專(zhuān)題04 四邊形的證明與計(jì)算（解析版）

2/2專(zhuān)題04四邊形的證明與計(jì)算目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01四邊形與全等 1題型02四邊形與相似 7題型03四邊形邊角計(jì)算 18中考練場(chǎng) 36題型01四邊形與全等【解題策略】六個(gè)全等模型手拉手模型倍長(zhǎng)中線模型平行線中等模型雨傘模型【典例分析】例1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)點(diǎn)在線段的垂直平分線上(2)①證明見(jiàn)解析，②【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關(guān)系得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)在線段的垂直平分線上．理由如下：連接．∵四邊形是菱形，對(duì)角線相交于點(diǎn)，．，，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

（2）①證明：如圖，∵四邊形是菱形，，，，，，．，．，，，．在中，，．．，；

②如圖，連接．，∴是等邊三角形．∵，∴，在中，，，．，，，．，，．在中，，由勾股定理得，．

【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．例2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖②中四個(gè)角（除外），使寫(xiě)出的每個(gè)角都與相等．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，進(jìn)而有，從而利用即可證明結(jié)論成立；（2）先證四邊形是菱形，得，又證，得，由（）得得，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，由（）得，∴，∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補(bǔ)角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形中，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，合理作出輔助線．（1）通過(guò)證明，得出，根據(jù)，得出，即可解答；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，先證明，得出，則，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）解：①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：②證明：過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．2．（2023·山東泰安·三模）已知如圖，為正方形的邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接，的平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)如圖，若正方形的邊長(zhǎng)為，連接，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)即可證明；（2）想辦法證明，由，，即可解決問(wèn)題；（3）等面積法求出，證明得到，證明≌，即可推出，，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：，，是線段的垂直平分線，，四邊形是正方形，，．（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，的平分線交于，，，，又，是等腰直角三角形．（3）解：連接．是中點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為，，，在中，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（2022·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在和中，，，與交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)將關(guān)于所在直線翻折，得到，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)若平分，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形的形狀為菱形；理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)直接證明；（2）根據(jù)，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，，即可得出結(jié)論；（3）連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．利用面積法證明，再利用全等三角形的性質(zhì)證明，，再利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：如圖，在和中，，；（2）四邊形的形狀為菱形；理由如下：，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，，四邊形為菱形（3）如圖，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

四邊形是菱形，，平分，，，，，，，，，（），，即點(diǎn)，點(diǎn)重合，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問(wèn)題．題型02四邊形與相似【解題策略】8字模型 反8字模型手拉手模型一線三等角模型【典例分析】例．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）已知正方形，是對(duì)角線上一點(diǎn)．

(1)如圖1，連接，．求證：；(2)如圖2，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，．判斷的形狀并說(shuō)明理由；(3)在第（2）題的條件下，．求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可得到；（2）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得到結(jié)論；（3）先求出的長(zhǎng)，可證明是等腰直角三角形．從而得到的長(zhǎng)，再利用，，可證得，進(jìn)而得到，從而可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴，，在和中∴．（2）解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．

（3）解：∵，，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟練掌握等腰三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（22-23浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，D，E分別是，的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)于點(diǎn)G，連接，若G是的中點(diǎn)，，，①求的長(zhǎng)．②求平行四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①；②．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理證明，，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）①設(shè)與交于點(diǎn)H，設(shè)，則，證明，得，所以，，由，得；證明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；②利用①中的結(jié)論，求出、，再利用勾股定理求出，最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：①設(shè)與交于點(diǎn)H，∵G是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，②由①知，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴平行四邊形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，交、分別于M、N．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若且，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可由菱形的判定得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，，再由菱形的性質(zhì)得，然后根據(jù)勾股定理求得，由勾股定理，得，最后證明，得，即，即可求解．【詳解】（1）證明：∵矩形，∴，，，∴，∵，，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：∵，∴設(shè)，則，，∵四邊形是菱形，∴，∵矩形，∴，由勾股定理，得，∴，由勾股定理，得，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）證明四邊形是平行四邊形，（2）證明是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，四邊形中，，，求證：四邊形是平行四邊形．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)度為【分析】（1）易得，再證明，得，即可作答；（2）易得四邊形是平行四邊形，再證明，得，即可作答；（3）如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，易得四邊形是平行四邊形，然后在中，，，得，結(jié)合，所以，證明，則，根據(jù)勾股定理，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴．在和中，，，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．（3）如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，∵四邊形是矩形，∴，．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，．在中，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴設(shè)，則，．∵，∴．∵在中，，∴，∴，（舍去），∴，∴的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理等知識(shí)內(nèi)容，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，是正方形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接的平分線交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)如圖2，若，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．①求證：；②求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得和即可求證；（2）①利用（1）的結(jié)論和，可證明進(jìn)而得證；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)．利用①的結(jié)論和可得進(jìn)而證明，和，從而得出，設(shè)，根據(jù)等量關(guān)系建立方程即可求解．【詳解】（1）（1）如圖1，四邊形是正方形．平分，，，又，．（2）解：由（1）知．，．．②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由①知，，，．，．又，．，．，，．設(shè)，即，解得（舍去），．題型03四邊形邊角計(jì)算【解題策略】勾股定理常見(jiàn)折疊模型：計(jì)算方差的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是，是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真題）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)和的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到；（2）根據(jù)線段的和差得到；過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到的面積．【詳解】（1）證明：在中，，∴，∵平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴；過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，

∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明得到，，設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．∴．∴，即，∵四邊形是正方形，∴．∴．∴．（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵，∴．又∵，正方形邊長(zhǎng)為3，∴∴，∴，，設(shè)，則，∴．∵，即，∴．∴．在中，，∴．得：（舍），．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，將矩形沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．【分析】（）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)可得，，即可解決問(wèn)題；（）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知:，∴，∴度數(shù)為；（2）證明：∵四邊形是矩形,∴，由翻折可知:，，∴，，在和中，，∴；（3）解：設(shè)，則，∵沿翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴．2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)若，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以點(diǎn)為圓心，大于到的距離為半徑，畫(huà)弧交的延長(zhǎng)線于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧，相交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)C所在的直線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)即可；（2）根據(jù)已知條件及菱形的對(duì)角線互相垂直平分性質(zhì)，得到的值，再利用勾股定理求得，再利用等角的正弦值相等，即可求出的值，由菱形的四邊相等可得的值，然后根據(jù)余弦公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，CE為所作；（2）解：四邊形為菱形，，，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握垂線的尺規(guī)作圖法，“菱形的對(duì)角線互相垂直平分且平分每一組對(duì)角”等菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)公式是解本題關(guān)鍵．3．（2023·廣東深圳·一模）綜合與探究在矩形的邊上取一點(diǎn)E，將沿翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)F處．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖③，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可推出，再由含的直角三角形的特征即可求解；（2）證即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)G，證可得，設(shè)，設(shè)，由即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將沿翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)F處∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；（2）解：∵將沿翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)F處∴，又∵矩形中，，∴，∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵平分，，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題以矩形中的折疊問(wèn)題為背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等．熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．1．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．

【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．【類(lèi)比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

（3）3【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，則，再由，可得，則，根據(jù)等角的余角相等得，即可得證；（2）利用“”證明，可得，由，可得，利用“”證明，則，由正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，則，推出，由全等的性質(zhì)可得，，進(jìn)而推出是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，；（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，，又，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，，，，；（3）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，

四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西·中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：在中，對(duì)角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．

①求證：是菱形；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，則，又∵∴∴四邊形是菱形；（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l分別與、所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）

(1)求證：；(2)當(dāng)直線時(shí)，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形為菱形；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）連接、，根據(jù)，得出，根據(jù)，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，證明四邊形為菱形即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，在和中，，∴；（2）解：四邊形為菱形，理由如下：連接、，如圖所示：

根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，即，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．4．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及