2021屆高三新題速遞·數(shù)學(xué)（理）高考復(fù)習(xí)考點(diǎn)08平面解析幾何-解析版

考點(diǎn)08平面解析幾何

一、單選題

1.(2020?沙坪壩重慶一中高三期末(理))圓f+y2-4x-6y+9=0的圓心到直線ar+y+l=O的距離

為2,則。=()

43二

A.B.C.J2D.2

34"

【答案】B

【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—2)2+(y—3)2=4,圓心為(2,3),

|2。+3+1|3

?1—/=2,解得a=—.

V？TT4

故選：B.

2.(2020?銀川三沙源上游學(xué)校高三二模(理))若雙曲線C：三-丁=1的一條漸近線方程為3x+2y=O,

m

則機(jī)=()

4923

A.-B.一C.一D.-

9432

【答案】A

1313

［解析】由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±方=>0),3x+2y=0可化為y=——x,則k=；,

yjm27m2

4

解得m=—.

9

故選：A

3.(2020?遼寧大連高三一模(理))己知拋物線;/=4x上點(diǎn)8(在第一象限)到焦點(diǎn)F距離為5,則點(diǎn)B

坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(2,3)C.(4,4)D.(4,73)

【答案】C

【解析】設(shè)3（/,刊）,（%>0），

因?yàn)辄c(diǎn)B到焦點(diǎn)F距離為5即8尸=5,

根據(jù)拋物線定義：*=/+5=/+1=5,

解得：玉）=4,

代入拋物線方程丁=4%,

得％=4即3（4,4）

故選：C

4.（2020?四川成都石室中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））拋物線C:丁=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)A，

點(diǎn)M在拋物線。上，當(dāng)庭j=3時(shí)，AAA/F的面積為（）

A.1B.V2C.2D.2a

【答案】C

【解析】

如圖.設(shè)“(小,%)(%>0)，過(guò)M作腦V_L/「N，則陽(yáng)=|MN].由條件知^^=血，所以

端M4=拒廣，故皿=45。，所以⑷HW|,

故%=x0+L乂點(diǎn)加(%,%)(%>0)在拋物線匕所以巾=4%.

y=x+1x=1

由，;n:n，解得<n.從而得M(l,2).

[%=4%[%=2

；?S.W=g|AF|-yo=；x2x2=2.選C.

22

5.(2020.浙江柯城衢州二中高三其他)已知雙曲線C:=-4=im>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)48是。

a-b-

的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，以A8為直徑的圓過(guò)尸且交。的左支于M,N兩點(diǎn)，若|MN|=2,

AAB廠的面積為8,則C的漸近線方程為()

A.y=±\[?>xB.y=+—-x

3

C.y=±2xD.y=±L

【答案】B

【解析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，四邊形ARBF是矩形，所以SAABF=SAAFF，

222

x+y=c22

即仇:=8，由，尤2/，得：y=±Z,所以|MN|=2^=2,所以〃=C，所以b=2,c=4,

V-F=1cc

所以。=26，。的漸近線方程為y=±*x.

故選B

6.(2020?全國(guó)高三其他(理))己知拋物線C:)2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線與拋物線C相交于A,

B兩點(diǎn)，則/詞+JM的最小值為（）

A.VioB.V6c.2V2D.3

【答案】C

【解析】點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0），設(shè)點(diǎn)A，8的坐標(biāo)分別為（和弘），（馬,%），直線A8的方程為

x^my+l（meR）,聯(lián)立方程[）'="無(wú)，消去工后整理為丁，所以乂+必=4機(jī)，

x=my+l,

2214

y%=~,%+方="2（%+%）+2=4%2~+2,玉/="=—=1?

1616

H同=玉+1,忸石=占+1,則“|叫+J阿『=

—（Jx]+1+Jx,+]）=X]+/+2+2J（X]+1）（w+1）=X]+x2+2+2yl百+x,+2-ill

%+々..2嘉己=2（當(dāng)且僅當(dāng)為=乙=1時(shí)取等號(hào)），所以函+J函『22+2+2萬(wàn)6=8,可得

yl\AF\+yl\BF\的最小值為2垃.

故選：C.

7.（2020?上海市建平中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為巴其前〃項(xiàng)和

9x2V2

S“=二，則雙曲線」一—-=1的漸近線方程為（）

10〃+1〃

A043夜「+3Vion+V1O

A.y=±-------xB.y=±-------xC.y=±---------xD.y=±-------x

34103

【答案】C

11n

【解析】由。L而可二%

〃+1〃+1

又S,,=2即/_=2,故〃=9,故雙曲線X—￡=1漸近線為y=±、但［=±獨(dú)0》

10〃+110109V1010

故選：C

8.（2020?河北桃城衡水中學(xué)高三其他（理））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4,尸分別是雙曲線

22

C：彳-方=1（。>0/>0）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與一條漸近線的交點(diǎn)為P（不與原點(diǎn)重

合），若△OAP的面積SMAP滿足叩.FO=2J5SMAP，則雙曲線的離心率是（）

A.V3B.孚C.V2D.2正

【答案】C

【解析】因?yàn)橐?。尸為直徑的圓與一條漸近線的交點(diǎn)為P（不與原點(diǎn)重合），

所以△OPE為直角三角形：

設(shè)OF=c，

在RiAOPF中，OF=c，OP-a，PF=b，

2

因?yàn)镕PFO=2叵S/、OAP，所以仍cosNPFO=2V2x1asinZFOP,

又cosNPR9=sinZFOP，所以m=友/,兩邊平方得。2卜2一片）=2/,

可化為/卜2-1）=2,解得e=JL

故選：C.

丁+/

9.（2020?湖北高三月考（理））已知橢圓C：=l（a>/?>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，點(diǎn)P（%，y），

。（一x，—M）在橢圓C上，其中再>0，X>0,若|PQ|=2pB|，l|^l>Y）則橢圓C的離心率的取

值范圍為()

B.(0,76-2]D.(0,73-1]

【答案】c

【解析】設(shè)|刊"=“,|尸鳥(niǎo)|=加，由芭>0,%>0知相<〃，

由P(x，yX)在橢圓c上，|PQ卜2|。國(guó)可知四邊形PF}QF2為矩形，|。用=|QF21；

,QKb-rxn￡m

由西?萬(wàn)，叫“亍7<1，

由橢圓的定義可得〃=2a,ni2+n2=4c2,平方相減可得〃?〃=2(。2—c~),

2

4c之m+mn-mn4>/3

A2(6Z2-?)-------=—+一,nu2<—i—,,

mnnmnm~V

4c23〃

即2(1-2"V

4c2可得a2<2c;e=￡>也，

由2<

2(/—2)a2

4c2"半’可得%"言=4一26=(6-1)。

in2(?2-c2

e=-V3-1><e?V3—1?

a2

故選：C.

10.(2020?河北邢臺(tái)高三其他(理))我國(guó)現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾指出，圓的對(duì)稱(chēng)性是數(shù)學(xué)美的一種

體現(xiàn).己知圓C:(X-2)2+()」1)2=2,直線/:/x+b2)-i=o,若圓。上任一點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓

。上，則點(diǎn)（。涉）必在（）

A.一個(gè)離心率為g的橢圓上B.一條離心率為2的雙曲線上

C.一個(gè)離心率為苧的橢圓上D.一條離心率為0的雙曲線上

【答案】C

【解析】根據(jù)條件可知圓心。（2,1）,

圓C上任一點(diǎn)關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓C上，

???直線/過(guò)點(diǎn)（2,1）,則2/+。2=1，

.??點(diǎn)必在橢圓2f+y2=1上,

則離心率十一;

c-----

12

故選：C.

11.（2020?湖北襄城襄陽(yáng)四中高三其他（理））設(shè)點(diǎn)片，工分別為雙曲線。：二—與=1（〃＞0力＞0）的

ab

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，5分別在雙曲線C的左、右支上，若耳3=6￡A,AE?，且耳＞|叫|,

則雙曲線。的離心率為（）

A17R13「底n病

5555

【答案】D

因?yàn)椤?=6月A,所以點(diǎn)耳，A，3共線，且卜

因?yàn)?=+所以?傷=0,所以工

|AF2|-m=2a

設(shè),用=加，則,目=5加，由雙曲線定義得<6zn-|BF2|=2a

\AF^+\BFi『=25m2

所以（/w+2a）-+（6m-2a）'=25m2=>3m2—5ma+2a2=0=（〃?一a）（3加一2a）=0，

2

解得m=Q或"2=_Q.

3

若加=a時(shí)，,閭=3。，|明|=4a,因?yàn)椤睞閭<忸耳,故舍去.

2a3

若加=：4時(shí)，,瑞卜ga,忸耳=2”，畫(huà)卜4a,〔AB卜5a,。。，〃%-10“-3.

2

6：/^FiBF2中，4c2=4a2+16a—2x2ax4ax—=>:=—=>e=——.

5a255

故選：D.

12.（2020?全國(guó)高三其他（理））己知雙曲線C：2r—斗=l（a>0,〃>0）的左，右焦點(diǎn)分別為￡,F2,直

a~b~

線x-），+2=0經(jīng)過(guò)。的左焦點(diǎn)耳，交y軸于A點(diǎn)，交雙曲線。的右支于8點(diǎn)，若MA=2AB,則該雙曲

線的離心率是（）

A人回R3邑回3V2+V5D30,R

2222

【答案】B

【解析】由直線x—y+2=0經(jīng)過(guò)雙曲線c的左焦點(diǎn)耳，可知￡（-2,0）4（02）,結(jié)合已知條件可得

16AhigA|=2|AB|=20,NBA居=90。，則歸@=M,所以2。=歸司—?dú)w耳=3五一河,

又2。=4,所以該雙曲線的離心率e=￡=廠4速+5》故選民

a3V2-V102

13.（2020?山西迎澤太原五中高三二模（理））已知拋物線C方程為d=4y,F為其焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/

與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，且拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于P,Q兩點(diǎn)，則的取值

范圍為（）

A.fp+co1B.[2,-H?）C.（2,-H?）D.[0,2）

【答案】B

【解析】因?yàn)閽佄锞€C方程為f=4y,所以其焦點(diǎn)為（0,1）,所以可設(shè)直線/的方程為：y^kx+\,

（斜率不存在的直線顯然不符合題意）,

2

聯(lián)立拋物線方程可得，x-4fcc-4=0.所以玉％2=Y，

22

又入分一二;胃胃所以拋物線在人處的切線方程為：y-^-樂(lè)…J，即,=尹-1

令y=0,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為0）,同理可得，點(diǎn)。的坐標(biāo)為0

所以網(wǎng).闡=11+子卜_axjl+^k后=；1（4+片乂4+后）

=；j32+4（x；+x；）>；j32+4x2|q引=2,當(dāng)且僅當(dāng)|x||=|毛|=2時(shí)取等號(hào)，

即|針卜忸。|的取值范圍為［2,”）.

故選：B.

,>2

14.（2020?全國(guó)高三其他（理））己知片，入分別為雙曲線看-5=1的左，右焦點(diǎn)，過(guò)鳥(niǎo)且傾斜角為銳

角a的直線與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn)，記△4耳工的內(nèi)切圓半徑為彳，48耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為今，

若，=3,則a的值為（）

弓

A.750B.30°C.45°D.60°

【答案】D

【解析】如圖，記耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓圓心為C,

內(nèi)切圓在邊Af；、A居、耳鳥(niǎo)上的切點(diǎn)分別為M、N、E，

易知C、E兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，|AM|=|4V|，陽(yáng)其|=陽(yáng)國(guó)，|用M=同，

^\AF]-\AF^=2a,gp\AM\+\F}M\-(|yUV|+|^7V|)=2a,

得陽(yáng)MTEN|=2a，即忻同一怩目=2a,

記C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％,則E（%,0），

則/+。_（＜?_入0）=加，得下=a.

記△8耳用的內(nèi)切圓圓心為D，同理得內(nèi)心。的橫坐標(biāo)也為。，則COLx軸,

a冗a

由題意知NO居。=上，ZCF,O=---

2222

na

在Z\CEF2中，tanZCFO=tan4

25一5區(qū)同‘

ar

在ADEF］中，tanZDF2O=tan萬(wàn)=兩,

TV-a

tan

所以二=——3Q>a即nt.an——0-——

a23

弓tan—

2

所以。=60。,

故選：D.

15.（2020?河北邢臺(tái)高三其他（理））過(guò)點(diǎn)P作拋物線C:J=2）的切線《，6,切點(diǎn)分別為M，N,若

尸MN的重心坐標(biāo)為（1』），且P在拋物線。：:/=/加上，則。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

亭。、

C.

A.B.4D.

7°I)7

【答案】A

2、

X

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M玉，會(huì)|，Nx2,-2^-,

27

2

由f=2y,得y=g"，所以V=x,

故直線4的方程為y—五=M（x—xj,即y=-五，

22

2

同理直線4的方程為y=々x一三，

聯(lián)立小6的方程可得x=七三，y=竽，

22

XX

/\X+X+%+“2X1,X2j\2

設(shè)PMN的重心坐標(biāo)為（小,%），則_玉々2_,_222

/=獷3

fx.+x=2fx+x=2/、

即0；/所以《7',則P的坐標(biāo)為（1,一1）,

[xf+/+不％2=6二一2

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線。：丁=如，得到（-1）2=/WX1,解得加=1,

故O的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（4）

故選：A.

二、填空題

16.（2020?西夏3寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三其他（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線

22

5_「=1（0〉o,b>0）的上支與焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2px（p>0）交于A,B兩點(diǎn).若

ab~

|AF|+忸尸|=4]。石，則該雙曲線的漸近線方程為一.

【答案】y=±\[lx

22叵_二=1

【解析】由雙曲線的方程2r-之=1（。>00>0）和拋物線的方程y2=2px聯(lián)立得b2-，消兀

Clb2G

y=2px

化筒得crx1-2ph2x+crb1=0,

設(shè)A（X，X）,3（w，%）,則大+々="^-,

a

由拋物線的定義得同刊+忸同=玉+g々=玉+々+p,

又因?yàn)閨AF|+|M|=4|0F],所以玉+%+P=4x4,所以消l+p=2p,化簡(jiǎn)得零=1,所以1=2,

2crah

所以雙曲線的漸近線方程為y=±缶，

故答案為：y=+s/2x.

22

17.（2020?全國(guó)高三其他（理））設(shè)￡、尸2為橢圓C：二+二=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)耳的直

ab

線交橢圓C于A、8兩點(diǎn)，若AF2AB的面積為46的等邊三角形，則橢圓。的方程為.

22

【答案】二+匕=1

96

【解析】設(shè)橢圓。的焦距為2c（c＞0）,如下圖所示:

由于AgAB是面積為46的等邊三角形，則g|A8『xsin。=曰|=4百，

得|AB|=4,即△8A3是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

該三角形的周長(zhǎng)為12=|A用+|A&+|跖|+忸閭=4a,可得a=3,

71

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)A、5關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則/4工片=Z且軸，

6

所以，|你|=2|A周=4,，何用=2,.?.2c=|￡g|=J|Aq『TA6）=2石,

22

：.c=6則=&，因此，橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+2-=i.

96

22

故答案為：—+=1.

96

18.（2020.黑山縣黑山中學(xué)高三月考?（理））已知雙曲線［一與=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，

a2b2

點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且怛6|=4|以4，則此雙曲線的離心率e的最大值為.

【答案】|

【解析】

〕尸41—|尸乙1=2出

試題分析:解法一:?；＜

」期|=4|%|,

I五及吟,

I%1=y-

2222

在4所1戶2中,由余弦定理得4c2=（^.）+（^.）-2x—x—cos6?=—a--acos^,

333399

roqp

兩邊同時(shí)除以*，得4/=一一一cosJ

99

又cos0e(-l,l),/.4<4e2<,\<e<—.

93

當(dāng)點(diǎn)P、Ft、尸2共線時(shí)，敘18O\e=2,則1〈處2,e的最大值為2.

333

叫咚

1尸網(wǎng)|一|產(chǎn)居|=2a,I

解法二:由<=<

「尸及1=4|尸瑪|

陷1=y.

設(shè)1Ppi為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離,

3/55

?*-PP=—之以一一=—><—.

ec363

19.(2020?河北桃城衡水中學(xué)高三其他(理))已知拋物線y2=2px(〃>0),尸為其焦點(diǎn)，/為其準(zhǔn)線，

過(guò)產(chǎn)任作一條直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，4、用分別為A、B在/上的射影，M為片片的中點(diǎn)，給出下

列命題：

(1)A,F1B,F；(2)AMYBM-.(3)\FHBM.

(4)4尸與AM的交點(diǎn)的>軸上；(5)A司與48交于原點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為.

【答案】(I)(2)(3)(4)(5)

【解析】(1)由于A、5在拋物線上，且A、B1分別為A、3在準(zhǔn)線/上的射影,

根據(jù)拋物線的定義可知A&=AF，BB\=BF,則NA4/=NAE4,,ZBBiF=ZBFB1,

MHBB\,ZFAA}+NFBB[=18（）,則ZAA,F+ZAFAt+ZBB,F+ZBFB,=18（）,

即,.-.ZAFA+ZBFB,=90,則/4產(chǎn)旦=90,即4尸，8尸，（工）正確;

（2）取A8的中點(diǎn)C，則。”=；（4尸+8尸）=；48,；.44例8=90，即W3M，

（2）正確；

（3）由（2）知，CMHM，ZAtAM=ZAMC,

CM=|AB=AC,:.ZAMC^ZCAM,Z^AM=ZCAM,

.?..平分/44尸，二4知_14/，由于，；.4尸〃與M，（3）正確;

（4）取AA1與y軸的交點(diǎn)。，則，A4J/X軸，可知AAOEMAFOE,

:.A}E=EF,即點(diǎn)E為4尸的中點(diǎn)，由（3）知，AM平分/人①尸，二4"過(guò)點(diǎn)E，

所以，4尸與AM的交點(diǎn)的y軸上，（4）正確；

⑸設(shè)直線AB的方程為x=，2+g設(shè)點(diǎn)A&,yJ、Ww，%），則點(diǎn)41一多以

將直線A3的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去了得，y2-2mpy-p2=0,

由韋達(dá)定理得/%=-P2，X+%=2呻,

（2\

2x-P-

直線。4的斜率為3=5_=一生=——Ljk2=Z￡,

1_￡P(guān)，為

2

k=&=*_=空

直線0B的斜率為森龍221%，二自4=壇8，

2P

則4、0、3三點(diǎn)共線，同理得出A、。、的三點(diǎn)共線,

所以，AB1與A]交于原點(diǎn)，(5)正確.

綜上所述，真命題的序號(hào)為：(1)(2)(3)(4)(5).

故答案為：(1)(2)(3)(4)(5).

22

20.(2020?湖南高三三模(理))設(shè)耳，尸2分別為橢圓C：二+二一=l(a>l)的左、右焦點(diǎn)，尸(1,1)為

a-1

C內(nèi)一點(diǎn)，。為C上任意一點(diǎn).現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①C的焦距為2；

②C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)可能為所；

③|。巴|的最大值為a+1：

④若|PQ|+|Q用的最小值為3,則a=2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】對(duì)于選項(xiàng)①：因?yàn)椤?="2一(/一[)=1,所以橢圓。的焦距為2c=2,故選項(xiàng)①正確；

22

5,2L-i

對(duì)于選項(xiàng)②：若橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為質(zhì)，則Y=彳，所以橢圓C的方程為5十號(hào)一1,

2——

22

11,

則23,從而點(diǎn)p在c的外部，這與尸在。內(nèi)矛盾，所以選項(xiàng)②不正確.

22

對(duì)于選項(xiàng)③：因?yàn)閏=l，。為C上任意一點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，|然|的最大值為a+c=a+l,故

選項(xiàng)③正確；

對(duì)于選項(xiàng)④：由橢圓定義可知，|P9+|Q4|=歸。|一|。閭+勿,

因?yàn)閨|P0-|QEg|「周=1，所以|P@—|。閭11,

所以|PQ|TQE|+2a22a—1=3,此時(shí)a=2,故選項(xiàng)④正確;

故答案為：①③④

三、解答題

22

21.（2020?全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））已知橢圓0+g=1（4>/?>0）的右焦點(diǎn)為6（3,0）,離心率為e.

（1）若e=2,求橢圓的方程;

（2）設(shè)直線>與橢圓相交于A、8兩點(diǎn)，M、N分別為線段4工、8人的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)。在以

為直徑的圓上，且Y2<eW走，求左的取值范圍.

22

22(/o「我1

【答案】(1)—+—=1;(2)—°o,..-彳，+8

123I4

【解析】（1）由題意得c=3,3=西，：.a=2瓜

a2

fv2

乂因?yàn)?=b2+c2,.?.從=3,所以橢圓的方程為二+乙=1：

123

工上匕一1

(2)由</H,得僅2+a2A2卜2一口2匕2=0.

y=kx

設(shè)A(w，y)、3優(yōu),%)，所以％+%=0,砧=

fb+CIk

依題意，OMION，易知，四邊形。叫N為平行四邊形，所以ABJ_3G.

因?yàn)樵?=(玉_3,yJ,F2B=^X2-3,y2),

所以F2A-F2B-^xt-3)(^_3)+M>2=(1+攵2)%1%2+9=0.

-a2^a2-9)(1+Z:2)

+9=。，將其整理為心^一一七

即

a2k2+

因?yàn)橐?lt;eM，所以2百<。<3近，12<?2<18.

22

所以公之,，即

(-00,--a---凡--,4-001

8X44

22.（2020?江蘇泰州高三三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓M:鼻+2r=1（a>6>0）的左頂

點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓M交于％軸上方一點(diǎn)8，以A8為邊作矩形ABCD,其中直線CO過(guò)原點(diǎn)

0.當(dāng)點(diǎn)3為橢圓M的上頂點(diǎn)時(shí)，AQB的面積為〃，且AB=@）.

（1）求橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求矩形ABCO面積S的最大值;

（3）矩形ABCO能否為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】（1）^-+^-=1；（2）2&；（3）A5CD為正方形，理由見(jiàn)解析.

yja2+b2=6b

【解析】（I）由題意：,解得a=2,匕=0，

—ab=b

12

22

所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1；

42

（2）顯然直線A3的斜率存在，設(shè)為攵旦攵＞0，則直線AB的方程為曠=攵（》+2）,即乙一丁+2左=0,

y=攵(尢+2)

得卜以+

聯(lián)立x2y2(1+2422+88%2—4=0,

[42

2—4公4k

解得x1=

B----vy?,所以AB=&B+2)2+.=；￡

1+2/1+2攵1?Z.K

直線CZ）的方程為y=爪，即Ax-y=。，所以8c=-J1一，

Jl+公J1+公

4Vml2k8k8L8后

所以矩形ABCO面積,*=2立

?乙AC

k

所以當(dāng)且僅當(dāng)人=在時(shí),矩形ABCD面積S取最大值為2加；

2

451+/2k

（3）若矩形A8C。為正方形，則AB=3C,即,則2左3—2公+左—2=0（攵＞0）,

I+2%27I7F

令f(k)=28-2k2+k-2{k>0),

因?yàn)椤?）=—1＜0，/（2）=8＞o,又〃攵）=2左3—2父+左—2（左＞0）的圖象不間斷,

所以/"）=2K—2左2+A：—2億〉0）有零點(diǎn),所以存在矩形ABC。為正方形.

23.（2020.河南開(kāi)封高三二模（理））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸（0,1）,“為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且2,|RW|,

2OM-O/7成等差數(shù)列.

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線T,過(guò)點(diǎn)N（0,2）作直線/交曲線/'于C,。兩點(diǎn)，試問(wèn)在N軸上是否存在定點(diǎn)

Q，使得QC-Q。為定值？若存在，求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）x2=4y（2）存在，定點(diǎn)Q（0,0）

【解析】（1）設(shè)M（x,y）,由條件知iFMbl+OMOF，

所以《x2+（y-=l+y（yN—1）.

兩邊平方得，x2+y2-2y+l=y2+2y+l,

所以x?=4y（滿足yN-l）,

所以點(diǎn)M的軌跡方程為-=4y.

（2）由題意知直線/的斜率存在.設(shè)/的方程為丁=依+2,與f=4y聯(lián)立得，

x2-4kx-8-0>

所以A=16爐+32>0，x,+x2=4k,xtx2=-8.

又設(shè)C（X],yJ,。（私％），。（。，%），則

QC?Q0=（西,y-%）?（孫%+（乂-%）32-％）

=NW+(依+2-y0)(kx2+2-y0)

=(%2+l)x/2+左(2-%)(玉+w)+(2-%)2=-8(/+1)+4儲(chǔ)(2-%)+(2-

=(2-％了一8-4%左2為定值，從而得%=0,

所以存在定點(diǎn)。(0,0)，使得QCQD為定值T.

24.(2020?貴州南明貴陽(yáng)一中高三其他(理))已知圓P:d+y2+2x-7=0,動(dòng)圓E過(guò)點(diǎn)。(1,0)且與

圓P相切，圓E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線/：y="+2與曲線C相交于4,B兩點(diǎn)，在)，軸上是否存在點(diǎn)，使直線A。與B。的斜率之

和陽(yáng)。+即。為定值？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說(shuō)明理由.

【答案】(1)y+/=l;(2)存在點(diǎn)。(()，g),使得心0+左⑺為定值，且定值為0.

【解析】(1)由已知，圓E的半徑為|七。|,圓尸的圓心為P,半徑為20，

依題意得|EP|=2&-|EQ|,

即|EP|+|EQ|=2&〉|PQ\,

所以點(diǎn)E的軌跡是以尸，。為焦點(diǎn)的橢圓，

其長(zhǎng)軸為2a=2及，曲線C的方程是、+y2=l.

，2一

—+y=1>I

(2)由《2，得(1+2/)/+8依+6=0,

y=kx+2

由△=64二一24（1+2公）=16左2-24>0,

解得左〈一包或女〉逅.

22

設(shè)4>i，y),B(x2,y2),

8k6

則…=-Ki2=K-

設(shè)存在點(diǎn)。(0,s)滿足題意，

.V.-m,y-m

貝4"AO=，^BD=-7

Xjx2

/7yM一m(x\+x2)

所以領(lǐng)O+k^D=力,'一一"一二

XjX2

_2kxix?+(2-m)(Xj+x2)

中2

6k—4k(2—ni)

3

要使3o+&o為定值，只需

6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-l)k與參數(shù)人無(wú)關(guān),

故2m—1=0,解得根=’,

2

當(dāng)機(jī)=；時(shí)，心0+^D=0.

綜上所述，存在點(diǎn)。(0,3),使得原為定值，且定值為0.

25.(2020?河北易縣中學(xué)高三其他(理))已知中心在原點(diǎn)。的橢圓C的左焦點(diǎn)為耳(一1,0),。與V軸正

TT

半軸交點(diǎn)為A，且NAF；O=§.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

k

（2）過(guò)點(diǎn)A作斜率為此、k（左隹H0）的兩條直線分別交。于異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)M、N.證明：當(dāng)％2=廠片

2?V|1

時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn).

22

【答案】（1）二+匕=1；（2）見(jiàn)解析.

43

【解析】（I）在放A4耳。中，|。4|=6|OK|=c=l,|AG|=J|OA『+|O6『=a，

NA片。=gNOA￡=/,，a=|AF；|=2|M=2,：.b7a「c?=6，

5o

22

因此，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為2-+匕=1；

43

（2）由題不妨設(shè)MV:y=H+機(jī)，設(shè)點(diǎn)”（不，%）,"（々，必）

22

￡=1

聯(lián)立《43，消去y化簡(jiǎn)得(4女~+3)f+8初a+4///2-12=0,

y=kx+m

8km_4/??2-12

且不+為=

4左2+3，4&-4/+3

IL....y.-A/3V-,一"^3y,—>/3y7—>J3

勺一1百A：2玉X2

22

二代入X=Ax;+m(z=l,2),化簡(jiǎn)得(4-2k^x1x2+(&-1)(加一百)(％+x2)+m-2\/3m+3=0,

彳匕筒得8瓜卜乳一G)=3(加一，

m豐6，：.8必k=3卜n-6），/.m=8f氏+6,

直線=+當(dāng)皆+J5,因此，直線MN過(guò)定點(diǎn)（一乎,6.

22

26.（2020?河北桃城衡水中學(xué)高三其他（理））已知橢圓后:三+方=1（。＞匕＞0）以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)

為頂點(diǎn)，且離心率為!.

2

（1）求橢圓E的方程;

（2）若直線/:丁=丘+根與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與直線元=-4相交于。點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且

滿足OP=Q4+OB（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問(wèn)在％軸上是否存在一點(diǎn)T，使得OP1Q為定值？若存在，

求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及。尸?TQ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】（I）?+]~=1；（2）存在，且定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（一1,0）.

【解析】⑴拋物線