平行四邊形-矩形-菱形的存在性問(wèn)題(有答案)

平行四邊形，矩形，菱形的存在性問(wèn)題平行四邊形存在性問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．2．已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O，點(diǎn)A（﹣1，3），B（1，2），則點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為．3．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，4）、（﹣5，2），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在y軸上．如果以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有個(gè)．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中點(diǎn)，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB＝時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．第4題第5題第6題5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為．6．如圖，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．7．已知點(diǎn)A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及點(diǎn)D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則線段CD長(zhǎng)的最小值為．8．（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖），圖1，2，3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是，，；（2）在圖4中，若平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（4，1）、（3，4）、（6，4），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（3）在圖4中，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），則其橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為．9．如圖，矩形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，8），將矩形OABC沿直線BD折疊，使得點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕所在直線與y軸、x軸分別交于點(diǎn)D、F．（1）請(qǐng)直接寫出線段BO的長(zhǎng)；（2）求折痕所在直線BD的解析式；（3）若點(diǎn)M在直線y＝﹣x上，則在直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以C、D、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．矩形存在性問(wèn)題10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），則以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形11．如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿線段AB方向向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD為平行四邊形？（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在四邊形BCQP是矩形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．平行四邊形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖（1）．（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在圖（1）中，連接AB，OC得到圖（2），求AB與OC的交點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將圖（2）中的線段BC向兩方延長(zhǎng)得到圖（3），若點(diǎn)D，E為直線BC上不與B，C重合的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的D，E點(diǎn)，使得四邊形OADE為矩形？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出矩形，并求出矩形OADE的面積和點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．菱形存在性問(wèn)題13．在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，則滿足條件的z的值有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)14．如圖1，直線l1：y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，與直線l2：y＝x交于點(diǎn)C．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△BOC的面積；（3）如圖2，若有一條垂直于x軸的直線l以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO方向作勻速滑動(dòng)，分別交直線l1，l2及x軸于點(diǎn)M，N和Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接CQ．①當(dāng)OA＝3MN時(shí)，求t的值；②試探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1.根據(jù)題意得：D點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是3；又由C點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)橫坐標(biāo)移動(dòng)了1﹣（﹣5）＝6，故可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣1+6＝5，即頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，3）．2．由題意知：點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，3），（1，2），∴點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3個(gè)點(diǎn)．4．解：∵B（﹣3，0），C（9，0），∴OB＝3，OC＝9，∴BC＝OB+OC＝12，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝BC＝6，分為兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊時(shí)，∵AD＝PE＝5，CE＝6，∴BP＝12﹣6﹣5＝1；②當(dāng)P在E的右邊時(shí)，∵AD＝EP＝5，∴BP＝BE+EP＝6+5＝11；即當(dāng)BP為1或11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；故答案為：1或11．5．如圖，①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，易求M1（3，2）；②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AC∥BM，且AC＝BM．則|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根據(jù)題意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∴AB＝m﹣1，分三種情況：如圖所示，①以BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m﹣1，1）；②以AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣m，1）；③以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+1，1）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案為：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如圖，由題意得：點(diǎn)C在直線y＝x上，①如果AB、CD為對(duì)角線，AB與CD交于點(diǎn)F，當(dāng)FC⊥直線y＝x時(shí)，CD最小，易知直線AB為y＝x﹣2，∵AF＝FB，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，﹣1），∵CF⊥直線y＝x，設(shè)直線CF為y＝﹣x+b′，F(xiàn)（2，﹣1）代入得b′＝1，∴直線CF為y＝﹣x+1，由，解得：，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（，）．∴CD＝2CF＝2×＝3．②如果CD是平行四邊形的邊，則CD＝AB＝＝2＞3，∴CD的最小值為3．故答案為：3．8.（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，得出圖1，2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案為：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（4，1）、（3，4）、（6，4），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，7）；故答案為：（5，7）；（3）如圖4中，分別過(guò)點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，分別過(guò)A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于點(diǎn)F．在平行四邊形ABCD中，CD＝BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF＝∠ABC+∠BCF+∠FCD＝180°．∴∠EBA＝∠FCD．在△BEA≌△CFD中，，∴△BEA≌△CFD（AAS），∴AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．設(shè)C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∴C（e+c﹣a，f+d﹣b），∴m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∴m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案為：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∵矩形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，8），∴OA＝6，AB＝8，∠OAB＝90°，∴OB＝＝10，即線段BO的長(zhǎng)是10；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，d），則OD＝d，CD＝8﹣d，∵BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∴，得d＝5，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)折痕所在直線BD的解析式為y＝kx+b，∵點(diǎn)D（0，5），點(diǎn)B（6，8）在直線BD上，∴，得，即折痕所在直線BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直線BD上存在點(diǎn)P，使以C、D、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∵點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)D（0，5），∴OC＝8，OD＝5，∴CD＝3，∵以C、D、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M在直線y＝﹣x上，點(diǎn)P在直線BD上，∴CD＝MP，CD∥MP，或CD為平行四邊形的對(duì)角線，當(dāng)CD＝MP，CD∥MP時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣0.5m），則P的坐標(biāo)為（m，0.5m+5），則|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4），當(dāng)m＝﹣8時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，1），當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)C和點(diǎn)D中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6.5），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣0.5m），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣m，13+0.5m），∵點(diǎn)P在直線BD上，直線BD的解析式是y＝0.5x+5，∴13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，9），由上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∴DM＝＝6，∴CD＝16；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖1，由題知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t∴10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在四邊形BCQP是矩形，理由如下：∵AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠C＝90°，若要四邊形BCQP是矩形，則當(dāng)PB＝CQ時(shí)即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∴不存在．12.解：（1）∵四邊形OACB是平行四邊形，∴AC＝OB，∵A（1，3）、B（4，0），∴C（5，3）；（2）如圖（2），設(shè)AB所在的直線的解析式為y＝kx+b，∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）、B（4，0），∴，∴AB所在直線的解析式為y＝﹣4x+4，由于OC所在直線的表達(dá)式為y＝x，聯(lián)立方程解得：即M的坐標(biāo)是（2.5，1.5）；（3）存在這樣的D、E，使得四邊形AOED是矩形．分別過(guò)點(diǎn)A、O作AD⊥BC于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)E、D分別作x軸的垂線，垂足分別為F、G，∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AO∥BC，∴AD⊥AO，∴四邊形AOED是矩形，且與平行四邊形AOBC面積相等，∵平行四邊形AOBC的面積為12，∴矩形AOED的面積為12，由勾股定理知AO＝，∴OE＝，EB＝，∴EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3.6，﹣1.2），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4.6，1.8）．13．如圖，∵A（﹣1，0），C（﹣1，5），∴AC⊥x軸，且AC＝5﹣0＝5，過(guò)點(diǎn)D（﹣5，z）作作x軸的垂線，則z的數(shù)值就在直線x＝﹣5上，；∵A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，∴當(dāng)DC＝DA，z有1個(gè)值，當(dāng)DC＝AC，則42+（5﹣z）2＝52，z有兩個(gè)值，當(dāng)AD＝AC，則42+z2＝52，則z有兩個(gè)值，綜上所知，符合條件的z的值有5個(gè)．故選：D．14.解：（1）對(duì)于直線y＝﹣