)_______.正確答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分26．二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解為y=_______.正確答案：C1ex+C2e3x+2e2x涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解為_(kāi)______.正確答案：C+(t-2)2t涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解為_(kāi)______.正確答案：C(-5)t+5/12(t-1/6)涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分29．某公司每年的工資總額在比上一年增加20％的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)元．若以W1表示第t年的工資總額(單位：百萬(wàn)元)，則Wt滿(mǎn)足的差分方程是__________．正確答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工資總額W1(百萬(wàn)元)是兩部分之和，其中一部分是同定追加額2(百萬(wàn)元)，另一部分比前一年的工資總額Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt滿(mǎn)足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知識(shí)模塊：微積分解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。設(shè)F(x)=F(x)g(x)，其中函數(shù)f(x)，g(x)在(-∞，+∞)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．30．求F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；正確答案：F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x)=[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)，可知F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程為F’(x)+2F(x)=4e2x．涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分31．求F(x)的表達(dá)式．正確答案：e2x同乘方程兩邊，可得[e2xF(x)]’=4e4x，積分即得e2xF(x)=e4x+C，于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x．將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，可確定常數(shù)C=-1．故所求函數(shù)的表達(dá)式為F(x)=e2x-e2x.涉及知識(shí)點(diǎn)：微積分32．求微分方程y”-2y’-e2x=0滿(mǎn)足條件y(0)=1，y’(0)=1的解．正確答案：齊次方程y”-2y’=0的特征方程為λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.對(duì)應(yīng)齊次方程的