第25題函數(shù)方程是“近親”以形助數(shù)傳“佳話”2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習之一題多解

試卷第=page22頁，共=sectionpages22頁試卷第=page11頁，共=sectionpages11頁第25題函數(shù)方程是“近親”，以形助數(shù)傳“佳話”已知是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當時．（1）求在上的解析表達式；（2）對自然數(shù)k，求集合．本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個不相等的實根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價于解此不等式組求得a的取值范圍，運算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路一是，把問題轉(zhuǎn)化為求，，與有兩個交點時的a，即直線斜率a的取值范圍，以圖“說話”，數(shù)式圖形相映成輝（1）∵2是的周期，當時，2k也是的周期，又∵當時，，∴，即對，當時，．（2）（轉(zhuǎn)化為求直線斜率a的取值范圍）方程，即有兩個不等實根，，．令，，，，如圖24—1所示，在同一坐標系中分別作出、的圖像，的圖像是過原點，斜率為a的直線，方程有兩個不等實根的充要條件是兩圖像有兩個不同交點，由圖25-1可知，當時兩圖像有兩個不同交點．從而，原方程有兩個不等實根時，．（2019·江蘇·高考真題）1．設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是.本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個不相等的實根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價于解此不等式組求得a的取值范圍，運算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路二是，利用，實現(xiàn)變量分離，將方程轉(zhuǎn)化為一個新函數(shù)模型，借助函數(shù)圖像求解．（1）∵2是的周期，當時，2k也是的周期，又∵當時，，∴，即對，當時，．（2）（分離變量，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．尋求問題的幾何意義），令，，，作這兩個函數(shù)的圖像如圖25-2所示，圖像有兩個不同交點的充要條件是，即．∴．（2018·天津·高考真題）2．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是.本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個不相等的實根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價于解此不等式組求得a的取值范圍，運算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路三是，設(shè)，討論根的分布，以形助數(shù)，列式容易，解之不難.（1）∵2是的周期，當時，2k也是的周期，又∵當時，，∴，即對，當時，．（2）（用根的分布理論求解）令，則問題轉(zhuǎn)化為的圖像在區(qū)間上與x軸有兩個不同的交點（如圖25-3所示）．其充要條件是解得，∴．（2023·全國·高三專題練習）3．已知函數(shù),若關(guān)于x的函數(shù)有6個不同的零點,則實數(shù)b的取值范圍是【點評】本例在求出上的函數(shù)解析式之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個不相等的實根，若用純代數(shù)方法，則原問題等價于解此不等式組求得a的取值范圍，但是運算量實在太大，且易于出錯.本例第（2）小題從數(shù)形結(jié)合思想出發(fā)，按不同視角，構(gòu)造各異，以形助數(shù)，簡化了解題過程.4．已知函數(shù)有零點，函數(shù)有零點，且，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．（2022上·河南·高三統(tǒng)考）5．已知函數(shù)若方程有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________．（2021·北京·高考真題）7．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．（2024·天津·二模）8．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為．9．已知函數(shù)，，用表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．.【分析】分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.【詳解】當時，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.

當時，函數(shù)與的圖象有個交點；當時，的圖象為恒過點的直線，只需函數(shù)與的圖象有個交點.當與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個交點；當過點時，函數(shù)與的圖象有個交點，此時，得.綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為.【點睛】本題考點為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象的交點而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點個數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍.2．【詳解】分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.詳解：分類討論：當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，令，其中，原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，求的取值范圍.結(jié)合對勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實數(shù)的取值范圍是.

點睛：本題的核心在考查函數(shù)的零點問題，函數(shù)零點的求解與判斷方法包括：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．3．【分析】根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象,對進行換元,根據(jù)圖象可知需要有兩個零點,且,需各對應(yīng)三個根,根據(jù)根的分布列出不等式,解出即可.【詳解】解:由題意畫圖像如下:因為關(guān)于x的函數(shù)有6個不同的零點,令,則,則關(guān)于t的二次函數(shù)需要有兩個零點,根據(jù)上圖可知,,需各對應(yīng)三個根,即,均需在范圍內(nèi),因為二次函數(shù)開口向上,所以有,即,解得.故答案為:4．C【詳解】分析：由兩個函數(shù)均有兩個零點可得對應(yīng)方程的判別式大于，且的對稱軸在的對稱軸左邊，初步得到的范圍，再列不等式求解即可.詳解：二次函數(shù)均有兩個零點，所以，解得，因為，所以對稱軸位于對稱軸左邊，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化為，①，②

解①得，且，兩邊平方得，，由②得，平方得，顯然成立，綜上，，故選C.點睛：函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學(xué)習的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)零點函數(shù)與軸的交點橫坐標方程的根函數(shù)與交點橫坐標.5．A【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再通過換元，得，結(jié)合函數(shù)的圖象，利用根的個數(shù)，確定方程根的分布，即可求解的取值范圍.【詳解】函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則可化為，因為方程有5個不同的實數(shù)解，所以在上各有一個實數(shù)解或的一個解為，另一個解在內(nèi)或的一個解為，另一個解在內(nèi).當在上各有一個實數(shù)解時，設(shè)，則解得；當?shù)囊粋€解為時，，此時方程的另一個解為，不在內(nèi)，不滿足題意；當?shù)囊粋€解為時，，此時方程有兩個相等的根，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故選：A6．．【詳解】試題分析：（方法一）在同一坐標系中畫和的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為與圖象恰有四個交點．當與（或與）相切時，與圖象恰有三個交點．把代入，得，即，由，得，解得或．又當時，與僅兩個交點，或．（方法二）顯然，∴．令，則∵，∴．結(jié)合圖象可得或．考點：方程的根與函數(shù)的零點．7．①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．8．或【分析】對實數(shù)的取值進行分類討論，分別畫出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個零點，說明的圖象與的圖象有四個交點，通過斜率的變化即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)恰有4個零點，所以的圖象與的圖象有四個交點，當時，如圖所示，的圖象與的圖象僅有兩個交點，與題意不符；當時，如圖所示，在上，當與相切時，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當時，與在有一個交點，在有兩個交點，與題意不符，所以當時，與在無交點，在有兩個交點，與題意不符，當時，與在無交點，在有三個交點，與題意不符，當時，與在無交點，在有四個交點，符合題意；當時，如圖所示，在上，當與相切時，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當時，與在有兩個交點，在有四個交點，與題意不符，當時，與在有兩個交點，在有三個交點，與題意不符，當時，與在有兩個交點，在有兩個交點，符合題意，當時，與在有一個交點，在有兩個交點，與題意不符.綜上所述，或.故答案為：或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，需要通過討論取值范圍的不同，結(jié)合范圍的限制，判斷交點個數(shù)，然后推出的范圍即可.9．答案見解析【分析】解法一利用分類討論得到確定的零點，再利用分離參數(shù)法討論其它零點，解法二直接確定固定零點，再利用分類討論法求解零點即可.【詳解】解法一，顯然的定義域為．當時，．從而，故在上沒有零點．當時，，．∴時，，從而，故是的零點；時，，從而，故不是的零點．當時，．故只要考慮在上的零點個數(shù)．由分離參數(shù)得：，當且僅當時等號成立．令，計算得，，當時，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減．結(jié)合圖象可知：當時，在上沒有零點，當或時，在上有一個零點，當時，在上有兩個零點，綜上可知，當或時，有1個零點，當或時，有2個零點，當時，有3個零點．

解法二，當時，，則函數(shù)，故在時無零點，當時，若，則，則，故是函數(shù)的一個零點；若，則，則，故不是函數(shù)的零點，當時，，因此只